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Événements indépendants

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Événements indépendants

Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Visualiser le programme de cours

Enseigné par

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham

Transcription

[SON] [AUDIO_VIDE]

Le deuxième exercice, c'est un travail autour des événements indépendants.

Dans un espace de probabilité,

on suppose que les événements Ai, pour i allant de 1 à n, sont indépendants.

Nous rappelons que par définition, cela signifie que, pour tous les m compris

entre 2 et n, et touts les indices i1, im compris entre 1 et n et distants,

nous voulons que la probabilité de l'intersection de k = 1 à m des Aik

est égale au produit, pour k = 1 à m, des probabilités des Aik.

Il est très important de remarquer qu'on ne

demande pas ça juste pour 2 événements, ni juste pour n événements,

mais qu'il faut que ce soit valable pour tous les n compris entre 2 et n.

Le cas m = 1 étant trivial, car c'est dire que la probabilité d'un événement c'est

égale à la probabilité d'un événement.

Donc, je le répète, nous avons un espace de probabilités,

et a supposé que les événements Ai, i allant de 1 à n sont indépendants,

selon la définition que nous venons de donner.

Première question : montrer qu'alors,

pour tous les Bi qui sont soit égaux à i, soit égaux ou complémentaires à i

complémentaire de Ai, les événements Bi, pour i allant de 1 à n, sont indépendants.

Autrement dit, dans la connection d'événements indépendants,

on a le droit de remplacer arbitrairement les Ai par leurs complémentaires,

et on obtient encore des événements indépendants.

Deuxième question.

Montrer que cela, le fait que les Ai soient indépendants,

est vrai, si et seulement si, cette fois-ci, on se contente

de prendre les intersections de k = 1 à n, et les produits de k = 1 à n,

si et seulement si la probabilité de l'intersection de k = 1 à n,

des Bi, est égale au produit de k = 1 à n des probabilités de Bi,

et cela, pour tous les Bi arbitrairement choisis entre Ai et Ai complémentaire.

Donc, cette définition de l'indépendance dans l'exercice, nous allons montrer que

c'est équivalent à demander à ce que la probabilité de l'intersection de k =

1 à n mais des Bi qui peuvent être choisis arbitrairement entre Ai et

Ai complémentaire, est égal au produit de k = 1 à n des probabilités des Bi.

Donc, la solution de l'exercice.

Je rappelle la définition de l'indépendance, appliquée aux Bi

qui sont choisis arbitrairement entre Ai et Ai complémentaire, donc il faut montrer

que pour tous les m compris entre 2 et n, et tous les indices distincts i1....

im entre 1 et n, et tous les Bij qui sont choisis arbitrairement entre Aij

et Aij complémentaire, il faut démontrer que la probabilité de l'intersection

de k = 1 à m des Bik, est le produit des probabilités k = 1

à m des probabilités de Bik Nous allons le faire par récurrence

sur le nombre de Ai complémentaires qu'il y a, dont ce m-uplet.

Sachant que, par définition, on le sait déjà,

que c'est vrai si tous les Bik sont égaux à des Aik.

Et donc, comme nous allons le faire par récurrence sur le nombre des Ai

complémentaires qui figurent parmi les Bik, il suffit en fait de le montrer,

lorsqu'on prend Bi1 = Ai1, etc, Bim- 1 = Aim- 1,

et lorsqu'on change, juste le dernier en prenant Bim = Aim complémentaire.

Ensuite, par une récurrence assez simple, si l'on est capable de changer

un des Ai en Bi, on est capable de les changer tous de façon arbitraire.

Donc il suffit de montrer cela.

Pour montrer cela, on considère la probabilité de l'intersection de k = 1 à

n- 1 des Aik, tout cela intersecté avec Aim complémentaire.

On est en train de prendre l'intersection de m éléments,

où tous sauf le dernier sont des Ai, et le dernier est le complémentaire d'un Ai.

Une façon d'écrire cette intersection, c'est de l'écrire comme étant la

probabilité de l'intersection de k = 1 à n- 1 des Aik,

et de lui retrancher l'intersection de k = 1 à m des Aik.

Puisque intersecter avec les complémentaires, c'est bien dire qu'on ne

veut pas les événements qui sont dans Aim, et donc on les retranche.

Nous avons écrit cela comme ça, parce que les deux événements que nous avons écris,

dont nous faisons la différence, sont emboîtés : le premier contient le second.

De ce fait, par l'additivité des mesures de probabilité,

nous voyons que la probabilité d'intersection de k = 1 à n- 1 de Aik

intersecté avec Aim complémentaire, l'objet que nous étudions,

c'est la différence des probabilités entre l'intersection de k = 1 à n- 1 des Aik,

et la probabilité des intersections de k = 1 à m des Aik.

Une fois qu'on a fait cette remarque, qui est fondamentale mais qui utilise

évidemment la propriété fondamentale d'additivité des mesures de probabilité,

il ne reste plus qu'à utiliser la définition de l'indépendance des Ai

et des propriétés élémentaires pour conclure que,

de la probabilité de l'ensemble qui nous intéresse, l'intersection de k = 1 à

n- 1 des Aik intersectée avec Ain complémentaire, nous venons de voir

que c'est égal au produit de k = 1 à n- 1 des probabilités de Aik - le produit de

k = 1 à m et les probabilités de Aik, c'est le résultat précédent.

