当我们学了这个 两个随机变量 它的joint概率分布之后 联合概率分布之后 那我们就很自然想说 以前我们在学一个概率 一个随机变量它的概率分布 我们不管是学PMF或PDF 之后 我们做了什么事情？ 我们去算它的期望值啦 对不对 那我们自然就想 那我们现在学的 两个随机变量它的概率分布之后 我现在知道joint PMF 也知道joint PDF之后 我们很自然就想到 那能不能算它的期望值呢 可不可以呢 这就是我们这一节要探讨的 我们先看一下 我们现在以这个PMF的case来考虑 joint PMF的case来考虑 我们先不要算它的期望值 我们先想想看 当初我们就一个随机变量 一个discrete随机变量x的时候 我们对于这个x的任意的这个函数g(x) 我们是怎么算它的期望值的 就是这个样子 g(x)的期望值我们就把它定义说 就是把g(x)乘上它的PMF px(x) 把它summation 对所有的x 从负无穷大加到无穷大 对不对 这是一个随机变量x的情况 如果你现在有两个随机变量呢 我们有一个X 也有一个Y 有一个大X跟大Y 那这个时候 你的函数会不会又只是一个g(x)函数 只有一个x函数呢 当然有时候你有可能只考虑X函数 但是也有可能你只考虑Y函数 但是 最一般话来讲 你现在有两个变量了 对不对 所以你现在考虑的函数应该就不是只有一个X函数 而是X跟Y的函数 所以在这边呢 前面这个只考虑只有X 现在可能会有X跟Y咯 那这边呢 原来只对x做summation 因为你现在只有一个x嘛 你现在如果有X跟Y的话 那你会想说 那这个summation是不是应该 除了对X从负无穷大到无穷大 加到无穷大之外 是不是也应该要对Y做summation 从负无穷大到无穷大呢 是不是呢 所以呢 把这些概念 这些想法 我们把它延伸出去的话 很自然呢 我们就会发现说 如果你今天有两个随机变量X跟Y的话 两个discrete随机变量X跟Y 它们的任意函数 它们的任意函数应该就是X跟Y的函数嘛 因为我们考虑X跟Y 所以 这个函数 任意X跟Y的函数 h我都会考虑 h(X,Y)的期望值我们就可以发现说 不是只有对X做summation 还要对Y做summation 那把所有可能的h(X,Y)乘上它的joint PMF pX,Y(x,y) 乘起来 对X 分别对X跟对Y 从负无穷大到无穷大 把它们summation summation掉 这个就是我们很自然的会定义说 在joint PMF下它的这个期望值就是这样子算的 那这个h(x,y)我们是说非常 非常general 非常一般的咯？ 你任何函数都可以代进去 只要是X跟Y的函数 那你会问老师说 老师我今天想要算X平方的期望值可不可以 可以啊 因为你看看 你说我这个函数 可不可以定义成h(x,y)=X平方 可以啊 这个函数只跟X有关 当然可以 只是它这个退化没有Y 但是它还是可以把它看成一个广义的X,Y的函数啊 对不对 所以 这个h(x,y) 大家要记住 不要被它绑死 不要以为说这h(x,y) 写这样子的话就一定要跟x跟y这种关系 不是啦 只是说一般来讲 可以跟x跟y有关系 但是如果你这情况之下 你只希望算X平方的期望值 你就一样把它代进去 就X平方乘上p(x,y) 然后把它对x对y 整个summation掉 你就可以得到X平方的期望值 这就是joint PMF下的期望值 那我们来看个例子 假设说人家给我们这个小美跟小丽 她们在脸书和QQ离线时间的这个joint PMF 长这个样子 那这个joint PMF我们就有了 那人家要我们算的是什么 要你算说 你能不能算出x-y的绝对值的期望值 那x-y的绝对值是不是 是不是一个x,y的函数呢 是啊 它是x,y的函数啊 所以 该学生说 你这个要算x,y的函数 任何函数的期望值都可以算 怎么算 就summation x从负无穷大到无穷大 summation y从负无穷大到无穷大 然后你把这个函数 是什么 就x-y的绝对值 有没有 乘上它的joint PMF 然后把它整个对x跟对y summation起来 对不对 那你看看 是不是想到 哦显得它很霸气 x从负无穷大加到无穷大 y从负无穷大加到无穷大 需不需要 真的 搞这么大 从负无穷大弄到无穷大 不需要嘛 那个表告诉你说 