8-2：邊際機率分佈

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En provenance du cours de National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

40 notes

National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

40 notes

這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

À partir de la leçon

WEEK 8

前面幾個禮拜我們所考慮的問題都是只有一個隨機變數的狀況，這週我們要介紹聯合機率分布 (Joint probability distribution)、邊際機率分布 (Marginal probability distribution)，探討：如果有兩個隨機變數的話會有什麼不一樣的地方？期望值又是怎麼定義的？

8-0：咱們聊聊，如何探索有意義的人生？22:49

8-1.a：聯合機率分佈 (上)14:36

8-1.b：聯合機率分佈 (中) 15:05

8-1.c：聯合機率分佈 (下)17:00

8-1.d：聯合機率分佈 (末) 11:18

8-2：邊際機率分佈 12:32

8-3.a：雙變數期望值 (上) 10:06

8-3.b：雙變數期望值 (下) 17:27

Rencontrer les enseignants

葉丙成
教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)

好那这一节呢我们开始来介绍的这个东西

叫做边缘概率分布

也就是所谓的Marginal Probability Distribution

什么意思呢

我们听这个名字感觉好像怪怪的

没关系老师来讲给你听

好我们来看一个这个一个例子

假设这个X Y分别是小美跟小丽

她们从脸书或QQ离线的时间

那联合的PMF呢人家已经帮你找出来

已经给你了

就是像这个图这边

你已经有这个所有PMF不等于零的

Joint PMF不等于零的这些点的值

比如说像这个

这一点代表什么意思

这一点就代表Joint PMF

在X=8 Y=8的时候它的值是多少

那比如说这一个的话

这一个代表的是什么意思

代表的是Joint PMF

在X=10 Y=9那个那个地方的值

现在要问你一个问题是这样

人家给你的是Joint PMF

可是他问你的是什么

他问你的是那X的PMF是什么

Y自己的PMF是什么

那这个怎么算呢

好我们来看一下

X的PMF是什么

X的PMF也就是大X等于不同的值的时候概率是什么

那我们就来看一下

那大X=8的概率是多少

你看看

大X=8 就是这个case 大X=8

大X=8有可能是什么

有可能是Y=8

大X=8的时候也有可能Y=9

大X=8的时候也有可能等于什么

Y=10 对不对

所以呢大X=8的概率就是什么

大X=8就是我哪管你Y等于什么

你Y=8也好

Y=9也好 Y=10也好

对我来讲都没有差

我只想要知道X=8的概率

所以其实是不是就等于这几个概率相加

就是X=8且Y=8的概率

我们来写一下

pX他这个等于8的概率 X=8

是不是等于

这个X=8且Y=8的概率

加上X=8且Y=9的概率

加上X=8且Y=10的概率

我不管你Y等于什么

我就把你全部都加起来

因为只要你X=8的这个case

我的概率统统都不放过

全部都把它加起来

所以这个case的话你看

在这里X=8

那这个事实上就是这一行的东西全部加起来

就是0.2+0.05+0.05

这个加起来等于0.3

好那X=9的概率是什么呢

X=9的概率就是这一个状况啊

那是不是就等于把这一行的全部加起来

我不管你Y是什么

把你在X=9的全部的概率都加起来

所以就是0.1+0.2+0.1 加起来是什么等于0.4

同样的 X=10的时候

就X=10 X在10这边的PMF值是什么

就是这一整行的全部把它加在一起

所以就是0.05+0.1+0.15

加起来是等于多少

也是等于0.3

所以我们就知道什么

