Indépendance - espace produit

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (2/2)

Nous terminons le Cours 2 avec l'introduction d'un outil puissant : les fonctions génératrices. Nous étudions ensuite les couples de variables aléatoires et les variables aléatoires indépendantes.

Enfants d'une famille15:14

Indépendance - espace produit4:03

Accidents dans une usine13:34

Expression d'espérance5:44

Canards et chasseurs10:45

Somme aléatoire de dés18:01

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] Premier

exercice sur l'indépendance et les espaces produits Exercice une étoile.

Soit E et F deux espaces finis non vides.

Première question.

On se donne X une variable aléatoire uniforme sur E,

et Y une variable aléatoire uniforme sur F.

On suppose que les deux variables aléatoires sont indépendantes.

Question.

Donner la loi du couple (X, Y).

Deuxième question.

On se donne un couple (X, Y), qui est uniforme sur E x F.

Dire si X et Y sont indépendants et calculer leurs lois.

Solution de l'exercice Indépendance et espace produit.

Donc, pour couple (X, Y) dans E x F, la probabilité pour que le couple aléatoire

(grand X, grand Y) = (petit x, petit y), c'est par définition de l'espace produit,

P (grand X = petit x, et grand Y = petit y).

Ensuite, par indépendance,

P (grand X = petit x) * P (grand Y

= petit y) C'est le produit des deux probabilités P(grand X =

petit x) * P(grand Y = petit y), par indépendance.

Comme X et Y séparément sont uniformes, l'une sur E, l'autre sur F,

ce produit peut s'écrire comme étant (1 / Card (E)) * (1 / Card(F)).

Déjà, ce point-ci, on peut remarquer que cela ne dépend pas de (X, Y),

donc c'est la probabilité uniforme.

Mais on peut en plus remarquer que par la propriété classique de l'espace produit,

cela s'écrit effectivement comme 1 / Card (E x F).

Et donc, le couple (X, Y) est uniforme sur E x F.

Nous avons ainsi résolu le premièrement.

Donc, évidemment, le deuxièmement c'est essentiellement une réciproque.

Donc, réciproquement, donc là l'hypothèse c'est qu'on se donnait un couple (grand X,

Y) qui est uniforme sur l'espace produit, donc on se donne un point petit x,

et un point petit y, x appartenant à E et y appartenant à F.

Et, on veut savoir, première question si x et y sont indépendants.

Donc, on calcule P (grand X = petit x, Y = petit y).

Donc, cela par définition des espaces produits,

c'est la probabilité pour que le couple ((grand X, grand Y) = (petit x, petit y)).

Comme ce couple est uniforme, cela c'est 1 / Card (E x F).

Et là on peut remarquer qu'évidemment c'est (1 / Card (E)) * (1 / Card (F)).

Ce qui est une loi produit.

En particulier,

en fait, cela ne dépend ni de X ni de Y, donc c'est évidemment une loi produit.

Et donc, grand X et grand Y sont indépendants.

Et de plus, comme cela ne dépend ni de x, ni de petit y,

grand X et grand Y sont des variables aléatoires uniformes.

Si on veut faire un calcul un tout petit peu plus poussé,

on peut calculer la marginale.

Grand P (grand X = petit x).

C'est tout simplement la probabilité que (grand X = petit x,

et que grand Y est quelconque, donc appartienne à grand F).

Donc, c'est la somme sur les Y appartenant à grand F,

de P (grand X = petit x, grand Y = petit y).

Donc, par uniformité du couple (X, Y), c'est ((Card (F)),

les cas favorables) / ((Card (E x F), tous les cas possibles), donc en simplifiant,

c'est 1 / Card (E), et on voit bien que la probabilité de (grand X = petit x),

c'est 1 / Card (E), et que grand X est uniforme sur E.

Alors, un calcul tout à fait analogue donne

que P(grand Y = petit y) c'est 1 / Card (F).

Nous avons ainsi résolu le deuxièmement, et fini l'exercice.

On vient de montrer que c'est essentiellement la même chose de regarder

des variables aléatoires indépendantes, uniformes sur deux espaces

et indépendantes, ou de regarder un couple uniforme sur l'espace produit.

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