joint PMF不等于零的只有哪几个 就只有x从八到十 y也是从八到十 对不对 所以只有这9个点 只有在这9个点PMF值不等于0 其它都等于零 所以你只要在这九个点算这个PMF乘上x-y的绝对值 这样就可以了 比如说你看看 这一点 x=8 y=8这一点PMF值虽然不等于零 但是x-y的绝对值等于多少 是8-8的绝对值是零 那这个不用算 对不对 那这个叻 PMF=0 PMF=0.05 那x-y的绝对值是什么 就8-9的绝对值是1 对不对 所以诸如此类 这样一算 算出来 最后就只有这几项 把它加一加 最后等于0.5 ok 所以这个例子给大家看到说 有了joint PMF之后 对于任何一个xy的函数 能不能算出它的期望值 可以 很简单 就把函数值乘上PMF值 对x对y全部summation起来 那这样子我们会算 joint PMF下面会算期望值 那我们讲在joint PDF下面我们能不能算期望值 也是一样 我们还是回想这样子 当初只有一个随机变量 只有一个随机变量 一个连续随机变量X 你知道它的PDF的时候 那对于一个x的任意函数 g(x) 你的期望值会不会算 会啊 就是把g(x)乘上x的PDF 然后怎么样 把x对x积分从负无穷大积到无穷大 对不对 同样的 今天呢有两个随机变量x跟y 然后都是连续的话 g(x)假设只有一个随机变量的函数 现在变成什么 变成两个随机变量的函数 就是变成x,y的函数 就是刚才我们说的h类似 那你这边呢 本来是 g(x)乘上PDF 做积分 那现在应该是什么 应该是那个x,y的函数乘上什么 乘上f(x,y) 去乘上它们的joint PDF 积分现在积几个呢 之前这个时候对x积分是因为只有x一个变量 现在有xy两个变量了 你说这个期望值你要积几个 几重积分 两重积分 对x积分且对y积分 所以呢 如果连续这个随机变量有两个 有x跟y 所以我们把它们一起考虑起来的话 你这个对于它任意一个函数 h(x,y)它的期望值 应该是什么 就是h(x,y)乘上joint PDF(x,y) 然后怎么样呢 对x跟对y都积 两个都要积分 都是从负无穷大积到无穷大 负无穷大积到无穷大 ok 这个就是joint PDF下面怎么算期望值 同样的 老师这边给你一个例子 你看 还是一样刚才那个 那个joint PDF x跟y满足这个条件 就是0≤y≤x≤2 也就是现在图上面那个黄色三角形 只有在那个地方 PDF值不等于零 它等于0.5 其它的地方PDF值都等于零 这是前面那个例子 我们就用这个例子 来当做 来看一下 如果今天要你算的是 x+y的这个期望值 那x+y是不是x跟y的函数 是啊 它是x跟y的函数啊 所以我们就可以算它的期望值了 对不对 怎么算 就是刚才讲 你把那个函数 就是x+y 乘上joint PDF 然后把它对x从负无穷大积到无穷大 对y也从负无穷大积到无穷大 也是一样 老师要问你一句 这是不是真的要搞这么大 是不是真的要从负无穷大积到无穷大 何必呢 对不对 人家这个PDF值不等于零的只有在那个三角形里面不等于零 你还真的要从负无穷大积到无穷大这么累干什么 对不对 所以呢 你只要对那三角形去积分就好了 这三角形的里面呢 PDF值不等于零 都等于多少 等于0.5 所以你看 这个PDF值 原本这个PDF值来到这边呢就变成什么 就变成0.5啦 因为只有它的PDF值都等于0.5 那积分的范围呢 你看 积分的范围 本来 你就只要积这三角形的部分 这三角形的部分你看怎么积 你看看 如果我固定一个y的话 你固定一个y的话 y呢 固定一个y你的x会 你固定的话 我们现在从下面一层一层扫上去 对不对 下面 下面一层一层扫上去 你就能把整个三角形都扫遍 你固定其中的某一个y的时候 你x是从哪边扫到哪里 你x是从y扫到2 所以这一条线其实是从y扫到2 我们有看到 所以你看看哦 你的y呢 是从哪里到哪里 我的y是从 这个电梯是从0 y是从0一直到2 所以你看这边y 这边y的变化有没有看到 y的变化是从0到2 你y从0扫到2 每固定一个y 你的x是从哪边扫到哪里 固定一个y x是从y扫到2 你看 这个呢 就是y的 积分范围是这样子积的 这样子呢 你把它代进去 去做这个积分呢 一步一步做 最后会得到 这个就是这个积分的结果 很简单 算出来会是等于2