那这样子呢我们刚才前面这看到

pX=8呢它这个PMF值呢就是0.3

就是这个东西

那同样的 pX of 9呢

它的PMF值就等于多少 0.4

pX of 10呢等于0.3 OK

所以X的PMF值我们就有了

就是把那个X定好了X值

把它对应的整个所有的整行都把它加起来

好那现在问你的是

如果它就问你说

我想要知道Y=8的PMF值是什么

那类似啊

我只想要知道Y=8

所以Y=8的时候

那X等于什么我都不管啦

所以X=8 X=9 X=10都不管

所以我们就是怎样

把这一整行的

这一整列的全部都把它加在一起

所以你看那这个就是什么

这个0.2+0.1+0.05

然后就等于什么 0.35 对不对

同样的 Y=9的PMF值是什么

就把这一整个列的

这个横列的第二个横列的全部加到一起

所以就是0.05+0.2+0.1=0.35 OK

好那最后呢

Y=10的PMF值就是这整个加起来

加起来就是0.05+0.1+0.15=0.3 OK

所以你看看

Y的PMF值我们也得到了 OK

所以你看看这个要找X的PMF

也就是整行的加下来

然后在这个边缘写下这个数字

算Y的话就是把这个整列的加在一起

它也是在它这个边缘写这个数字

所以你现在知道这个名字怎么来的了吧

什么东西叫做边缘PMF

什么叫Marginal PMF

就是说如果我今天知道Joint PMF

我想要算出这个个别的PMF

这个个别的PMF我们就叫它叫做什么

边缘PMF Marginal PMF

为什么叫Marginal PMF呢你看看

Marginal PMF就是

我们刚才的算法是就是

固定一个X

我就把整行的写下算起来

然后就是写在下面那个边缘对不对

那Y的PMF是什么呢

Y的PMF就是固定一个Y

我们把这个列的

整列的全部都把它加在一起

不管你X是什么

我们就全部都加在一起你看看这个的话

固定一个Y

那我们就把你这个所有的Joint PMF

不管你这个X是什么

就把所有的X从负无穷大加到无穷大

把x全部都加完了

最后剩下的就会是你的这个

Y=y的值概率对不对

那你看你的这个列的

算一算我们刚才是怎么算的

也是算完之后写在它的这个

横向的这个边缘对不对

所以这就是说为什么我们会给它取一个名字

这个叫边缘的PMF

因为你在算它的时候你就是用这种

这个写行列加起来写在旁边

这个名字也蛮有意思的是这样子来的

好那有这个Marginal的PMF

我们就想这PDF更喜欢更加这个搞

这个最爱计较最爱计较的小朋友

人家哥哥有什么我也要有什么对不对

PMF有这个Marginal PMF

那他就吵这个PDF说

那有没有Marginal PDF

我现在都有Joint的PDF

这个fX,Y我有有没有

可不可以得到我们这个X的PDF跟Y的PDF

可以的它也是一样的

我们叫它Marginal PDF

边缘PDF

那这怎么来的呢

刚才人家给你Joint的这个PMF pX,Y

你是怎么得到pX的

就把它对Y 所有的Y summation起来

所有的Y全部值加起来

不管Y是什么全部把它加起来对不对

同样的类似的

人家如果给你Joint的这个PDF的话

你想要知道X的这个Marginal PDF 怎么办

我们就把所有的Y

我们以前讲过

上一个礼拜讲过

summation弄到这个连续的

在连续的世界里面summation

这个discrete的这个summation

在连续的时候就变成积分了对不对

所以这个刚才是对Y做summation

得到X的PMF

现在的PDF可以说就是对Y做积分

然后把它积

从负无穷大积到无穷大

你就可以得到X的PDF

同样的道理

你如果要Y的PDF的话

就是把它对X积分

从负无穷大积到无穷大

剩下的就是Y的PDF

那这也就是我们所谓的Marginal PDF

好那我们来看一个例子

怎么样呢我们已知

人家给我们一个Joint PDF

这个Joint PDF呢

只有在x跟y满足这个条件

什么条件呢

就是这个0小于等于y小于等于x小于等于2的时候

它PDF才不等于0

才会等于0.5

其他的地方呢

它的PDF值通通都等于0 OK

那满足PDF不等于0的这个条件

0小于等于y小于等于x小于等于2

