[SON] Nous vous présentons un exercice sur le jeu de blackjack, donc le blackjack, un jeu de casino, la banque, le casino, un croupier qui travaille pour le casino et des joueurs s'affrontent. Il utilise un certain nombre de jeux de 52 cartes. Nous donnons ici une règle simplifiée avec un seul joueur et un seul jeu de 52 cartes. Pour faire des calculs simples. Chaque carte a une valeur : les cartes entre 2 et 10 leur valeur faciale, le 2 a une valeur de 2, le 3 a une valeur de 3, le 10 a une valeur de 10. Et une figure telle que valet, dame ou roi vaut 10 points. Et un as vaut 1 ou 11 points au gré du joueur, nous allons voir ensuite pourquoi on peut choisir entre une valeur ou une autre. Nous rappelons que les 4 enseignes du jeu de carte sont le cœur, le carreau, le trèfle et le pique. Donc dans le jeu, la banque commence par distribuer 2 cartes au joueur, et s'en distribuer 2. Ensuite, le joueur peut demander à la banque des cartes supplémentaires une à une. Le joueur gagne s'il atteint exactement 21, il perd s'il dépasse strictement 21, on dit qu'il crève ou il saute, donc avec 2 cartes on peut remarquer qu'au plus on a 21 points, un 10 et un 11, donc on ne peut pas sauter d'entrée de jeu, mais évidemment toutes les cartes après peuvent l'amener à sauter. Evidemment, s'il demande des cartes supplémentaires et qu'il a une as et qu'il dépasse 21 en comptant l'as 11, il va compter l'as 1. Donc le joueur perd s'il dépasse strictement 21, sinon, à tout moment il peut s'arrêter. À ce moment-là, avec un total strictement inférieur à 21 et c'est au tour de la banque de jouer. La banque se distribue des cartes, elle s'arrête soit lorsque le total de la banque dépasse strictement le total du joueur tout en restant strictement inférieur à 21, auquel cas le joueur perd, c'est la banque qui gagne. Soit le total de la banque dépasse strictement 21, on pourrait dire que la banque saute, et alors le joueur gagne. Donc le but c'est de se rapprocher le plus possible de 21 sans jamais le dépasser. Donc un certain nombre de questions naturelles dans ce jeu, j'en donne 2 très simples. Première question, donner la probabilité pour que les 2 premières cartes distribuées au joueur fassent un total de 21. Il gagne tout de suite, on dit alors qu'il fait blackjack. On lui donne 2 cartes, il montre ses cartes, il a 21, il a gagné. Donc donner la probabilité pour que le joueur fasse blackjack Deuxième question, à partir du moment où on a 2 cartes, il faut savoir si on veut en prendre d'autres et ça dépend du total de points. Donc on va poser une question de ce type-là, très simple. On suppose que les 2 première cartes qui ont été distribuées au joueur sont une dame de pique et un 5 de trèfle, et que le joueur demande une troisième carte, on va voir que c'est une bonne idée pour lui de le faire. Donner la probabilité pour qu'il perde aussitôt, pour qu'il saute, pour qu'il dépasse strictement 21 dès la troisième carte Donc dans chaque question, on commencera par donner un espace de probabilité fini correspondant à l'exérience aléatoire en question avant de calculer la probabilité de l'événement Avant de regarder la solution qui va être donnée, je vous encourage à chercher l'exercice, les calculs sont simples. [AUDIO_VIDE] Donc nous allons donner la solution à l'exercice sur le jeu de blackjack. Donc la première question c'était quelle est la probabilité pour que le joueur fasse blackjack, donc fasse 21 points du premier coup. D'abord, on lui donne de cartes donc l'espace de probabilité est celui des tirages successifs de 2 éléments distincts parmi 52, ce qu'on appellera les tirages sans remise, le cardinal, le nombre de façons de faire ça c'est 52 fois 51, 52 pour la première carte et 51, les 51 qui restent pour la deuxième. Cela donne 2 652, muni de la probabilité uniforme, tous les tirages, tous les couples pour la même probabilité d'arrivée. Donc pour obtenir le blackjack, c'est-à-dire un total de 21, l'unique façon de faire c'est d'avoir 11 + 10, un as et une carte qui vaut 10. Donc les cartes distribuées doivent être nécessairement l'un des 4 as, cœur, carreau, trèfle, pique, et l'une des 4 x 4 = 16 cartes valant 10. Il y a 4 cartes qui valent 10, le 10, le valet, la dame et le roi, et à chacune existant en tant que cœur, carreau, trèfle, pique, donc ça fait 4 cartes fois 4, 16 cartes, et il ne faut pas oublier qu'il y a deux ordres possibles, il peut soit recevoir d'abord l'as et ensuite une carte qui vaut 10, soit d'abord une carte qui vaut 10 et ensuite l'as. Donc le cardinal de l'événement vaut 4 x 16 x 2 = 128, la probabilité c'est ce nombre, 4 x 16 x 2 divisé par le nombre de possibilités totales 52 x 51, donc c'est 128 divisé par 2 652, en simplifiant la fraction ça fait 32 divisé par 663. Et avec une calculatrice on voit que ça fait 0,0483. 4,83 %. Donc la probabilité est assez faible, de l'ordre de 5 %, pour qu'on fasse blackjack tout de suite. Nous avons ainsi traité la première question. Donc la deuxième question, on supposait que le joueur avait reçu 2 cartes particulières, une dame de pique et un 5 de trèfle, et qu'il prenait une troisième carte, donc l'espace de probabilité, c'est celui du tirage parmi 50 éléments, les 52 cartes moins la dame de pique et le 5 de trèfle, muni de la probabilité uniforme, chaque carte étant multi-probable, donc ça c'est très simple. Donc évidemment le total des 2 `premières cartes, une dame ça vaut 10, donc c'est 10 + 5 = 15. Donc pour dépasser strictement 21, nous faisons le calcul que 22- 15 ça fait 7, pour dépasser strictement 21, c'est être au moins égal à 22, donc il faut que la troisième carte doit valoir un 7, un 8, un 9 ou un 10. Si c'est un as, c'est pas grave, puisque l'as peut valoir 1 et si le joueur reçoit un as il comptera 1 et il passera à 16 points. Donc en tenant compte du fait que la dame de pique a déjà été choisie, le cardinal de l'événement vaut donc 7 c'est-à dire, le 7, le 8, le 9, le 10, et valet, dame, as, fois 4 les quatre enseignes cœur, carreau, trèfle et pique, moins 1, moins la dame de pique, donc la probabilité fait 27/50, c'est donc 0,54, il y a plus d'une chance sur deux pour que le joueur ne perde pas tout de suite, bon, après il faut faire des calculs plus poussés pour savoir s'il a intérêt à jouer mais en général quand les 2 premières cartes font 15 les joueurs demandent toujours une autre carte. Nous avons ainsi fini la deuxième question, et nous avons ainsi fini l'exercice sur le jeu de blackjack.
