[SON] Bonjour, bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'école polytechnique. Et nous allons faire un exercice qui s'appelle : Sous-ensembles avec répétitions et statistiques de Bose-Einstein. Soit grand oméga l'ensemble des sous-ensembles avec répétition de k éléments parmi n. Ses éléments peuvent être représentés, par exemple, par des suites croissantes de k éléments dont 1, 2, 3, jusqu'à n. Première question : calculer le cardinal de grand oméga. Deuxième question : expliquez pourquoi utiliser oméga muni de la probabilité uniforme donne un résultat faux pour le calcul de la loi binomiale pour les tirages avec remise. La probabilité uniforme sur grand oméga est à la base de la Statistique de Bose-Einstein de la mécanique quantique. Voici la solution de l'exercice Sous-ensembles avec répétition, Statistique de Bose-Einstein. Pour la première question, nous allons donner deux preuves : une première preuve utilise la représentation de grand oméga par des suites croissantes de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à n. C'était cette représentation qui était suggérée dans l'énoncé. Nous remarquons que les suites croissantes de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à n peuvent être mises en bijection, en ajoutant 0 au premier terme de la suite, 1 au deuxième, etc., jusqu'à k moins 1 au k-ième terme de la suite, c'est le k-ième et dernier terme de la suite. Donc en faisant cette bijection nous pouvons mettre les suites croissantes de k éléments dans 1 jusqu'à n, en bijection, avec les suites strictement croissantes de k éléments dans l'ensemble de 1 jusqu'à n plus k moins 1, puisqu'on a rajouté jusqu'à k moins 1 au dernier terme. Les suites strictement croissantes de k éléments dans cet ensemble de 1 jusqu'à n plus k moins 1, sont en bijection, avec les sous-ensembles de k éléments parmi n plus k moins 1. En prenant ces sous-ensembles, et en les ordonnant tout simplement. Donc le cardinal de grand oméga vaut le nombre binomial de k choix dans n plus k moins 1. Nous allons donner une seconde preuve qui utilise une représentation de l'espace grand oméga qui est utilisée par les physiciens. Ces physiciens s'intéressent à des configurations de particules. Donc de leur point de vue, nous distribuons k particules dans n cases et toute case est choisie le nombre de fois donné par le nombre de particules qu'elle contient. Nous supposons les n cases alignées, pour former n cases, une fois qu'on se donne les deux bords extérieurs des cases, on utilise n moins 1 barrières qui délimiteront, ainsi n cases. Chaque configuration de k particules dans n cases correspond à un choix de k éléments, les particules, dans l'ensemble de cardinal k plus n moins 1 qui vaut n plus k moins 1, qui réunit particules et barrières. On a n plus k moins 1, éléments qui sont à la fois des particules et des barrières, si on en choisit k en disant que c'est des particules, des n moins 1 autres sont des barrières et ainsi on aura ni k particules dans n cases. Donc ces configurations sont en nombre, le nombre binomial de choix de k éléments parmi n plus k moins 1. Nous avons ainsi résolu la première question, de deux façons. Deuxième question de l'exercice: un instant de réflexion permet de s'assurer que l'expérience aléatoire liée à la loi binomiale ne correspond pas à la probabilité uniforme sur grand oméga. Nous allons donner l'exemple le plus simple possible: tirons avec remise k égal 2 boules dans une urne qui contient une boule verte et une boule bleue. n est égal à 2. La probabilité uniforme sur grand oméga attribue une probabilité 1/3 aux trois sous-ensembles avec répétition : deux vertes, deux bleues et une de chaque. En réalité, une de chaque s'obtient par deux tirages possibles : verte puis bleue ou bleue puis verte, alors que les deux autres issues deux vertes et deux bleues correspondent chacune à un seul tirage possible. De ce fait, dans l'expérience aléatoire et dans sa réalisation réelle, une de chaque a probabilité 1/2 (1/4 plus 1/4) la probabilité de verte puis bleue et de bleue puis verte, et en fait quatre issues possibles au total, chacune aura été 1/4. Cependant, le plus étonnant, c'est que c'est bien la probabilité uniforme sur les sous-ensembles avec répétitions qui régit les bosons, qui sont un certain nombre de particules, dont les photons, qu'on étudie en mécanique quantique. Donc elle est la base de ce qu'on appelle la statistique de Bose-Einstein de la mécanique quantique. Dans ce cadre de mécanique quantique, les bosons d'un même type sont des particules indistinguables, qui peuvent occuper les mêmes micro-états et dont les répartitions sont régies par la probabilité uniforme sur les sous-ensembles avec répétitions. Nous avons ainsi résolu la deuxième question et terminé l'exercice.
