那另外呢 我们在上周有介绍一些
随机变量常有的一些函数的期望值 有没有
比如说 像X的nth moment 有没有
X的nth moment呢 连续的 也还是有
差别只是差在说 诶
上次这个地方呢它是个summation
它是x的n次方乘上PMF 然后summation起来
现在变成是x的n次方乘上PDF 然后再把它积分积起来 就像刚才讲
PDF对应到PMF 积分就对应到summation
那很多discrete的性质 很快就可以用在continuous上面
所以x平方的期望值 就是x的second moment
五次方… 这跟上次都一模一样 这个老师就不再讲
那同样的 variance continuous的随机变量 连续随机变量有没有variance
有的
上次讲说discrete的随机变量 它的variance变异数是
x减掉期望值的平方的期望值 对不对
那也是一样 这个呢 式子应该变成什么样子
（x-μx）平方 这个函数的形式不变 但是呢
PMF呢变成PDF
summation呢 上礼拜的summation 这边变成积分了
诶 那式子就出来了 OK
所以呢我们就得到
continuous的random variable 它的variance的定义就长这个样子
然后呢 也是一样 跟上次讲的
variance通常都代表了 隐含着X有多乱 上次有讲过
但是呢 只是现在变成什么 上次讲的是PMF 现在讲的是PDF
所以如果你的PDF 看起来PDF比较窄的比较瘦长的 比较瘦的
你看你的x就集中在 可能发生的范围就在这附近嘛 对不对
那你的μ呢 most likely 你的期望值大概就在这中间这附近
那你想想看 如果你的x是个散布在比较宽 宽广的范围的时候
你的μx差不多在这个地方
但是你的x因为散布在一个比较宽广的地方 什么地方
这么大范围内的数字都有可能 对不对
所以就比较乱嘛 离你的μx比较远
所以呢 你看 离你的μx比较远 所以x减掉μx的平方这个就
通常就可能是一个很大的数啦
也就是你的期望值呢 σx的平方就会比较大
当你的PDF呢如果是比较瘦长的
也就是你x呢会散布的范围是比较小
也就是你x是比较不乱的 好
你这个x比较不乱的情况下 那你的variance通常就比较小一点
OK
同样的 我们这个连续的随机变量 我们也是说它有标准差
标准差就是variance的开根号 这跟以前的还是一样
那我们上个礼拜讲到 variance一个很便利的算法 就是
variance等于X平方的期望值减掉μX的平方 有没有
这个证明都跟上次一模一样 特别是
上一个礼拜的证明 你看看这是跟上个礼拜一模一样的证明
我们上个礼拜本来就没有把期望值
是summation或是积分写出来 对不对
所以上次的证明完全都还可以继续用 都不需要再重证
所以 这个性质呢
X平方的期望值会等于variance加上mean的平方
这个在连续跟discrete的case下通通都适用
好 那这边呢
老师把一些常见的连续的机率分布它的期望值
跟variance我们都把它们列出来给大家看
比如说exponential（λ）的话
它的μX就是λ分之1
它的variance就是λ平方分之1
如果X是Erlang（n, λ）这个机率分布的话
那μX就是λ分之n σ2也是λ平方分之n
你看 恰恰好是exponential的n倍哦！
所以也是一样 你只要背一个exponential的公式之后
Erlang（n,λ）就不用背了
你就记着Erlang（n,λ）就是exponential的
期望值和variance各自乘以n倍就是了
好 另外呢还有Gaussian（μ, σ）
我们发现呢 Gaussian（μ, σ）它的mean刚好就是那个μ
它的variance刚好就是那个σ2
所以 Gaussian的这两个参数恰恰好就是
代表它的mean跟它的variance
这个要证明这个东西呢 要推导这个东西
我们会要用到分部积分这个技巧 就是
UdV的积分会等于UV减掉VdU
同学你如果没有学过微积分也没有关系啦
这个地方 如果是没有学过微积分的高中生呢
或者是一些离微积分很久的 文科生或是什么
后面这地方你就当参考就好 看不懂也不用太担心
好 那根据期望值的定义呢
exponential的期望值应该是等于什么
μX（按：应该是x）乘上exponential PDF 那从负无穷积到无穷大 对不对
但是你回头来再看一下
exponential PDF在什么时候才有值呢？
