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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

62 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

62 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)

Nous commençons le Cours 2 qui dure deux semaines. Nous étudions les variables aléatoires "discrètes", c'est-à-dire des variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.

Loi de Pascal8:24

Tribu et loi d'une variable aléatoire10:48

Jeu de trois dés6:14

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] Le

premier exercice que nous allons considérer est une histoire de clés.

Nous avons une personne qui a 4 clés, mais une seule ouvre la porte.

Elle les essaye au hasard, en éliminant celles qui ne fonctionnent pas.

Donc on introduit une variable aléatoire qui va être le nombre d'essais

pour ouvrir la porte.

J'en profite pour dire qu'on utilise constamment l'abréviation v.a.

pour variable aléatoire, et je le ferai constamment.

Les questions que nous nous posons sont : Calculez la loi de probabilité de X,

et ensuite, calculez l'espérance et la variance de X.

Voici comment s'y prendre : d'après le cours,

calculer la haute probabilité de X revient à calculer les nombres P(X = k),

pour k = 1, 2, 3, 4 puisqu'effectivement une fois qu'on connaît ces nombres,

on caractérise complètement la v.a.

puisqu'au bout de 4 essais, on a ouvert la porte.

Alors allons-y : P(X = 1) c'est 1/4

parce qu'on a 1 chance sur 4 de prendre la bonne clé.

Ceci étant dit, on passe au cas P(X = 2) Donc si on veut savoir la probabilité

qu'au bout du deuxième essai on a ouvert la porte, ça veut dire qu'au premier essai

on s'est trompé, on a 3 chances sur 4 d'avoir pris la mauvaise clé,

et ensuite, au deuxième essai, on sait qu'on n'a plus que 3 clés en main,

et on a 1 chance sur 3 d'avoir pris la bonne clé.

Et si on fait le produit de ces deux événements indépendants, on obtient 1/4.

La probabilité que X = 3, par le même genre de raisonnement tout à fait

: la première fois on se trompe, donc on a pris les 3 mauvaises clés parmi les 4.

Il ne nous en reste plus que 3 au deuxième essai, on s'est encore trompé,

puisqu'on suppose maintenant que X va valoir 3, donc on a deux chances sur trois

de s'être trompé parmi les 3 clés que nous avions à disposition au deuxième essai,

et au troisième essai, on sait qu'on n'a plus qu'une chance sur deux de se tromper,

ou une chance sur deux de trouver la bonne clé,

et quand on fait le produit de ces trois probabilités, on obtient : 1/4.

Pour P(X = 4) on a exactement le même raisonnement et évidemment au quatrième

essai, on a une probabilité 1 de réussir, puisqu'il ne nous reste plus qu'une clé.

Vous constatez d'ailleurs que ces trois probabilités sont identiques,

elles sont égales à 1/4, et donc, nous avons une variable aléatoire qui est

equidistribuée sur l'espace des possibles, qui est juste 1, 2, 3, 4.

Passons maintenant au calcul de l'espérance,

d'après la définition que je réécris ici, dans ce cas-là, l'espérance de X,

que l'on appelle aussi la valeur moyenne de X, qu'on somme sur les valeurs

possibles de la v.a., qu'on pondère par la probabilité correspondante.

Donc on a cette somme, de i = 1 jusqu'à 4 de i P(X = i) et avec les probabilités que

l'on vient de calculer,

on trouve ce nombre : je vous laisse vérifier que ça donne bien 5/2.

En ce qui concerne la variance,

la définition de la variance, c'est l'espérance du carré de la v.a.

moins le carré de l'espérance.

J'ai mis en bleu l'espérance du carré, donc c'est le même genre de calcul que

juste au-dessus, cette fois-ci on prend X² au lieu de X, donc on somme

i² fois la probabilité fois la probabilité que X = i.

Donc vous voyez, ça donne 1(1 / 4) + 2²(1

/ 4) + 3²(1 / 4) + 4²(1 / 4) Il faut retrancher le carré de l'espérance,

on vient de voir que c'est 5/2 donc ça fait 25/4, et on trouve 5/4.

Voilà ce qui conclue cet exercice.

Le deuxième exercice de cette séance, concerne des Interviews.

Nous allons supposer qu'un journaliste a une liste de personnes à interviewer,

et il doit pour satisfaire son journal, en interviewer au moins cinq.

Le problème, c'est que les personnes de cette liste n'acceptent de parler

qu'avec une probabilité égale à 2/3.

Indépendamment les unes des autres.

La question qu'on se pose, c'est : quelle est la probabilité qu'il puisse réaliser

ces cinq interviews, si la liste ne contient que cinq noms?

Et on se pose la même question si elle en contient huit.

La solution de cet exercice, consiste à introduire la v.a.

X, qui est le nombre de personnes qui acceptent l'interview.

Et lorsqu'il y a cinq noms sur la liste,

X suit une loi binomiale qui est de paramètre (5, 2/3).

En effet, nous avons une probabilité de succès égale à deux tiers, qui est le fait

que la personne contactée accepte d'être interviewée, et nous avons cinq épreuves,

pour reprendre la terminologie qu'on a introduite en cours pour la loi binomiale.

Donc si l'on applique la formule qui est dans le cours,

P (X = 5) donc la probabilité qu'il y ait cinq personnes qui acceptent l'interview,

s'obtient donc en multipliant (5 choix parmi 5) (2 / 3) puissance 5.

Qui donne (2 / 3) puissance 5, qui est approximativement, 0.13.

S'il y a huit noms sur la liste maintenant,

X suit une loi binomiale et cette fois-ci, les paramètres, c'est (8, 2/3), on

a maintenant 8 épreuves et la probabilité de faire au moins cinq interviews

elle vaut probabilité que X soit supérieur ou égal à 5, et cet événement X

supérieur ou égal à 5 est l'union de ces 4 événements disjoints qui sont que,

soit X = 5, soit X = 6, soit X = 7 ou soit X = 8.

Donc il suffit de sommer ces probabilités,

et en appliquant la formule binomiale, on trouve ces nombres, et je

vous laisse vérifier avec votre calculette que l'on obtient à peu près 0.74.

Avec 74 % de chances,

on réussit à pouvoir interviewer au moins cinq personnes parmi la liste de huit.

Voilà ce qui conclue cette séance.

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