好 那这一节呢我们开始来介绍的这个东西 叫做边缘概率分布 也就是所谓的Marginal Probability Distribution 什么意思呢 我们听这个名字感觉好像怪怪的 没关系 老师来讲给你听 好 我们来看一个 这个一个例子 假设这个X Y分别是小美跟小丽 她们从脸书或QQ离线的时间 那联合的PMF呢人家已经帮你找出来 已经给你了 就是像这个图这边 你已经有这个所有PMF不等于零的 Joint PMF不等于零的这些点的值 比如说像这个 这一点代表什么意思 这一点就代表Joint PMF 在X=8 Y=8的时候它的值是多少 那比如说这一个的话 这一个代表的是什么意思 代表的是Joint PMF 在X=10 Y=9那个 那个地方的值 现在要问你一个问题是这样 人家给你的是Joint PMF 可是他问你的是什么 他问你的是 那X的PMF是什么 Y自己的PMF是什么 那这个怎么算呢 好 我们来看一下 X的PMF是什么 X的PMF也就是大X等于不同的值的时候概率是什么 那我们就来看一下 那大X=8的概率是多少 你看看 大X=8 就是这个case 大X=8 大X=8有可能是什么 有可能是Y=8 大X=8的时候也有可能Y=9 大X=8的时候也有可能等于什么 Y=10 对不对 所以呢 大X=8的概率就是什么 大X=8就是 我哪管你Y等于什么 你Y=8也好 Y=9也好 Y=10也好 对我来讲都没有差 我只想要知道X=8的概率 所以其实是不是就等于这几个概率相加 就是X=8且Y=8的概率 我们来写一下 pX他这个等于8的概率 X=8 是不是等于 这个X=8且Y=8的概率 加上X=8且Y=9的概率 加上X=8且Y=10的概率 我不管你Y等于什么 我就把你全部都加起来 因为只要你X=8的这个case 我的概率统统都不放过 全部都把它加起来 所以这个case的话 你看 在这里X=8 那这个事实上就是这一行的东西全部加起来 就是0.2+0.05+0.05 这个加起来等于0.3 好 那X=9的概率是什么呢 X=9的概率就是这一个状况啊 那是不是就等于把这一行的全部加起来 我不管你Y是什么 把你在X=9的全部的概率都加起来 所以就是0.1+0.2+0.1 加起来是什么 等于0.4 同样的 X=10的时候 就X=10 X在10这边的PMF值是什么 就是这一整行的全部把它加在一起 所以就是0.05+0.1+0.15 加起来是等于多少 也是等于0.3 所以我们就知道什么 那这样子呢 我们刚才前面这看到 pX=8呢 它这个PMF值呢 就是0.3 就是这个东西 那同样的 pX of 9呢 它的PMF值就等于多少 0.4 pX of 10呢 等于0.3 OK 所以X的PMF值我们就有了 就是把那个X定好了X值 把它对应的整个所有的整行都把它加起来 好 那现在问你的是 如果它就问你说 我想要知道Y=8的PMF值是什么 那类似啊 我只想要知道Y=8 所以Y=8的时候 那X等于什么我都不管啦 所以X=8 X=9 X=10都不管 所以我们就是怎样 把这一整行的 这一整列的全部都把它加在一起 所以你看 那这个就是什么 这个0.2+0.1+0.05 然后就等于什么 0.35 对不对 同样的 Y=9的PMF值是什么 就把这一整个列的 这个横列的 第二个横列的全部加到一起 所以就是0.05+0.2+0.1=0.35 OK 好 那最后呢 Y=10的PMF值就是这整个加起来 加起来就是0.05+0.1+0.15=0.3 OK 所以你看看 Y的PMF值我们也得到了 OK 所以你看看 这个要找X的PMF 也就是整行的加下来 然后在这个边缘 写下这个数字 算Y的话 就是把这个整列的加在一起 它也是在它这个边缘写这个数字 所以你现在知道这个名字怎么来的了吧 什么东西叫做边缘PMF 什么叫Marginal PMF 就是说如果我今天知道Joint PMF 我想要算出这个个别的PMF 这个个别的PMF我们就叫它叫做什么 边缘PMF Marginal PMF 为什么叫Marginal PMF呢 你看看 Marginal PMF就是 我们刚才的算法是 就是 固定一个X 我就把整行的写下 算起来 然后就是写在下面那个边缘 对不对 那Y的PMF是什么呢 Y的PMF就是 固定一个Y 我们把这个列的 整列的全部都把它加在一起 不管你X是什么 我们就全部都加在一起 你看看 这个的话 固定一个Y 那我们就把你这个所有的Joint PMF 不管你这个X是什么 就把所有的X从负无穷大加到无穷大 把x全部都加完了 最后剩下的就会是你的这个 Y=y的值 概率 对不对 那你看 你的这个列的 算一算我们刚才是怎么算的 也是算完之后写在它的这个 横向的这个边缘 对不对 所以这就是说为什么我们会给它取一个名字 这个叫边缘的PMF 因为你在算它的时候你就是用这种 这个写 行列加起来写在旁边 这个名字也蛮有意思的 是这样子来的 好 那有这个Marginal的PMF 我们就想 这PDF更喜欢 更加这个搞 这个最爱计较 最爱计较的小朋友 人家哥哥有什么我也要有什么 对不对 PMF有这个Marginal PMF 那他就吵 这个PDF说 那有没有Marginal PDF 我现在都有Joint的PDF 这个fX,Y我有 有没有 可不可以得到我们这个X的PDF跟Y的PDF 可以的 它也是一样的 我们叫它Marginal PDF 边缘PDF 那这怎么来的呢 