Jeu de trois dés

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

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École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

61 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)

Nous commençons le Cours 2 qui dure deux semaines. Nous étudions les variables aléatoires "discrètes", c'est-à-dire des variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Loi de Pascal8:24

Tribu et loi d'une variable aléatoire10:48

Jeu de trois dés6:14

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON] [AUDIO_VIDE]

Premier exercice: un jeu avec 3 dés.

Dans cet exercice,

un joueur parie une mise de 1 sur l'issue d'un lancer de 3 dés à 6 faces.

Il choisit un nombre de 1 à 6 avant le lancer des 3 dés.

A l'issue du lancer, si aucun dé ne montre ce nombre, le joueur perd sa mise.

Sinon, donc si au moins un dé montre ce nombre, il garde sa mise

et obtient en plus une quantité 1 pour chaque dé qui montre ce nombre.

Donc première question: donner la loi de la variable aléatoire X

du gain algébrique final du joueur.

Deuxième question: calculer l'espérance,

la variance et l'écart type de cette variable aléatoire X.

Troisième question: le jeu est-il équilibré?

Quatrième question: sinon,

si le jeu n'est pas équilibré, comment peut-on modifier la somme donnée en

plus au joueur lorsque 3 dés montrent le nombre choisi pour qu'il en soit ainsi?

Pour que le jeu équilibré.

Avant d'aller à la solution, bien entendu je vous encourage à chercher cet exercice.

[VIDEO] Donc

je passe à la solution de cet exercice : un jeu avec 3 dés.

Première remarque, bien entendu c'est que l'espace d'états de X C'est l'ensemble

{-1, 1, 2, 3}.

Moins 1 si le joueur perd sa mise, 1 s'il y a un dé qui montre le nombre,

2 si 2 dés montrent le nombre, 3 si tous les 3 dés montrent le nombre.

Nous introduisons la variable N donnant le nombre de dés portant

le nombre choisi par le joueur.

Cette variable aléatoire est importante parce que X

se déduit très facilement de grand N.

Nous pouvons faire des calculs directs de lois sur X et donc sur N, ou remarquer

juste que grand N est en fait une variable aléatoire de loi binomiale B (3, 1/6).

Petit rappel du cours: nous rappelons que grand N est une loi binomiale et

de loi binomiale B(n,p) où n est un nombre entier plus grand que 1 et p est compris

entre 0 et 1, lorsque la probabilité que grand N égal k et le quotient binomiale

le choix de k élément parmi n, p puissance k, (1- p), n- k pour k allant de 0 à n.

Le coefficient binomial compte le nombre de façons de choisir les cas,

événements réalisés.

p puissance k c'est la probabilité que ces cas-là événements soient

réalisés et (1- p) n- k la probabilité que les n- k autres ne le soient pas.

Donc ici on peut faire les calculs directement,

donc très rapidement on peut obtenir le fait que P (X = -1) c'est P (N = 0),

c'est donc 5/6 puissance 3 qui est 125/216

P (X = 1) c'est la même chose que P (N = 1), c'est donc 3 le coefficient

binomial qui ici est 3, c'est le choix de dé parmi 3 c'est 3 fois 1/6,

la possibilité que ce dé-là sorte le nombre choisi, 5/6 au carré la

probabilité de ne pas, que les autres ne sortent pas le nombre choisi.

Et donc ça c'est 75/216 que l'on peut simplifier en 25/72.

P (X = 2), c'est P (N = 2), c'est 3 toujours le coefficient binomial,

cette fois-ci 2 fois par 3 mais c'est toujours 3.

1/6 au carré 5/6 c'est 15/215.

5/72 et P (X = 3) c'est P (N = 3),

c'est 1/6ème au cube, les 3 dés doivent montrer le bon nombre, c'est 1/216.

Nous avons ainsi résolu le premièrement.

Alors si on va calculer l'espérance, par définition l'espérance de X

c'est les valeurs prises par X pondérées par leur probabilité d'être prise,

donc c'est moins 1 fois la probabilité d'obtenir moins 1 donc 125/216,

plus 1 probabilité fois la probabilité d'obtenir 1 plus 1 fois 75/216.

Plus 2 fois la probabilité d'en avoir 2 donc 15/216,

plus 3 fois la probabilité d'obtenir 3 1/216,

un calcul simple montre moins que c'est moins 17 sur 216,

c'est dire à peu près moins 0,0787.

Pour calculer la variance, on utilisera la formule

que la variance de X est l'espérance de X au carré moins le carré de l'espérance,

donc il faut calculer l'espérance de X au carré, donc c'est la même chose.

On pondère les valeurs prises par x au carré donc le carré

des valeurs prises par X par la probabilité d'apparition donc moins 1 au

carré c'est 1 donc c'est 1 fois 125/216 plus 1 au carré c'est-à-dire 1 fois 7/216,

plus 2 au carré c'est-à-dire 4 fois 15/216,

plus 3 au carré c'est-à-dire 9 multiplié par 1/216 le calcul donne 269/216, et donc

la variance un petit calcul, l'espérance de X au carré moins l'espérance de X au

carré donne un nombre 57 815/46 656 qui vaut à peu près 1,24 donc ça c'est

la variante, c'est pour avoir l'écart type,

on prend la racine carré donc 1,24 c'est à peu près 1,11 au carré.

Donc nous avons ainsi résolu le deuxièmement.

La troisième question c'est est-ce que le jeu était équilibré?

Il ne l'est pas puisque l'espérance de X,

l'espérance du gain du joueur est strictement négative.

Elle vaut 0,0787 environ.

Donc nous avons résolu le troisièmement.

Le quatrièmement c'était comment modifier la somme que l'on donnait en plus de

sa mise au joueur lorsqu'il y avait 3 dés qui sortaient et qui montraient ce nombre?

Pour avoir l'espérance de X égal 0, il faudrait remplacer 3 par 3 + 17,

puisqu'il manquait 17/216, 3 + 17 donc 20.

Donc il faudra remplacer les 3 qui ont donné lorsqu'il y a 3 dés par 20.

Nous avons ainsi résolu le quatrièmement de l'exercice et fini l'exercice.

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