7-1.b：期望值 II (下)

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En provenance du cours de National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

41 notes

National Taiwan University

頑想學概率：機率二 (Probability (2))

41 notes

這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

À partir de la leçon

WEEK 7

上週提到離散的隨機變數期望值，本週我們會談到離散的隨機變數期望值該怎麼算出來？在 7-2 和 7-3 我們會了解隨機變速的函數、條件的幾率分佈、和失憶性──之前我們有提到 Geometric Distribution 跟Exponential 都是失憶性的這種幾率分佈，那什麼叫失憶性 (Memoryless) 呢？

7-0：咱們聊聊，每天都在忙，忙的有用嗎？24:12

7-1.a：期望值 II (上)14:22

7-1.b：期望值 II (下) 13:07

7-2.a: 隨機變數之函數 (上) 10:35

7-2.b: 隨機變數之函數 (下) 8:42

7-3.a: 條件機率分佈與失憶性 (上)15:07

7-3b: 條件機率分佈與失憶性 (下) 19:20

Rencontrer les enseignants

葉丙成
教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)

那另外呢我们在上周有介绍一些

随机变量常有的一些函数的期望值有没有

比如说像X的nth moment 有没有

X的nth moment呢连续的也还是有

差别只是差在说诶

上次这个地方呢它是个summation

它是x的n次方乘上PMF 然后summation起来

现在变成是x的n次方乘上PDF 然后再把它积分积起来就像刚才讲

PDF对应到PMF 积分就对应到summation

那很多discrete的性质很快就可以用在continuous上面

所以x平方的期望值就是x的second moment

五次方… 这跟上次都一模一样这个老师就不再讲

那同样的 variance continuous的随机变量连续随机变量有没有variance

有的

上次讲说discrete的随机变量它的variance变异数是

x减掉期望值的平方的期望值对不对

那也是一样这个呢式子应该变成什么样子

（x-μx）平方这个函数的形式不变但是呢

PMF呢变成PDF

summation呢上礼拜的summation 这边变成积分了

诶那式子就出来了 OK

所以呢我们就得到

continuous的random variable 它的variance的定义就长这个样子

然后呢也是一样跟上次讲的

variance通常都代表了隐含着X有多乱上次有讲过

但是呢只是现在变成什么上次讲的是PMF 现在讲的是PDF

所以如果你的PDF 看起来PDF比较窄的比较瘦长的比较瘦的

你看你的x就集中在可能发生的范围就在这附近嘛对不对

那你的μ呢 most likely 你的期望值大概就在这中间这附近

那你想想看如果你的x是个散布在比较宽宽广的范围的时候

你的μx差不多在这个地方

但是你的x因为散布在一个比较宽广的地方什么地方

这么大范围内的数字都有可能对不对

所以就比较乱嘛离你的μx比较远

所以呢你看离你的μx比较远所以x减掉μx的平方这个就

通常就可能是一个很大的数啦

也就是你的期望值呢 σx的平方就会比较大

当你的PDF呢如果是比较瘦长的

也就是你x呢会散布的范围是比较小

也就是你x是比较不乱的好

你这个x比较不乱的情况下那你的variance通常就比较小一点

OK

同样的我们这个连续的随机变量我们也是说它有标准差

标准差就是variance的开根号这跟以前的还是一样

那我们上个礼拜讲到 variance一个很便利的算法就是

variance等于X平方的期望值减掉μX的平方有没有

这个证明都跟上次一模一样特别是

上一个礼拜的证明你看看这是跟上个礼拜一模一样的证明

我们上个礼拜本来就没有把期望值

是summation或是积分写出来对不对

所以上次的证明完全都还可以继续用都不需要再重证

所以这个性质呢

X平方的期望值会等于variance加上mean的平方

这个在连续跟discrete的case下通通都适用

