Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Le « paradoxe » du Chevalier de Méré
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
56 notes
À partir de la leçon
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (1/3)
L'espace de probabilité est l'objet du Cours 1 qui s'étale sur trois semaines. Après une introduction générale, cette semaine est consacrée à la notion d'expérience aléatoire et d'événement aléatoire, puis à la définition d'une probabilité sur un espace d'état fini.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[AUDIO_VIDE] Bonjour,
bienvenue au cours d'aléatoires de l'École polytechnique!
Nous sommes dans le cours numéro 1 et c'est la séance d'exercices.
Nous allons faire un exercice classique qui s'appelle le Paradoxe du chevalier de
Méré, paradoxe entre guillemets, parce que ce n'est pas tout à fait un paradoxe.
D'abord, un peu d'histoire et de lettres.
Le chevalier de Méré était un noble de la cour de Louis XIV.
Dans cette cour, les paris sur les jeux de hasard étaient très répandus.
A cette époque, le calcul des probabilités n'était pas établi.
Le chevalier de Méré est connu pour sa correspondance au sujet des jeux de paris
avec Blaise Pascal.
Il lui demandait conseil, il lui demandait de faire les calculs.
Ce dernier, dans une lettre à Pierre de Fermat, un autre grand mathématicien,
datée du 29 juillet 1654,
disait de lui qu'il avait très bon esprit, mais n'était pas géomètre.
Ce qui veut dire qu'il était intelligent,
mais qu'il manquait de capacités de calcul mathématique.
Nous allons voir pourquoi.
Donc déjà, en tant que joueur invétéré,
le chevalier de Méré avait remarqué que parier sur le fait qu'au
moins un 6 apparaît dans 4 lancers d'un dés à 6 faces était avantageux,
c'est-à-dire avait une probabilité de gain strictement supérieure à 1/2.
Il s'était persuadé qu'il y avait la même probabilité de gain,
et donc le même avantage, à parier sur le fait qu'au
moins un double 6 apparaisse dans 24 lancers d'un couple de dés à 6 faces.
Nous allons expliquer rapidement pourquoi.
Il utilisait un argument de proportionnalité très simple.
Il disait, ils avaient compris déjà à l'époque que la probabilité pour qu'un dé
tombe sur 6, il y avait 1 chance sur 6 pour que le dé tombe sur 6, comme on
disait à l'époque, donc la probabilité pour qu'un dé tombe sur 6, c'est 1/6.
La probabilité pour qu'un couple de dés tombe sur le couple 6, 6 c'est 1/36.
1 sur les 36 possibilités,
qui peut aussi s'écrire comme étant un sixième fois un sixième.
Et 24, le nombre de lancers donc la deuxième expérience aléatoire,
le deuxième jeu, c'est 6 fois 4, donc ils voyaient une espèce d'équilibre
entre le fait que la probabilité pour que le couple de dés tombe sur 6,
6 était 6 fois plus faible et qu'on lançait 6 fois plus souvent le dé.
Cet argument est plutôt valable si on veut calculer le nombre moyen de 6 qui
sortent qui dans les deux cas, de façon intuitive valent, dans le premier cas,
4 sixièmes, il y a 4 dés qui ont 1 chance sur 6 de tomber sur 6,
dans le deuxième cas, 24 trente-sixièmes.
24 lancers de dés avec une probabilité 1/36 chacun de tomber sur
le double 6 et donc tout ça fait 2 tiers.
Donc Pascal a effectué les calculs de probabilités qui peuvent éclairer
la situation.
Vous allez faire de même, l'exercice commence maintenant.
On définit les événements A 1,
au moins un 6 apparaît dans 4 lancers d'un dé à 6 faces, et l'événement A 2,
au moins un double 6 apparaît dans 24 lancers d'un couple de dé à 6 faces.
Première question, donner un espace de probabilité fini grand oméga 1,
P 1, pour modéliser l'expérience aléatoire correspondant à A 1,
puis calculer la probabilité P 1 (A 1),
la probabilité dans cette espace de probabilité que la probabilité se réalise.
Deuxième question, donner un espace de probabilité fini oméga 2,
P 2 pour modéliser l'expérience aléatoire correspondant à l'événement A 2,
puis calculer P 2 (A 2), on calcule la probabilité de cet événement
que le double 6 apparaisse dans 24 lancers d'un couple de dés à 6 faces.
Ensuite, enfin, troisième question,
comparer P 1 ( A 1) et P 2 (A 2) et conclure.
Avant de passer à la solution,
je vous encourage à chercher cet exercice, les calculs sont simples.
