[SON] [AUDIO_VIDE] Premier exercice sur l'indépendance et les espaces produits Exercice une étoile. Soit E et F deux espaces finis non vides. Première question. On se donne X une variable aléatoire uniforme sur E, et Y une variable aléatoire uniforme sur F. On suppose que les deux variables aléatoires sont indépendantes. Question. Donner la loi du couple (X, Y). Deuxième question. On se donne un couple (X, Y), qui est uniforme sur E x F. Dire si X et Y sont indépendants et calculer leurs lois. Solution de l'exercice Indépendance et espace produit. Donc, pour couple (X, Y) dans E x F, la probabilité pour que le couple aléatoire (grand X, grand Y) = (petit x, petit y), c'est par définition de l'espace produit, P (grand X = petit x, et grand Y = petit y). Ensuite, par indépendance, P (grand X = petit x) * P (grand Y = petit y) C'est le produit des deux probabilités P(grand X = petit x) * P(grand Y = petit y), par indépendance. Comme X et Y séparément sont uniformes, l'une sur E, l'autre sur F, ce produit peut s'écrire comme étant (1 / Card (E)) * (1 / Card(F)). Déjà, ce point-ci, on peut remarquer que cela ne dépend pas de (X, Y), donc c'est la probabilité uniforme. Mais on peut en plus remarquer que par la propriété classique de l'espace produit, cela s'écrit effectivement comme 1 / Card (E x F). Et donc, le couple (X, Y) est uniforme sur E x F. Nous avons ainsi résolu le premièrement. Donc, évidemment, le deuxièmement c'est essentiellement une réciproque. Donc, réciproquement, donc là l'hypothèse c'est qu'on se donnait un couple (grand X, Y) qui est uniforme sur l'espace produit, donc on se donne un point petit x, et un point petit y, x appartenant à E et y appartenant à F. Et, on veut savoir, première question si x et y sont indépendants. Donc, on calcule P (grand X = petit x, Y = petit y). Donc, cela par définition des espaces produits, c'est la probabilité pour que le couple ((grand X, grand Y) = (petit x, petit y)). Comme ce couple est uniforme, cela c'est 1 / Card (E x F). Et là on peut remarquer qu'évidemment c'est (1 / Card (E)) * (1 / Card (F)). Ce qui est une loi produit. En particulier, en fait, cela ne dépend ni de X ni de Y, donc c'est évidemment une loi produit. Et donc, grand X et grand Y sont indépendants. Et de plus, comme cela ne dépend ni de x, ni de petit y, grand X et grand Y sont des variables aléatoires uniformes. Si on veut faire un calcul un tout petit peu plus poussé, on peut calculer la marginale. Grand P (grand X = petit x). C'est tout simplement la probabilité que (grand X = petit x, et que grand Y est quelconque, donc appartienne à grand F). Donc, c'est la somme sur les Y appartenant à grand F, de P (grand X = petit x, grand Y = petit y). Donc, par uniformité du couple (X, Y), c'est ((Card (F)), les cas favorables) / ((Card (E x F), tous les cas possibles), donc en simplifiant, c'est 1 / Card (E), et on voit bien que la probabilité de (grand X = petit x), c'est 1 / Card (E), et que grand X est uniforme sur E. Alors, un calcul tout à fait analogue donne que P(grand Y = petit y) c'est 1 / Card (F). Nous avons ainsi résolu le deuxièmement, et fini l'exercice. On vient de montrer que c'est essentiellement la même chose de regarder des variables aléatoires indépendantes, uniformes sur deux espaces et indépendantes, ou de regarder un couple uniforme sur l'espace produit.