好那这边呢

老师把一些常见的连续的机率分布它的期望值

跟variance我们都把它们列出来给大家看

比如说exponential（λ）的话

它的μX就是λ分之1

它的variance就是λ平方分之1

如果X是Erlang（n, λ）这个机率分布的话

那μX就是λ分之n σ2也是λ平方分之n

你看恰恰好是exponential的n倍哦！

所以也是一样你只要背一个exponential的公式之后

Erlang（n,λ）就不用背了

你就记着Erlang（n,λ）就是exponential的

期望值和variance各自乘以n倍就是了

好另外呢还有Gaussian（μ, σ）

我们发现呢 Gaussian（μ, σ）它的mean刚好就是那个μ

它的variance刚好就是那个σ2

所以 Gaussian的这两个参数恰恰好就是

代表它的mean跟它的variance

好还有呢 uniform呢

X如果是连续的、均匀的分布 uniform分布在a、b之间的话

它的μX就刚好是它的中点二分之（a+b）

那它的variance就是12分之（b-a）的平方

这些呢都可以通过前面的那些定义直接去证明

那这边呢老师给大家一个范例

我们来证明一下exponential的case给大家看

老师证明exponential给你看那其他的呢

你自己就要利用其他机率分布来做一个练习

看你能不能自己推导出它的μX或是推导出它的variance

如果能推导出来的话厉害！

你期望值部分的推导

连续的随机变量的期望值呢大概就没有太大的问题

好我们现在要证明的就是要证明

exponential这个机率分布也就是PDF长这样

X（按：应该是λ）乘上e的负（λX）这个东西

它的期望值是多少

这个要证明这个东西呢要推导这个东西

我们会要用到分部积分这个技巧就是

UdV的积分会等于UV减掉VdU

同学你如果没有学过微积分也没有关系啦

这个地方如果是没有学过微积分的高中生呢

或者是一些离微积分很久的文科生或是什么

后面这地方你就当参考就好看不懂也不用太担心

好那根据期望值的定义呢

exponential的期望值应该是等于什么

μX（按：应该是x）乘上exponential PDF 那从负无穷积到无穷大对不对

但是你回头来再看一下

exponential PDF在什么时候才有值呢？

在x大于等于0的时候才有值

所以你PDF只有在x大于等于0的时候

有值其他时候x小于0的时候是负的

那你这个积分干嘛这么辛苦从负无穷大开始积

不用啦我们从0开始积就好啦对不对

从0积到无穷大就好啦所以就是

x乘上exponential PDF λe^（-λx）然后从0积到无穷大 OK

接下来我们来做一个变形什么变形呢？

我们呢前面弄一个负号

那里面呢就可以再多一个负号对不对

里面这个负号跟λ凑在一起就一个什么就一个（-λ）在这边

我们把这个（-λ）移到dx里面去我们就可以得到一个d（-λx）

这个d（-λx）有什么好处呢？

你看看它前面刚好跟一个e^（-λx）刚好碰在一起

那微积分呢有一个很重要也很好玩的性质就是

exponential的什么一坨东西去碰上d的这一坨东西呢

两个结合在一起就 “崩崩！” 就可以

哇好久没听到“gengen！”了对不对

就可以变成d的exponential的这一坨东西 OK

所以你看 e的（-λx）碰上d（-λx）两个就“gengen！！” 就可以变成e^（-λx）

好那你看看这个地方呢我们就开始有看到那个形了你看

分部积分就要一个什么 UdV嘛这样的一个形对不对

所以你看这个地方呢我们的U是什么

我们的U在这边就是x 对不对

我们的V是什么就dV嘛

所以这个地方就是e的（-λx）对不对

所以你看到这边有一个UdV这样的积分

根据分部积分这个东西等于什么

就等于UV减掉VdU

所以我们的UV是什么呢

UV就是紫外线嘿嘿嘿

没有 UV呢就是什么

就是U乘上V 就是x乘上e^（-λx）对不对

那积分包含是从0到无穷大

所以0到无穷大呢 0到无穷大在这个地方

不要忘记前面这个积分前面这里有一个负号

这个负号还留在括号的外面不能掉

里面呢减掉VdU

V是e的（-λx）次这个就是V啦

那U呢是x 所以VdU 对不对

好那接下来呢你把这个无穷大呢

如果你把它代到这里面来的话你会发现什么呢

虽然前面这个x是会跑到无穷大对不对

但是后面这个e的（-λx）

当x变到无穷大的时候它则变成e的负无穷大

它跑到0的速度会比前面的x跑到无穷大的速度还要快

所以这个代进去呢第一个会是0 OK?

