Loi de Pascal

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)

Nous commençons le Cours 2 qui dure deux semaines. Nous étudions les variables aléatoires "discrètes", c'est-à-dire des variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Loi de Pascal8:24

Tribu et loi d'une variable aléatoire10:48

Jeu de trois dés6:14

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[AUDIO_VIDE] Passons au deuxième

exercice de cette séance, qui concerne la loi de Pascal ou la loi dite géométrique.

Donc on considère une série d'épreuves indépendantes

et on suppose qu'à chaque épreuve, on observe un succès

avec une probabilité p et un échec avec une probabilité 1 moins p.

Et la variable aléatoire qui nous intéresse, qui est discrète,

est la suivante.

C'est le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès.

Les questions qu'on se pose sont les suivantes.

Calculer la loi de X, c'est ce que je viens de dire,

c'est ce qu'on appelle la loi géométrique.

Vérifier que son espérance est 1/p, donc l'inverse de la probabilité de succès.

Et enfin, vérifier la propriété qu'on appelle d'absence de mémoire

que cette loi possède, c'est-à-dire cette relation qui est que la probabilité que le

premier succès ait lieu après k essais, sachant qu'on n'a pas

réussi à avoir de succès avant j essais, c'est la même chose que la probabilité

qu'on n'ait pas eu le premier succès avant k moins j essais.

Et k est plus grand que j.

Donc regardons comme s'obtient la loi de X.

La loi de X consiste à calculer la probabilité que X égal k

où k prend toutes les valeurs entières strictement positives.

Vu comment X est défini, la probabilité que X égal à k, c'est la probabilité qu'on

ait k moins 1 échecs,

puis un succès.

Puisque ces événements sont indépendants,

c'est donc le produit de 1 moins p fois 1 moins p etc.

k moins une fois, puisque 1 moins p la probabilité d'un échec,

fois la probabilité d'un succès qui est p.

Donc k prend les valeurs 1, 2, 3 etc.

Voilà la loi de la variable X, la loi géométrique.

La deuxième question, concerne l'espérance de X.

Il est pratique d'introduire q égal 1 moins p pour faciliter les calculs.

L'espérance de X, par définition, c'est

k fois la probabilité que X égal à k et on somme sur toutes les valeurs de k,

donc c'est k égal à 1 jusqu'à l'infini de k 1 moins p puissance k moins 1 fois p.

Je peux sortir le p de la somme, et j'obtiens

k égal à 1 jusqu'à l'infini de k q puissance k moins 1.

J'utilise donc cette variable, ce paramètre q qui est 1 moins p.

On remarque que ça peut se réécrire comme

la somme de k égal 1 jusqu'à l'infini de d,

la dérivée par rapport au q de la fonction q puissance k.

Et en vertu de résultats généraux sur les séries à termes positifs,

on peut sortir la dérivée de la série,

la dérivation de la série.

Maintenant, on sait calculer cette série, qui est une série géométrique,

et on obtient donc p fois la dérivée par rapport à q de, alors attention,

la série commence à 1, donc on obtient q divisé par 1 moins q, ce qui

donne p fois 1 sur 1 moins q au carré.

Et en se souvenant ce que vaut 1 moins q, ça donne 1 sur p,

qui est bien ce qu'on devait vérifier.

Passons à la solution de la question 3.

On nous demandait de vérifier une certaine propriété

qu'on appelle l'absence de mémoire de la loi géométrique.

Il fallait donc calculer la probabilité que X est plus grand que k,

sachant que X est plus grand que j.

On applique la définition de la probabilité conditionnelle,

donc c'est la probabilité de l'intersection de deux événements,

l'événement X plus grand que k et l'événement X plus grand que j.

Et on doit diviser par la probabilité que X est plus grand que j.

Comme on suppose que k est strictement plus grand que j,

le numérateur se réduit à la probabilité que X est plus grand que k,

[AUDIO_VIDE] et

maintenant, on remplace le numérateur et le dénominateur par leurs valeurs,

on a calculé la loi de X tout à l'heure, ce

qui donne 1 moins p puissance k divisé par 1 moins p puissance

j, ce qui donne 1 moins p puissance k moins j.

Et on reconnaît la probabilité que X est plus grand que k moins j.

Le fait que j'ai utilisé, c'est que la probabilité que X est plus

grand que i en général, c'est facile de vérifier que c'est 1 moins p puissance i.

Puisqu'on n'a pas eu de succès avant la ième épreuve.

On a bien vérifié la propriété demandée,

qui est que cette probabilité conditionnelle est égale à ça.

Une petite application de la loi géométrique, qui est une loi

qui intervient dans de nombreux exemples, de nombreux modèles, est la suivante.

Vous décidez de vendre votre maison et d'accepter la première

offre d'achat supérieure à K euros, K c'est un montant fixé.

Vous allez supposer que les offres d'achat sont des variables aléatoires

indépendantes et on suppose qu'elles ont une loi de probabilité connue.

On va introduire la variable aléatoire discrète N,

qui va être le nombre d'offres d'achat qu'on reçoit avant de vendre sa maison.

La question est quelle est la loi de N.

Si Y est la variable aléatoire

valeur de l'offre d'achat,

on a que la probabilité que N est égal à n,

qu'on va vouloir calculer pour tous les N, ils vont donc donner la loi de N,

c'est tout simplement la probabilité que Y est plus grand que K

puissance n moins 1 fois la probabilité que Y est plus grand que K.

En effet, la probabilité qu'on accepte la nième offre par définition,

ça signifie que les n moins 1 premières offres étaient en dessous du prix

qu'on avait fixé pour sa maison, et ça signifie que

les n moins 1 premières offres d'achat, Y était plus petit que K.

Donc la probabilité d'échec est bien la probabilité que Y est plus

petit que K et à la nième proposition, on a eu une offre qui dépassait K.

Et donc la probabilité de succès est bien la probabilité que Y est plus grand que K.

Voilà qui conclut la séance deux.

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