8-3.a：雙變數期望值 (上)

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En provenance du cours de National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

39 notes

National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

39 notes

這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

À partir de la leçon

WEEK 8

前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？

8-0：咱們聊聊，如何探索有意義的人生？22:49

8-1.a：聯合機率分佈 (上)14:36

8-1.b：聯合機率分佈 (中) 15:05

8-1.c：聯合機率分佈 (下)17:00

8-1.d：聯合機率分佈 (末) 11:18

8-2：邊際機率分佈 12:32

8-3.a：雙變數期望值 (上) 10:06

8-3.b：雙變數期望值 (下) 17:27

Rencontrer les enseignants

葉丙成
教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)

当我们学了这个两个随机变量它的joint概率分布之后

联合概率分布之后

那我们就很自然想说

以前我们在学一个概率一个随机变量它的概率分布

我们不管是学PMF或PDF

之后我们做了什么事情？

我们去算它的期望值啦对不对

那我们自然就想那我们现在学的

两个随机变量它的概率分布之后

我现在知道joint PMF 也知道joint PDF之后

我们很自然就想到那能不能算它的期望值呢

可不可以呢这就是我们这一节要探讨的

我们先看一下

我们现在以这个PMF的case来考虑 joint PMF的case来考虑

我们先不要算它的期望值我们先想想看

当初我们就一个随机变量

一个discrete随机变量x的时候

我们对于这个x的任意的这个函数g(x) 我们是怎么算它的期望值的

就是这个样子

g(x)的期望值我们就把它定义说

就是把g(x)乘上它的PMF px(x)

把它summation 对所有的x 从负无穷大加到无穷大对不对

这是一个随机变量x的情况如果你现在有两个随机变量呢

我们有一个X 也有一个Y

有一个大X跟大Y

那这个时候你的函数会不会又只是一个g(x)函数

只有一个x函数呢

当然有时候你有可能只考虑X函数但是也有可能你只考虑Y函数

但是最一般话来讲你现在有两个变量了

对不对所以你现在考虑的函数应该就不是只有一个X函数

而是X跟Y的函数所以在这边呢

前面这个只考虑只有X 现在可能会有X跟Y咯

那这边呢

原来只对x做summation

因为你现在只有一个x嘛

你现在如果有X跟Y的话

那你会想说那这个summation是不是应该

除了对X从负无穷大到无穷大加到无穷大之外

是不是也应该要对Y做summation 从负无穷大到无穷大呢

是不是呢所以呢

把这些概念这些想法

我们把它延伸出去的话很自然呢我们就会发现说

如果你今天有两个随机变量X跟Y的话

两个discrete随机变量X跟Y

它们的任意函数

它们的任意函数应该就是X跟Y的函数嘛因为我们考虑X跟Y

所以这个函数任意X跟Y的函数 h我都会考虑

h(X,Y)的期望值我们就可以发现说

不是只有对X做summation 还要对Y做summation

那把所有可能的h(X,Y)乘上它的joint PMF

pX,Y(x,y) 乘起来对X 分别对X跟对Y 从负无穷大到无穷大

把它们summation summation掉

这个就是我们很自然的会定义说

在joint PMF下它的这个期望值就是这样子算的

那这个h(x,y)我们是说非常非常general 非常一般的咯？

你任何函数都可以代进去只要是X跟Y的函数

那你会问老师说老师我今天想要算X平方的期望值可不可以

可以啊因为你看看

你说我这个函数

可不可以定义成h(x,y)=X平方

可以啊这个函数只跟X有关

当然可以只是它这个退化没有Y

但是它还是可以把它看成一个广义的X,Y的函数啊

对不对所以这个h(x,y)