那另外呢这个0代进去呢

诶 0代进去的时候

前面会有一个0乘上e的（-λx）乘上0次方对不对

那0乘上去当然还是0啦所以前面这一整块通通都是0

那后面整理一下你会发现说最后呢就剩下

e^（-λx）dx

那这个积分可不可以积你当然可以积啊

但是诶？有没有需要积？老师教你一招

回想一下上个礼拜老师教你的我们丙绅独门的心法什么？

凑字诀有没有凑！

想想看手上我们现在有什么资讯

手上我们现在有什么

我们知道说 x（按：应该是λ）乘上e^（-λx）是什么

是个PDF 这是个PDF

所以我们就知道这是个PDF的话我们就马上有一个什么公式啊

上个礼拜的时候说PMF加起来等于1

那这礼拜我们就会有一个公式是什么就是

PDF呢积起来积分积起来是什么等于1

我们就有这个公式了对不对？

好你把这个公式手上有的这个情报跟你现在这个积分

这两个比较起来你发现怎么样

差什么就差λ分之1 对不对所以你把它凑一凑

凑出这个形式

是不是就凑出来 λ分之1乘上原来这个PDF 有没有？

从头积到尾

你这样去凑就可以得到说那它就等于什么

λ分之1乘上1 所以就等于λ分之1 有没有？

这就是又是给大家看凑字诀怎么用

对不对？凑字诀非常地好用

好那如果这个μX会算了那σX square呢就variance怎么算

那就是跟上个礼拜也很像啊

你要算variance的话你要先怎么样

你要先会算 μX知道那你只要算X平方的期望值是多少

那你只要知道X平方的期望值就会算σX square

那X平方的期望值跟这个式子怎么样很像是不是

前面这个是x乘上PDF积起来

现在是x平方乘上PDF积起来

那x方乘上PDF这个期望要算这个积分之前再回想一下

你手上有几个工具有几个情报

第一个是PDF积起来等于1 第二个是什么

第二个就是x乘上PDF积起来等于λ分之1

你手上就这两个式子这两个情报

所以你接下来要做什么事情

当你要算X平方的期望值的时候就是想办法去凑

把你那个积分式子利用分部积分

然后经中间的步骤到最后你要想办法去凑出

把它往这PDF的积分还有这个x乘上PDF的积分往那个方向去凑

你就可以证出来说 x平方的期望值是多少

你就可以算出x的variance OK？

所以这个exponential的case

那其他的distribution的case呢

你务必要自己试试看一定要自己去证证看

如果你这个 exponential的x平方的期望值

你把它证出来了那你就厉害了

其他的distribution 它的μ跟σX你都把它积出来你就厉害了

OK? 赶快！

赶快趁现在记忆还犹新的时候赶快活用这个凑字诀

去把它学通推导出来 OK?

好最后呢我们来回顾一下这一节

这一节呢我们最主要一开始探讨什么

连续随机变量和期望值的定义是什么

我们就通过把它近似成discrete的随机变量

然后把上一次的用δ趋近于0 我们发现说

它这个东西会收敛到一个积分所以

连续的随机变量的期望值我们就会算了就是

x乘上fX（x）然后积分从负无穷大积到无穷大

那它随机变量的函数的期望值 g（x）的期望值是什么

也是一样 g（x）乘上PDF 从负无穷大积到无穷大

然后呢我们学到说要推导期望值的时候

我们要活用什么样的内功心法呢

就是老师上次跟你讲的我自己悟出来的这个凑字诀

这是非常好用的你要活用学会凑字诀

先知道你手上的情报是什么

想办法把你的推导跟证明

往你手上的情报的式子的形式上凑一下凑过去

那你就可以活用这些情报

那最后呢常用的一些连续的概率分布和变异数

老师就列出来但是我帮你证了一个其他的你务必要自己去证

自己要务必去推导出来推导出来的话那你就真的学通了

好这是我们7-1这一节

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