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Donc, je vais donner la solution de l'exercice sur l'image d'une variable
aléatoire par sa fonction de répartition.
Je vais donner, en fait,
2 preuves, une première preuve qui utilise la simulation et donc, qui sous-entend des
choses qui ont été démontrées en cours, et la deuxième preuve sera plus directe.
Donc, la première chose, utilisation de simulation, ça fait intervenir l'inverse
généralisé continu à gauche de la fonction de répartition.
Donc, je vous donne comme rappel que l'inverse généralisé continu à gauche
de la fonction de répartition, c'est F X de- 1, qui a u appartenant à 0, 1,
ouvert, associe l'infimum des X appartenant à R,
tel que F indice X de x est supérieur ou égal à u.
Ça, c'est un réel.
Et on peut remarquer que par continuité à droite de la fonction de répartition,
l'infimum est en fait un minimum.
Alors ce qui est intéressant, c'est que si F de X est continue,
c'est une fonction continue croissante, et éventuellement, il peut y avoir des
paliers mais elle est continue croissante, donc elle est surjective sur 0, 1.
Et donc, sur, pour les valeurs de u appartenant à 0,
1, si on calcule F indice X, de F indice X- 1 de u,
par définition, c'est F indice X de l'infimum des X qui appartiennent à R,
de F de X de x plus grand que u, et donc, on constate que c'est égal à u.
Si vous prenez la plus petite, l'infimum des X appartenant à R,
tel que F de X de x est supérieur à u,
par continuité, la valeur en ce point, ça vaut u, par continuité de F.
Donc, autrement dit, F X rond F X- 1 vaut l'identité.
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Cette propriété n'est évidemment plus vraie si F de X est discontinue,
ne serait ce parce que F de X, à ce moment-là, n'est plus surjective,
et donc, la composition F de X rond F de X -1 ne peut pas être l'identité.
Donc, voilà le résultat fondamental, F étant continue, F de X rond F de X- 1,
c'est l'identité.
Donc, à partir de ce moment-là, deuxième rappel, ça, c'est très général,
si U est une variable uniforme sur 0, 1, alors F indice X,
-1 de U a pour fonction de répartition F indice X, et en particulier,
donc F indice X,- 1 de U a la même loi que X, donc ça, c'est le
principe fondamental de la simulation, ce qui montre que l'on peut simuler n'importe
quelle variable aléatoire réelle, grâce à une variable aléatoire uniforme sur 0, 1.
Donc, en utilisant le résultat précédent, en utilisant le résultat que F X rond
F X,- 1, c'est une identité, si on prend une variable aléatoire U uniforme sur 0,
1, on veut trouver la loi de F indice X.
En loi, c'est la même chose que F indice X de F X,- 1 de U,
puisque F X- 1 de U a la même loi que X et que la fonction
indice X est une fonction déterministe, elle ne dépend pas du hasard.
Donc, c'est F X rond F X,- 1 de U, ça vaut U.
Donc, F X, F indice X de X est égal en loi, à U.
Donc, c'est une autre variable aléatoire uniforme sur 0.
Voilà le résultat.
Évidemment, ce qui sous-entendu dans tout ça, c'est le résultat assez fort,
c'est quand même de vérifier que si U est une variable aléatoire uniforme sur 0, 1,
alors F X,- 1 de U a la même loi que X, donc,
nous allons fournir une preuve directe.
Donc, la preuve directe, on va considérer la fonction de répartition de Y.
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Donc, la fonction de répartition de Y, par définition, c'est F indice Y de y,
c'est la probabilité pour que Y soit inférieur ou égal à y, et donc,
par définition de Y, c'est la probabilité
pour que F indice X de X soit inférieur ou égal à y, pour tout y appartenant à R.
Donc, on fait un dessin et on tient compte que F de X est croissante, continue et que
sa limite en moins l'infini, c'est 0 et que sa limite en plus l'infini, c'est 1.
Donc, en faisant ce dessin-là, on s'aperçoit que pour tout y
appartenant à 0, 1, ouvert, il existe a inférieur ou égal b,
dans R, tels que si x est strictement plus petit que a, alors F indice X de x
est strictement plus petit que y, si x est strictement plus grand que b,
alors F indice X de x est strictement plus grand que y,
et surtout que F indice X de a vaut F indice X de b, vaut y,
ça, c'est le dernier résultat, c'est parce que F de X est continue, que c'est vraie.
Pour ça, il suffit de prendre a qui est le plus petit x tel que
F indice X de x est supérieur ou égal à y,
et b est le plus grand x tel que F indice X de x inférieur ou égal à a.
En fait, la fonction étant croissante, continue, elle peut avoir des paliers,
et elle prend toutes les valeurs possibles y, mais éventuellement,
elle peut la prendre sur un palier, et donc,
a et b, c'est le début et la fin du palier, où F de X vaut y.
Donc, une fois qu'on a ça, on prend un y, strictement inclus entre 0, 1,
on remarque que l'événement, où X est inférieur ou égal à a,
est inclus dans l'événement où F indice X de X est inférieur ou égal à y,
est lui-même inclus dans l'événement où X est inférieur ou égal à b,
à cause des résultats que l'on vient de dire ici.
Et donc, y qui est la probabilité pour que X soit inférieur ou égal à a,
et inférieur ou égal à la probabilité pour que F X de X est inférieur à y,
et qui est lui-même inférieur ou égal à la probabilité
pour que X soit inférieur ou égal à b, qui lui-même vaut y.
Donc, on utilise les résultats que l'on vient d'établir dans ce transparent.
Donc, par encadrement, F indice Y de y qui vaut la probabilité pour que F X,
X est inférieur ou égal à y, vaut y.
On en déduit que Y est de loi uniforme sur 0, 1,
puisque ça, c'est la fonction de répartition de la loi uniforme.
Nous avons ainsi résolu le premièrement, on a fait tous les calculs,
dans le deuxième cas, on a refait les calculs essentiellement qui démontraient
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que F X rond F X,- 1, était égal à l'identité.
Donc, la deuxième question, c'est essentiellement que se passe-t-il
lorsque la fonction de répartition n'est pas continue.
Donc, les calculs précédents ne fonctionnent que pour les
y qui sont dans l'image des points de continuité, de la fonction de répartition.
Puisqu'on a, ici, on utilise la continuité pour conclure comme ça, et c'est facile de
faire avec un dessin, voir que s'il y a un saut au point a, ça ne marche pas.
Donc, autrement dit les points y, tel qu'il existe un x qui appartient à R+,
tel que y vaut F indice X de x, et vaut aussi la même chose,
que F indice X de X -1, il n'y a pas de saut en x et donc appartient à 0, 1.
Et pour ces points-là, on aura toujours la fonction de répartition qui,
au point y, qui vaudra y.
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On va regarder ce qu'il se passe ailleurs, donc s'il y a un saut au point x, si la
probabilité que X vaut x est strictement positive, alors il y a un saut.
Y ne peut pas prendre les valeurs comprises entre la valeur, la limite à
gauche F de X de (x -) et la valeur x de la fonction de répartition donc,
la probabilité qu'Y appartienne à l'intervalle F de X de (x -),
F de X de (x), fermé à gauche et ouvert à droite, ça vaut 0,
il y a des valeurs qui sont impossibles.
Et par ailleurs, la probabilité pour Y vaille la valeur de la fonction
F de X au point x, c'est justement
la valeur de la probabilité pour que X vaut x et donc est strictement positive.
Donc, la fonction de répartition aura éventuellement des morceaux qui seront
égaux à la diagonale, mais il y aura aussi des sauts comme ça,
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