大家要记住不要被它绑死

不要以为说这h(x,y) 写这样子的话就一定要跟x跟y这种关系

不是啦只是说一般来讲可以跟x跟y有关系

但是如果你这情况之下你只希望算X平方的期望值

你就一样把它代进去

就X平方乘上p(x,y) 然后把它对x对y 整个summation掉

你就可以得到X平方的期望值

这就是joint PMF下的期望值那我们来看个例子

假设说人家给我们这个小美跟小丽

她们在脸书和QQ离线时间的这个joint PMF

长这个样子

那这个joint PMF我们就有了那人家要我们算的是什么

要你算说你能不能算出x-y的绝对值的期望值

那x-y的绝对值是不是是不是一个x,y的函数呢

是啊它是x,y的函数啊所以该学生说

你这个要算x,y的函数任何函数的期望值都可以算怎么算

就summation x从负无穷大到无穷大 summation y从负无穷大到无穷大

然后你把这个函数是什么

就x-y的绝对值有没有

乘上它的joint PMF

然后把它整个对x跟对y summation起来对不对

那你看看

是不是想到哦显得它很霸气

x从负无穷大加到无穷大 y从负无穷大加到无穷大

需不需要真的搞这么大

从负无穷大弄到无穷大

不需要嘛那个表告诉你说

joint PMF不等于零的只有哪几个

就只有x从八到十 y也是从八到十对不对

所以只有这9个点只有在这9个点PMF值不等于0

其它都等于零

所以你只要在这九个点算这个PMF乘上x-y的绝对值

这样就可以了

比如说你看看这一点

x=8 y=8这一点PMF值虽然不等于零但是x-y的绝对值等于多少

是8-8的绝对值是零那这个不用算对不对

那这个叻

PMF=0 PMF=0.05 那x-y的绝对值是什么

就8-9的绝对值是1 对不对

所以诸如此类这样一算

算出来最后就只有这几项把它加一加

最后等于0.5 ok

所以这个例子给大家看到说

有了joint PMF之后对于任何一个xy的函数

能不能算出它的期望值可以很简单

就把函数值乘上PMF值对x对y全部summation起来

那这样子我们会算 joint PMF下面会算期望值

那我们讲在joint PDF下面我们能不能算期望值

也是一样

我们还是回想这样子

当初只有一个随机变量只有一个随机变量

一个连续随机变量X

你知道它的PDF的时候

那对于一个x的任意函数

g(x) 你的期望值会不会算

会啊就是把g(x)乘上x的PDF

然后怎么样

把x对x积分从负无穷大积到无穷大对不对

同样的

今天呢有两个随机变量x跟y 然后都是连续的话

g(x)假设只有一个随机变量的函数现在变成什么

变成两个随机变量的函数

就是变成x,y的函数

就是刚才我们说的h类似

那你这边呢本来是

g(x)乘上PDF 做积分那现在应该是什么

应该是那个x,y的函数乘上什么乘上f(x,y)

去乘上它们的joint PDF

积分现在积几个呢

之前这个时候对x积分是因为只有x一个变量

现在有xy两个变量了你说这个期望值你要积几个

几重积分两重积分对x积分且对y积分

所以呢

如果连续这个随机变量有两个

有x跟y 所以我们把它们一起考虑起来的话

你这个对于它任意一个函数

h(x,y)它的期望值

应该是什么

就是h(x,y)乘上joint PDF(x,y) 然后怎么样呢

对x跟对y都积两个都要积分

都是从负无穷大积到无穷大负无穷大积到无穷大 ok

这个就是joint PDF下面怎么算期望值

同样的老师这边给你一个例子

你看还是一样刚才那个那个joint PDF

x跟y满足这个条件就是0≤y≤x≤2

也就是现在图上面那个黄色三角形

只有在那个地方 PDF值不等于零

它等于0.5

其它的地方PDF值都等于零这是前面那个例子

我们就用这个例子来当做来看一下

如果今天要你算的是 x+y的这个期望值

那x+y是不是x跟y的函数

是啊

它是x跟y的函数啊所以我们就可以算它的期望值了对不对

怎么算

就是刚才讲你把那个函数就是x+y

乘上joint PDF

然后把它对x从负无穷大积到无穷大对y也从负无穷大积到无穷大

也是一样老师要问你一句

这是不是真的要搞这么大是不是真的要从负无穷大积到无穷大

何必呢对不对

人家这个PDF值不等于零的只有在那个三角形里面不等于零

你还真的要从负无穷大积到无穷大这么累干什么对不对

所以呢你只要对那三角形去积分就好了

这三角形的里面呢 PDF值不等于零

都等于多少等于0.5 所以你看

这个PDF值原本这个PDF值来到这边呢就变成什么

就变成0.5啦

因为只有它的PDF值都等于0.5

那积分的范围呢

你看积分的范围

本来你就只要积这三角形的部分

这三角形的部分你看怎么积你看看

如果我固定一个y的话

你固定一个y的话 y呢

固定一个y你的x会

你固定的话

我们现在从下面一层一层扫上去对不对

下面下面一层一层扫上去你就能把整个三角形都扫遍

你固定其中的某一个y的时候

你x是从哪边扫到哪里

你x是从y扫到2 所以这一条线其实是从y扫到2

我们有看到所以你看看哦

你的y呢是从哪里到哪里

我的y是从这个电梯是从0 y是从0一直到2

所以你看这边y 这边y的变化有没有看到

y的变化是从0到2

你y从0扫到2

每固定一个y 你的x是从哪边扫到哪里

固定一个y x是从y扫到2

你看这个呢就是y的

积分范围是这样子积的

这样子呢你把它代进去去做这个积分呢一步一步做

最后会得到这个就是这个积分的结果很简单

算出来会是等于2

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