刚才人家给你Joint的这个PMF pX,Y 你是怎么得到pX的 就把它对Y 所有的Y summation起来 所有的Y全部值加起来 不管Y是什么全部把它加起来 对不对 同样的 类似的 人家如果给你Joint的这个PDF的话 你想要知道X的这个Marginal PDF 怎么办 我们就把所有的Y 我们以前讲过 上一个礼拜讲过 summation弄到这个连续的 在连续的世界里面summation 这个discrete的这个summation 在连续的时候就变成积分了 对不对 所以这个刚才是对Y做summation 得到X的PMF 现在的PDF可以说就是 对Y做积分 然后把它积 从负无穷大积到无穷大 你就可以得到X的PDF 同样的道理 你如果要Y的PDF的话 就是把它对X积分 从负无穷大积到无穷大 剩下的就是Y的PDF 那这也就是我们所谓的Marginal PDF 好 那我们来看一个例子 怎么样呢 我们已知 人家给我们一个Joint PDF 这个Joint PDF呢 只有在x跟y满足这个条件 什么条件呢 就是这个0小于等于y小于等于x小于等于2的时候 它PDF才不等于0 才会等于0.5 其他的地方呢 它的PDF值通通都等于0 OK 那满足PDF不等于0的这个条件 0小于等于y小于等于x小于等于2 长什么样子 是什么样的一个区域 你把它画一画 就长这个样子 x跟y满足0小于等于y小于等于x 小于等于2的就是长这个样子 好 那你今天的题目说 我们如果想要找这个X的Marginal PDF 那是什么 你就把Joint PDF fX,Y 对Y积分 也就是对固定一个x 比如说这是固定一个x 你把它对Y 整个Y从这边积到这边 积到哪里呢 你看 这个点 这个曲线 这个直线是 这个直线是 刚好是Y=X 所以你这个点如果是x的话 那对应的这个是什么 这就是 是不是也是x 所以你就是等于把它积分 0.5从0 从这个y 把它从这个底部的这个y=0 一直积到y=x 所以 虽然条件是让你把Y 从负无穷大积到无穷大 你看 但是从负无穷大到无穷大 里边的Y并不是从负无穷大到无穷大 因为真正PDF不等于0的值 当你固定的x 选定x之后 PDF真的不等于0的地方 是只有y从0到x 所以你积分 只要真的把y从0积到x就好了 所以积出来你看 0.5把它从0积到x 积出来最后结果是什么 是0.5x 那这说的是什么时候才成立呢 只有在你的x 你看x什么时候才会积出一个不等于0的地方 就是只有x落在0跟2之间 这个事情才成立 如果你现在x落在0的外面呢 0跟2的外面呢 比如说现在x落在这边 我问你 那你把Y这个PDF 从负无穷大积到无穷大 积出来最后结果怎么样 所以积了很多地方 但是你这个从头到尾PDF的值都是等于0 你积完了还是什么 还是等于0 otherwise 对不对 同样的道理 Y的这个Marginal PDF是什么 Y的Marginal PDF就变成是 固定一个y 然后去把它的从 把它整个X积掉 对不对 x要不要真的从负无穷大积到无穷大呢 也是一样 不用真的从负无穷大积到无穷大 只要固定某个y 你就会发现说 事实上积分的范围只是一个y积到 把x从y积到2就好 固定一个y你会发现说 真的需要积的地方 就是固定一个y 比如说固定一个y 你真的需要积的地方其实是这个地方 这个地方是哪里 你看 这一点如果是 这个y坐标是y的话 那就表示对应下来的话 这个x的范围应该是从y 也是一样 这个红色 所以这个地方呢 x不用再从负无穷大积到无穷大 你只要积那一小段就好 哪一小段 就是x落在y到2之间这一小段就好 所以你看 最后会是什么 就是y到2 0.5的积分 然后y积到2 积出来会等于1减掉0.5y 同样的 这也是只有在y落在0到2之间 才会积出不等于0的地方 如果你y是落在0跟2之间以外的地方的话 那积出来结果就会是0 OK 这边老师给你一个例子 也是一样 人家给你一个Joint的PDF 你有没有办法算出Marginal的PDF呢 各自的x的PDF或y的PDF呢 有办法积的 好 最后我们来回顾一下这一节 这一节我们来探讨的是 所谓的这个边缘概率分布 其实就是人家给你Joint 你能不能消掉一个 只算出其中一个随机变量它的概率分布 所以这个就是 如果两个都是discreted 你有一个Joint PMF 你干掉一个 只剩下一个的话 剩下一个random variable它的PMF 那就是这个Marginal PMF 怎么算 就是你要算x的 就把所有的y的summation掉 你要是想要算y的Marginal PMF 那你就把Joint PMF对x做summation掉 那Joint这个PMF算出Marginal PMF会算了 那么Joint PDF能不能算出Marginal PDF呢 可以的 你有这个fX,Y 这个X Y的Joint PDF 你要算出X的PDF的话 就把整个Joint PDF对y整个把它积掉 如果你要知道Y的PDF 就把它对x积掉 那怎么积 要小心 你要先去找这个积分的范围 从前面的例子可以看到 积分范围很重要 你要去找说哪个地方PDF不等于0 你不要真正的从负无穷大积到无穷大 你真的积分的时候要去算说 在哪个地方PDF不等于0 我再积那个区域的范围就好了 这是做题目的一个技巧 要注意这个地方 【果壳教育无边界字幕组】 听录：@？？ 时间轴：@RRRXXX 校对：@寻找历史和未来