Du coup, on peut mettre en facteur le produit de k = 1 à n- 1 des probabilités

de Aik, tout ça c'est facteur de 1- la probabilité de Aim on remarque évidemment,

que 1- la probabilité de Aim, c'est la probabilité de Aim complémentaire,

donc on trouve le produit de k = 1 à n- 1, les probabilités de Aik,

multiplié par la probabilité de Aim complémentaire.

Or c'est bien ça qu'il fallait montrer,

c'est bien ça la probabilité d'indépendance que l'on cherche,

ou en tous cas la qualité de produit que l'on cherche, donc on vient de montrer que

l'on est capable de changer l'un des Ai en son complémentaire,

et donc par récurrence, on va même être capable de changer tous les Ai en leurs

complémentaires ou un nombre arbitraire des Ai en leurs nombres complémentaires.

Nous avons ainsi résolu le premièrement.

Le deuxièmement, c'était de dire que,

la propriété pour n = m on a envie de dire, pour les Bi qui sont dans Ai

et Ai complémentaire impliquent l'indépendance des Ai.

Donc l'implication, le fait que si cette propriété, donc je reviens à l'énoncé,

donc nous voulons montrer l'équivalence de la question 2,

donc la première chose que l'on remarque, c'est que si les Ai sont indépendants,

nous venons de montrer que les Bi sont indépendants,

ou les Bi sont choisis arbitrairement par Ai et Ai complémentaire, donc c'est une

propriété de produit valable pour tous les m entre 2 et n, si on l'applique pour

m = n, on trouve bien que la probabilité d'intersection de k = 1 à n de Bi,

c'est le produit des probabilités k = 1 à n des probabilités de Bi.

Maintenant, nous allons montrer la réciproque.

La définition est vraie pour m = n, comme cas particulier,

et nous allons conclure par une récurrence descendante sur m.

Il suffit de le montrer pour m = n- 1, puisqu'une fois que l'on aura montré qu'on

peut passer de m à n- 1, avec le même raisonnement on pourra

passer de n- 1 à n- 2 etc et on arrivera jusqu'à m = 2, le cas m = 1 étant trivial.

Donc le but, c'est de montrer que l'on a la propriété,

du fait que la probabilité de l'intersection de n- 1 des Ai doit être le

produit des probabilités de n- 1 des Ai.

Donc on va faire ça en enlevant, entre guillemets, An de l'ensemble des Ai.

Donc quite à réordonner, on enlève 1 arbitraire, un indice arbitraire,

on va dire que c'est l'indice n pour avoir des notations un petit peu plus simples.

Donc, nous allons montrer que nous pouvons passer de i = 1 à n, à i = 1 à n- 1.

Pour ce faire, par hypothèse, en prenant tout simplement tous les Bi égaux aux Ai.

La probabilité d'intersection de i = 1 à n des Ai,

c'est le produit de i = 1 à n des probabilités de Ai.

Ensuite, en utilisant la propriété en prenant pour Bn, An complémentaire,

autrement dit en remplaçant An par son complémentaire An complémentaire,

on a que la probabilité d'intersection de i = 1 à n- 1 des Ai,

intersecté avec An complémentaire, c'est le produit de i = 1 à n- 1

à des probabilités de Ai, fois la probabilité de An complémentaire.

C'est la propriété des Bi que l'on exploite.

En sommant ces deux termes, on a la probabilité d'intersection de i = 1 à n- 1

des Ai, + la probabilité d'intersection de i = 1 à n- 1 des Ai intersecté avec

An complémentaire, donc c'est le produit Bi = 1 à n- 1 des probabilités des Ai.

Puisqu'évidemment la probabilité de An + la probabilité de An complémentaire,

ça fait 1.

Donc on vient de passer, en tous cas au niveau du produit, de n à n- 1.

Il s'agit de traiter le premier terme, donc le premier terme est assez

simple : les deux événements qui sont à gauche de l'égalité du bas sont disjoints,

puisque dans l'un il y a An, et que dans l'autre il y a An complémentaire,

et que ce sont des intersections.

Donc, par l'additivité des mesures de probabilité, la somme de

ces probabilités d'événements disjoints, c'est la probabilité de la réunion.

Or, la probabilité de la réunion, en fait la réunion,

ici, dans la première intersection vous avez An comme dernier terme,

dans la deuxième intersection vous avez An complémentaire comme dernier terme,

donc la réunion de ces deux événements disjoints,

c'est tout simplement l'intersection de i = 1 à n- 1 des Ai.

Donc en définitive, la probabilité de l'intersection de i = 1 à n- 1 des Ai

est égale au produit de i = 1 à n- 1 des probabilités de Ai.

Donc ça c'est bien la propriété pour m = n- 1 qu'il fallait démontrer, et donc par

récurrence, on démontre ainsi la propriété qui caractérise l'indépendance des Ai.

Nous avons ainsi résolu le deuxièmement de l'exercice, la question numéro 2,

et fini l'exercice.

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