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頑想學概率：機率二
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National Taiwan University
這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
À partir de la leçon
WEEK 8
前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？
Rencontrer les enseignants 葉丙成
教授(Professor)
0:17
好 那这一节呢我们开始来介绍的这个东西
叫做边缘概率分布
也就是所谓的Marginal Probability Distribution
什么意思呢
我们听这个名字感觉好像怪怪的
没关系 老师来讲给你听
好 我们来看一个 这个一个例子
假设这个X Y分别是小美跟小丽
她们从脸书或QQ离线的时间
那联合的PMF呢人家已经帮你找出来
已经给你了
就是像这个图这边
你已经有这个所有PMF不等于零的
Joint PMF不等于零的这些点的值
比如说像这个
这一点代表什么意思
这一点就代表Joint PMF
在X=8 Y=8的时候它的值是多少
那比如说这一个的话
这一个代表的是什么意思
代表的是Joint PMF
在X=10 Y=9那个 那个地方的值
现在要问你一个问题是这样
人家给你的是Joint PMF
可是他问你的是什么
他问你的是 那X的PMF是什么
Y自己的PMF是什么
那这个怎么算呢
好 我们来看一下
X的PMF是什么
X的PMF也就是大X等于不同的值的时候概率是什么
那我们就来看一下
那大X=8的概率是多少
你看看
大X=8 就是这个case 大X=8
大X=8有可能是什么
有可能是Y=8
大X=8的时候也有可能Y=9
大X=8的时候也有可能等于什么
Y=10 对不对
所以呢 大X=8的概率就是什么
大X=8就是 我哪管你Y等于什么
你Y=8也好
Y=9也好 Y=10也好
对我来讲都没有差
我只想要知道X=8的概率
所以其实是不是就等于这几个概率相加
就是X=8且Y=8的概率
我们来写一下
pX他这个等于8的概率 X=8
是不是等于
2:12
这个X=8且Y=8的概率
加上X=8且Y=9的概率
加上X=8且Y=10的概率
我不管你Y等于什么
我就把你全部都加起来
因为只要你X=8的这个case
我的概率统统都不放过
全部都把它加起来
所以这个case的话 你看
在这里X=8
那这个事实上就是这一行的东西全部加起来
就是0.2+0.05+0.05
这个加起来等于0.3
好 那X=9的概率是什么呢
X=9的概率就是这一个状况啊
那是不是就等于把这一行的全部加起来
我不管你Y是什么
把你在X=9的全部的概率都加起来
所以就是0.1+0.2+0.1 加起来是什么 等于0.4
同样的 X=10的时候
就X=10 X在10这边的PMF值是什么
就是这一整行的全部把它加在一起
所以就是0.05+0.1+0.15
加起来是等于多少
也是等于0.3
所以我们就知道什么
那这样子呢 我们刚才前面这看到
pX=8呢 它这个PMF值呢 就是0.3
就是这个东西
那同样的 pX of 9呢
它的PMF值就等于多少 0.4
pX of 10呢 等于0.3 OK
所以X的PMF值我们就有了
就是把那个X定好了X值
把它对应的整个所有的整行都把它加起来
好 那现在问你的是
如果它就问你说
我想要知道Y=8的PMF值是什么
那类似啊
我只想要知道Y=8
所以Y=8的时候
那X等于什么我都不管啦
所以X=8 X=9 X=10都不管
所以我们就是怎样
把这一整行的
这一整列的全部都把它加在一起
所以你看 那这个就是什么
这个0.2+0.1+0.05
然后就等于什么 0.35 对不对
同样的 Y=9的PMF值是什么
就把这一整个列的
这个横列的 第二个横列的全部加到一起
所以就是0.05+0.2+0.1=0.35 OK
好 那最后呢
Y=10的PMF值就是这整个加起来
加起来就是0.05+0.1+0.15=0.3 OK
所以你看看
Y的PMF值我们也得到了 OK
所以你看看 这个要找X的PMF
也就是整行的加下来
然后在这个边缘 写下这个数字
算Y的话 就是把这个整列的加在一起
它也是在它这个边缘写这个数字
所以你现在知道这个名字怎么来的了吧
什么东西叫做边缘PMF
什么叫Marginal PMF
就是说如果我今天知道Joint PMF
我想要算出这个个别的PMF
这个个别的PMF我们就叫它叫做什么
边缘PMF Marginal PMF
为什么叫Marginal PMF呢 你看看
Marginal PMF就是
我们刚才的算法是 就是
固定一个X
我就把整行的写下 算起来
然后就是写在下面那个边缘 对不对
那Y的PMF是什么呢
Y的PMF就是 固定一个Y
我们把这个列的
整列的全部都把它加在一起
不管你X是什么
我们就全部都加在一起 你看看 这个的话
固定一个Y
那我们就把你这个所有的Joint PMF
不管你这个X是什么
就把所有的X从负无穷大加到无穷大
把x全部都加完了
最后剩下的就会是你的这个
Y=y的值 概率 对不对
那你看 你的这个列的
算一算我们刚才是怎么算的
也是算完之后写在它的这个
横向的这个边缘 对不对
所以这就是说为什么我们会给它取一个名字
这个叫边缘的PMF
因为你在算它的时候你就是用这种
这个写 行列加起来写在旁边
这个名字也蛮有意思的 是这样子来的
好 那有这个Marginal的PMF
我们就想 这PDF更喜欢 更加这个搞
这个最爱计较 最爱计较的小朋友
人家哥哥有什么我也要有什么 对不对
