La statistique de Bose-Einstein

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)

Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».

Le «paradoxe» des anniversaires8:57

Deux manières de tirer sans remise8:33

La statistique de Bose-Einstein4:49

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON] Bonjour,

bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'école polytechnique.

Et nous allons faire un exercice qui s'appelle : Sous-ensembles

avec répétitions et statistiques de Bose-Einstein.

Soit grand oméga l'ensemble des sous-ensembles avec répétition

de k éléments parmi n.

Ses éléments peuvent être représentés, par exemple,

par des suites croissantes de k éléments dont 1, 2, 3, jusqu'à n.

Première question : calculer le cardinal de grand oméga.

Deuxième question : expliquez pourquoi

utiliser oméga muni de la probabilité uniforme donne un résultat faux

pour le calcul de la loi binomiale pour les tirages avec remise.

La probabilité uniforme sur grand oméga est à la base de la Statistique de

Bose-Einstein de la mécanique quantique.

Voici la solution de l'exercice Sous-ensembles avec répétition,

Statistique de Bose-Einstein.

Pour la première question, nous allons donner deux preuves : une première preuve

utilise la représentation de grand oméga par des suites croissantes

de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à n.

C'était cette représentation qui était suggérée dans l'énoncé.

Nous remarquons que les suites croissantes de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à

n peuvent être mises en bijection, en ajoutant 0 au premier terme de la suite,

1 au deuxième, etc., jusqu'à k moins 1 au k-ième terme de la suite,

c'est le k-ième et dernier terme de la suite.

Donc en faisant cette bijection nous pouvons mettre les suites croissantes de k

éléments dans 1 jusqu'à n, en bijection, avec les suites strictement croissantes

de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à n plus k moins 1,

puisqu'on a rajouté jusqu'à k moins 1 au dernier terme.

Les suites strictement croissantes de k éléments

dans cet ensemble de 1 jusqu'à n plus k moins 1,

sont en bijection, avec les sous-ensembles de k éléments parmi n plus k moins 1.

En prenant ces sous-ensembles, et en les ordonnant tout simplement.

Donc le cardinal de grand oméga vaut le nombre binomial de k choix dans

n plus k moins 1.

Nous allons donner une seconde preuve qui utilise

une représentation de l'espace grand oméga qui est utilisée par les physiciens.

Ces physiciens s'intéressent à des configurations de particules.

Donc de leur point de vue,

nous distribuons k particules dans n cases et toute case

est choisie le nombre de fois donné par le nombre de particules qu'elle contient.

Nous supposons les n cases alignées, pour former n cases,

une fois qu'on se donne les deux bords extérieurs des cases,

on utilise n moins 1 barrières qui délimiteront, ainsi n cases.

Chaque configuration de k particules dans n cases

correspond à un choix de k éléments, les particules, dans l'ensemble de cardinal

k plus n moins 1 qui vaut n plus k moins 1, qui réunit particules et barrières.

On a n plus k moins 1, éléments qui sont à la fois des particules et des barrières,

si on en choisit k en disant que c'est des particules, des n moins 1 autres sont

des barrières et ainsi on aura ni k particules dans n cases.

Donc ces configurations sont en nombre,

le nombre binomial de choix de k éléments parmi n plus k moins 1.

Nous avons ainsi résolu la première question, de deux façons.

Deuxième question de l'exercice:

un instant de réflexion permet de s'assurer que l'expérience aléatoire liée

à la loi binomiale ne correspond pas à la probabilité uniforme sur grand oméga.

Nous allons donner l'exemple le plus simple possible: tirons avec remise

k égal 2 boules dans une urne qui contient une boule verte et une boule bleue.

n est égal à 2.

La probabilité uniforme sur grand oméga attribue une probabilité 1/3 aux trois

sous-ensembles avec répétition : deux vertes, deux bleues et une de chaque.

En réalité, une de chaque s'obtient par deux tirages possibles : verte puis bleue

ou bleue puis verte, alors que les deux autres issues deux vertes et deux bleues

correspondent chacune à un seul tirage possible.

De ce fait, dans l'expérience aléatoire et dans sa réalisation réelle, une de chaque

a probabilité 1/2 (1/4 plus 1/4) la probabilité de verte puis bleue et de

bleue puis verte, et en fait quatre issues possibles au total, chacune aura été 1/4.

Cependant, le plus étonnant, c'est que c'est bien la probabilité uniforme sur les

sous-ensembles avec répétitions qui régit les bosons, qui sont un certain nombre de

particules, dont les photons, qu'on étudie en mécanique quantique.

Donc elle est la base de ce qu'on appelle la statistique de Bose-Einstein

de la mécanique quantique.

Dans ce cadre de mécanique quantique, les bosons d'un même type sont des particules

indistinguables, qui peuvent occuper les mêmes micro-états et dont les répartitions

sont régies par la probabilité uniforme sur les sous-ensembles avec répétitions.

Nous avons ainsi résolu la deuxième question et terminé l'exercice.

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