长什么样子是什么样的一个区域

你把它画一画就长这个样子

x跟y满足0小于等于y小于等于x

小于等于2的就是长这个样子

好那你今天的题目说

我们如果想要找这个X的Marginal PDF

那是什么

你就把Joint PDF fX,Y 对Y积分

也就是对固定一个x

比如说这是固定一个x

你把它对Y

整个Y从这边积到这边

积到哪里呢你看

这个点这个曲线这个直线是

这个直线是刚好是Y=X

所以你这个点如果是x的话

那对应的这个是什么

这就是是不是也是x

所以你就是等于把它积分

0.5从0 从这个y

把它从这个底部的这个y=0

一直积到y=x

所以虽然条件是让你把Y

从负无穷大积到无穷大你看

但是从负无穷大到无穷大

里边的Y并不是从负无穷大到无穷大

因为真正PDF不等于0的值

当你固定的x 选定x之后

PDF真的不等于0的地方

是只有y从0到x

所以你积分

只要真的把y从0积到x就好了

所以积出来你看

0.5把它从0积到x

积出来最后结果是什么

是0.5x

那这说的是什么时候才成立呢

只有在你的x

你看x什么时候才会积出一个不等于0的地方

就是只有x落在0跟2之间

这个事情才成立

如果你现在x落在0的外面呢

0跟2的外面呢

比如说现在x落在这边我问你

那你把Y这个PDF

从负无穷大积到无穷大

积出来最后结果怎么样

所以积了很多地方

但是你这个从头到尾PDF的值都是等于0

你积完了还是什么

还是等于0 otherwise 对不对

同样的道理

Y的这个Marginal PDF是什么

Y的Marginal PDF就变成是

固定一个y

然后去把它的从

把它整个X积掉对不对

x要不要真的从负无穷大积到无穷大呢

也是一样

不用真的从负无穷大积到无穷大

只要固定某个y

你就会发现说

事实上积分的范围只是一个y积到

把x从y积到2就好

固定一个y你会发现说

真的需要积的地方

就是固定一个y

比如说固定一个y

你真的需要积的地方其实是这个地方

这个地方是哪里

你看这一点如果是这个y坐标是y的话

那就表示对应下来的话

这个x的范围应该是从y

也是一样这个红色

所以这个地方呢

x不用再从负无穷大积到无穷大

你只要积那一小段就好

哪一小段

就是x落在y到2之间这一小段就好

所以你看最后会是什么

就是y到2 0.5的积分

然后y积到2

积出来会等于1减掉0.5y

同样的这也是只有在y落在0到2之间

才会积出不等于0的地方

如果你y是落在0跟2之间以外的地方的话

那积出来结果就会是0 OK

这边老师给你一个例子

也是一样

人家给你一个Joint的PDF

你有没有办法算出Marginal的PDF呢

各自的x的PDF或y的PDF呢

有办法积的

好最后我们来回顾一下这一节

这一节我们来探讨的是

所谓的这个边缘概率分布

其实就是人家给你Joint

你能不能消掉一个

只算出其中一个随机变量它的概率分布

所以这个就是

如果两个都是discreted

你有一个Joint PMF

你干掉一个只剩下一个的话

剩下一个random variable它的PMF

那就是这个Marginal PMF

怎么算

就是你要算x的

就把所有的y的summation掉

你要是想要算y的Marginal PMF

那你就把Joint PMF对x做summation掉

那Joint这个PMF算出Marginal PMF会算了

那么Joint PDF能不能算出Marginal PDF呢

可以的

你有这个fX,Y

这个X Y的Joint PDF

你要算出X的PDF的话

就把整个Joint PDF对y整个把它积掉

如果你要知道Y的PDF

就把它对x积掉

那怎么积要小心

你要先去找这个积分的范围

从前面的例子可以看到

积分范围很重要

你要去找说哪个地方PDF不等于0

你不要真正的从负无穷大积到无穷大

你真的积分的时候要去算说

在哪个地方PDF不等于0

我再积那个区域的范围就好了

这是做题目的一个技巧要注意这个地方

【果壳教育无边界字幕组】听录：@？？时间轴：@RRRXXX 校对：@寻找历史和未来

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