ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : MÉTHODE D'INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)

Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).

INTRODUCTION ET SIMULATION DES LOIS DISCRÈTES17:02

INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION13:26

ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : MÉTHODE D'INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION4:39

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

Aujourd'hui dans cette nouvelle séance de simuler l'aléatoire,

durant la dernière séance j'ai introduit la méthode d'inversion de la fonction

de répartition pour simuler une variable aléatoire, le but

de cette séance va être de vous montrer une expérience numérique

qui illustre cette méthode, avec plusieur exemples.

Je vous rappelle le principe de cette méthode, très brièvement.

Nous avons une variable aléatoire X,

dont la fonction de répartition grand F est supposée connue,

on tire une variable aléatoire uniforme U dans l'intervalle 0,1.

Et on a vu que, si on prend F- 1(U),

on obtient une variable aléatoire qui a la même loi que X.

Souvenez-vous que lorsque grand F n'est pas une fonction inversible,

il faut faire un peu attention à ce que signifie l'inverse,

mais dans les exemples que je vais vous présenter dans cette séance,

F- 1 ça va être vraiment la fonction réciproque naturelle.

Je vais vous montrer dans l'expérience numérique trois exemples,

plus un autre que vous verrez tout à l'heure.

Le premier sera la loi exponentielle, on a pris une loi exponentielle de paramètre

0.25, dans la fonction de répartition est rappelée ici.

Elle a donc cette allure.

Vous pouvez vérifier que la densité

obtenue en dérivant cette fonction est une exponentielle décroissante comme cela.

Je prendrai aussi la loi de Laplace, qu'il est plus facile de définir

d'introduire par sa fonction, par sa densité de probabilité, qui est une

exponentielle avec une valeur absolue, donc c'est une loi qui décrit une variable

aléatoire qui peut prendre des valeurs négatives et positives, et je vous laisse

vérifier que en intégrant on obtient bien cette fonction de répartition.

Il faut faire un peu attention à cause de la valeur absolue.

Et l'allure de la fonction de répartition de la loi de Laplace est celle-là.

Le troisième exemple que je prendrai, est la loi de Gumbel,

qu'on a croisé une fois, sa fonction de répartition est cette double exponentielle

et vous voyez que si vous la représentez, à cause du fait que quand x est négatif,

e moins x devient énorme, et on prend encore e moins cette énorme quantité,

elle est pratiquement nulle pour des valeurs déjà assez faibles,

elle devient extrêmement petite, ensuite elle commence à décoller,

et elle va finir par tendre vers A.

Vous pouvez vérifier que sa densitéest donnée par cette expression.

Donc le premier exemple que j'utiliserai pour illustrer dans

l'expérience numérique il a été concocté pour illustrer

plusieurs phénomènes que je vais maintenant vous commenter.

Passons maintenant à l'expérience numérique interactive que

vous pourrez utiliser vous-même et qui va illustrer

la méthode d'inversion de la fonction de répartition.

Donc voici ce qu'on vous propose comme simulation.

Vous reconnaissez sans doute la fonction de répartition qui a été

étudiée en cours et pour laquelle vous avez déjà vu une démonstration numérique.

Vous pouvez donc changer le

nombre de tirages de la variable uniforme qu'on tire sur l'axe des ordonnées.

Vous pouvez aussi regarder ce qui se passe pour d'autres lois,

on a mis ici la loi exponentielle,

et on peut voir en particulier que si on n'a pas suffisamment de tirages

on a un moins bon échantillonage des grandes valeurs que si on augmente le

nombre de tirages, ce qui correspond au fait qu'ici, pour explorer cette région,

il faut entre guillemets bien viser avec la variable uniforme suffisamment de fois

dans cette petite zone, qui correspond aux grandes valeurs ensuite de la variable

aléatoire, vous pouvez aussi voir ce qui se passe avec la loi de Laplace,

et on voit que la méthode respecte bien statistiquement la symétrie

que possède la fonction, la densité de probabilité, ici.

Et enfin, on peut expérimenter ce qui se passe avec la loi de Gumbel,

qui elle n'est pas symétrique, sa fonction de répartition est extrêmement proche

de zéro dès que les valeurs deviennent inférieures à moins 2, on voit quasiment

plus c'est quasiment nul, et ensuite elle croît, comme ça, jusqu'à 1.

Et on voit là aussi qu'avec relativement peu de tirages, on reconstruit bien

la densité de la loi de Gumbel avec son asymétrie caractéristique.

Maintenant c'est à vous de jouer,

vous pouvez utiliser par vous-mêmes cette expérience numérique interactive en ligne,

et vous pouvez explorer comme ça la méthode d'inversion de la fonction de

répartition et vous faire plus d'intuition.

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