Voici la solution de l'exercice Paradoxe du chevalier de Méré.
Premier cas, on lance 4 fois un dé à 6 faces et on veut
savoir quelle est la probabilité d'avoir au moins un 6 qui sorte, donc l'espace de
probabilité naturel qui représente les lancers de dé; c'est oméga 1 égal 1, 2, 3,
4, 5, 6 puissance 4, 1, 2, 3, 4, 5, 6, c'est les suites d'un dé et puissance 4,
c'est le fait qu'il y ait 4 dés.
Le cardinal, c'est 6 puissance 4, là on peut le calculer, c'est 1296.
Et cet espace de probabilité est muni naturellement de la probabilité uniforme.
Donc la probabilité d'un événement A, c'est cardinal de A sur 6 puissance 4,
pour tout A inclus dans oméga 1.
Donc pour tout petit oméga dans oméga 1, la probabilité du singleton oméga,
c'est 1 sur 6 puissance 4, sur le cardinal de oméga 1.
Ensuite, nous voulons calculer P 1 (A 1),
la probabilité dans cet espace de probabilité pour que au moins un 6 sorte,
il est plus simple de le passer au complémentaire,
de dire que c'est 1 moins la probabilité pour qu'aucun dé ne montre 6,
donc P 1 (A 1), c'est, par les règles élémentaires de probabilité,
1 moins P 1 (A 1) complémentaire.
A 1 complémentaire, je vous rappelle, c'est la probabilité qu'aucun dé ne montre
de 6, donc c'est 1 moins 5 puissance 4 sur 6 puissance 4.
Il y a 5 puissance 4 possibilités 1, 2, 3, 4, 5 pour chacun des 4 dés,
donc 5 puissance 4 possibilités pour qu'aucun dé ne montre le 6
divisé par 6 puissance 4, cardinal de l'ensemble, de oméga 1.
Et donc, un petit calcul montre que c'est à peu près 0,518,
qui est strictement plus grand que 1/2.
Donc le chevalier de Méré avait bien observé la
situation en disant que le jeu était favorable, avantageux.
De façon similaire, dans le jeu où on lance 24 fois un couple de dés,
l'espace de probabilité oméga 2, c'est 1, 2, 3, 4, 5,
6 au carré représentant le lancer de dés puissance 4,
représentant les 24 lancers de dés, 24 lancers de couples de dés donc.
Le cardinal de oméga 2, c'est 36 puissance 24, que l'on peut aussi écrire comme étant
6 puissance 48, et on munit la probabilité uniforme de même de P 2 (A) pour
tout événement A inclus dans oméga 2, c'est cardinal de A sur 36 puissance 24.
Et P 2 d'un tirage particulier, la probabilité pour qu'un tirage particulier
sorte, c'est 1 sur 36 puissance 24.
Une petite remarque, en passant, 36 puissance 24 est un nombre gigantesque.
Donc il est hors de question de faire des calculs énumératifs dans un cadre pareil.
Ensuite, pour calculer P 2 (A 2), le mieux, c'est de passer au complémentaire,
la probabilité pour qu'au moins un couple de dés montre un double 6,
c'est 1 moins la probabilité pour qu'aucun des couples de dés ne montre un double 6,
donc P 2 (A 2), par les règles élémentaires de probabilité,
c'est 1 moins P 2 (A 2) complémentaire.
C'est 1 moins la probabilité pour qu'aucun couple de dés ne montre 2 fois 6,
donc il y a 35 possibilités, sur les 36 couple de possibles,
il y en a un qui est le double 6, il y en a 35 autres qui ne sont pas le double 6.
Donc nous obtenons 1 moins 35 possibilités autres que le double 6 puissance 24
sur 36 puissance 24.
Toutes les possibilités.
Donc un petit calcul,
il vaut mieux d'ailleurs, si on veut calculer, commencer par diviser 35 par 36
et élever le tout à la puissance 24 pour ne pas avoir de nombres trop grands.
Un petit calcul montre que cette probabilité est de l'ordre de 0,491,
qui est, cette probabilité donc, strictement inférieure à 1/2.
Nous avons calculé la probabilité.
La question 3, c'était de comparer les probabilités, tout simplement.
Le chevalier de Méré avait bien observé ce qui se passait pour le premier jeu,
qui est effectivement avantageux.
Il se trompait lourdement sur le second jeu,
parce que non seulement la probabilité n'est pas la même, mais en fait,
il est désavantageux, probabilité strictement inférieure à 1/2.
Ceci termine l'exercice sur le Paradoxe entre guillemets du chevalier de Méré.
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