PMF有这个Marginal PMF
那他就吵 这个PDF说
那有没有Marginal PDF
我现在都有Joint的PDF
这个fX,Y我有 有没有
可不可以得到我们这个X的PDF跟Y的PDF
可以的 它也是一样的
我们叫它Marginal PDF
边缘PDF
那这怎么来的呢
刚才人家给你Joint的这个PMF pX,Y
你是怎么得到pX的
就把它对Y 所有的Y summation起来
所有的Y全部值加起来
不管Y是什么全部把它加起来 对不对
同样的 类似的
人家如果给你Joint的这个PDF的话
你想要知道X的这个Marginal PDF 怎么办
我们就把所有的Y
我们以前讲过
上一个礼拜讲过
summation弄到这个连续的
在连续的世界里面summation
这个discrete的这个summation
在连续的时候就变成积分了 对不对
所以这个刚才是对Y做summation
得到X的PMF
现在的PDF可以说就是 对Y做积分
然后把它积
从负无穷大积到无穷大
你就可以得到X的PDF
同样的道理
你如果要Y的PDF的话
就是把它对X积分
从负无穷大积到无穷大
剩下的就是Y的PDF
那这也就是我们所谓的Marginal PDF
好 那我们来看一个例子
怎么样呢 我们已知
人家给我们一个Joint PDF
这个Joint PDF呢
只有在x跟y满足这个条件
什么条件呢
就是这个0小于等于y小于等于x小于等于2的时候
它PDF才不等于0
才会等于0.5
其他的地方呢
它的PDF值通通都等于0 OK
那满足PDF不等于0的这个条件
0小于等于y小于等于x小于等于2
长什么样子 是什么样的一个区域
你把它画一画 就长这个样子
x跟y满足0小于等于y小于等于x
小于等于2的就是长这个样子
好 那你今天的题目说
我们如果想要找这个X的Marginal PDF
那是什么
你就把Joint PDF fX,Y 对Y积分
也就是对固定一个x
比如说这是固定一个x
你把它对Y
整个Y从这边积到这边
积到哪里呢 你看
这个点 这个曲线 这个直线是
这个直线是 刚好是Y=X
所以你这个点如果是x的话
那对应的这个是什么
这就是 是不是也是x
所以你就是等于把它积分
0.5从0 从这个y
把它从这个底部的这个y=0
一直积到y=x
所以 虽然条件是让你把Y
从负无穷大积到无穷大 你看
但是从负无穷大到无穷大
里边的Y并不是从负无穷大到无穷大
因为真正PDF不等于0的值
当你固定的x 选定x之后
PDF真的不等于0的地方
是只有y从0到x
所以你积分
只要真的把y从0积到x就好了
所以积出来你看
0.5把它从0积到x
积出来最后结果是什么
是0.5x
那这说的是什么时候才成立呢
只有在你的x
你看x什么时候才会积出一个不等于0的地方
就是只有x落在0跟2之间
这个事情才成立
如果你现在x落在0的外面呢
0跟2的外面呢
比如说现在x落在这边 我问你
那你把Y这个PDF
从负无穷大积到无穷大
积出来最后结果怎么样
所以积了很多地方
但是你这个从头到尾PDF的值都是等于0
你积完了还是什么
还是等于0 otherwise 对不对
同样的道理
Y的这个Marginal PDF是什么
Y的Marginal PDF就变成是
固定一个y
然后去把它的从
把它整个X积掉 对不对
x要不要真的从负无穷大积到无穷大呢
也是一样
不用真的从负无穷大积到无穷大
只要固定某个y
你就会发现说
事实上积分的范围只是一个y积到
把x从y积到2就好
固定一个y你会发现说
真的需要积的地方
就是固定一个y
比如说固定一个y
你真的需要积的地方其实是这个地方
这个地方是哪里
你看 这一点如果是 这个y坐标是y的话
那就表示对应下来的话
这个x的范围应该是从y
也是一样 这个红色
所以这个地方呢
x不用再从负无穷大积到无穷大
你只要积那一小段就好
哪一小段
就是x落在y到2之间这一小段就好
所以你看 最后会是什么
就是y到2 0.5的积分
然后y积到2
积出来会等于1减掉0.5y
同样的 这也是只有在y落在0到2之间
才会积出不等于0的地方
如果你y是落在0跟2之间以外的地方的话
那积出来结果就会是0 OK
这边老师给你一个例子
也是一样
人家给你一个Joint的PDF
你有没有办法算出Marginal的PDF呢
各自的x的PDF或y的PDF呢
有办法积的
好 最后我们来回顾一下这一节
这一节我们来探讨的是
所谓的这个边缘概率分布
其实就是人家给你Joint
你能不能消掉一个
只算出其中一个随机变量它的概率分布
所以这个就是
如果两个都是discreted
你有一个Joint PMF
你干掉一个 只剩下一个的话
剩下一个random variable它的PMF
那就是这个Marginal PMF
怎么算
就是你要算x的
就把所有的y的summation掉
你要是想要算y的Marginal PMF
那你就把Joint PMF对x做summation掉
那Joint这个PMF算出Marginal PMF会算了
那么Joint PDF能不能算出Marginal PDF呢
可以的
你有这个fX,Y
这个X Y的Joint PDF
你要算出X的PDF的话
就把整个Joint PDF对y整个把它积掉
如果你要知道Y的PDF
就把它对x积掉
那怎么积 要小心
你要先去找这个积分的范围
从前面的例子可以看到
积分范围很重要
你要去找说哪个地方PDF不等于0
你不要真正的从负无穷大积到无穷大
你真的积分的时候要去算说
在哪个地方PDF不等于0
我再积那个区域的范围就好了
这是做题目的一个技巧 要注意这个地方
【果壳教育无边界字幕组】 听录：@？？ 时间轴：@RRRXXX 校对：@寻找历史和未来
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葉丙成教授(Professor)