在x大于等于0的时候才有值
所以你PDF只有在x大于等于0的时候
有值 其他时候x小于0的时候是负的
那你这个积分干嘛这么辛苦从负无穷大开始积
不用啦 我们从0开始积就好啦对不对
从0积到无穷大就好啦 所以就是
x乘上exponential PDF λe^（-λx） 然后从0积到无穷大 OK
接下来我们来做一个变形 什么变形呢？
我们呢 前面弄一个负号
那里面呢就可以再多一个负号 对不对
里面这个负号跟λ凑在一起就一个什么 就一个（-λ）在这边
我们把这个（-λ）移到dx里面去 我们就可以得到一个d（-λx）
这个d（-λx）有什么好处呢？
你看看 它前面刚好跟一个e^（-λx） 刚好碰在一起
那微积分呢有一个很重要也很好玩的性质 就是
exponential的什么一坨东西 去碰上d的这一坨东西呢
两个结合在一起就 “崩崩！” 就可以
哇好久没听到“gengen！”了对不对
就可以变成d的exponential的这一坨东西 OK
所以你看 e的（-λx）碰上d（-λx） 两个就“gengen！！” 就可以变成e^（-λx）
好 那你看看这个地方呢 我们就开始有看到那个形了 你看
分部积分就要一个什么 UdV嘛 这样的一个形对不对
所以你看 这个地方呢 我们的U是什么
我们的U在这边 就是x 对不对
我们的V是什么 就dV嘛
所以这个地方就是e的（-λx） 对不对
所以你看到这边有一个UdV这样的积分
根据分部积分 这个东西等于什么
就等于UV减掉VdU
所以 我们的UV是什么呢
UV就是 紫外线 嘿嘿嘿
没有 UV呢就是什么
就是U乘上V 就是x乘上e^（-λx） 对不对
那积分包含是从0到无穷大
所以0到无穷大呢 0到无穷大在这个地方
不要忘记 前面这个积分前面这里有一个负号
这个负号还留在括号的外面不能掉
里面呢减掉VdU
V是e的（-λx）次 这个就是V啦
那U呢是x 所以VdU 对不对
好 那接下来呢你把这个无穷大呢
如果你把它代到这里面来的话 你会发现什么呢
虽然前面这个x是会跑到无穷大 对不对
但是后面这个e的（-λx）
当x变到无穷大的时候 它则变成e的负无穷大
它跑到0的速度会比前面的x跑到无穷大的速度还要快
所以这个代进去呢 第一个会是0 OK?
那另外呢这个0代进去呢
诶 0代进去的时候
前面会有一个0乘上e的（-λx） 乘上0次方 对不对
那0乘上去当然还是0啦 所以前面这一整块通通都是0
那后面整理一下你会发现说 最后呢就剩下
e^（-λx）dx
那这个积分可不可以积 你当然可以积啊
但是 诶？有没有需要积？老师教你一招
回想一下上个礼拜老师教你的 我们丙绅独门的心法 什么？
凑字诀 有没有 凑！
想想看手上 我们现在有什么资讯
手上我们现在有什么
我们知道说 x（按：应该是λ）乘上e^（-λx）是什么
是个PDF 这是个PDF
所以我们就知道这是个PDF的话 我们就马上有一个什么公式啊
上个礼拜的时候说PMF加起来等于1
那这礼拜我们就会有一个公式是什么 就是
PDF呢积起来 积分积起来是什么 等于1
我们就有这个公式了 对不对？
好 你把这个公式 手上有的这个情报 跟你现在这个积分
这两个比较起来 你发现怎么样
差什么 就差λ分之1 对不对 所以你把它凑一凑
凑出这个形式
是不是就凑出来 λ分之1乘上原来这个PDF 有没有？
从头积到尾
你这样去凑就可以得到说 那它就等于什么
λ分之1乘上1 所以就等于λ分之1 有没有？
这就是 又是给大家看凑字诀怎么用
对不对？ 凑字诀非常地好用
好 那如果这个μX会算了 那σX square呢 就variance怎么算
那就是跟上个礼拜也很像啊
你要算variance的话你要先怎么样
你要先会算 μX知道 那你只要算X平方的期望值是多少
那你只要知道X平方的期望值 就会算σX square
那X平方的期望值跟这个式子怎么样 很像是不是
前面这个是x乘上PDF积起来
现在是x平方乘上PDF积起来
那x方乘上PDF这个期望 要算这个积分之前再回想一下
你手上有几个工具 有几个情报
第一个是PDF积起来等于1 第二个是什么
第二个就是x乘上PDF积起来等于λ分之1
你手上就这两个式子 这两个情报
所以你接下来要做什么事情
当你要算X平方的期望值的时候 就是想办法去凑
把你那个积分式子利用分部积分
然后经中间的步骤 到最后你要想办法去凑出
把它往这PDF的积分 还有这个x乘上PDF的积分 往那个方向去凑
你就可以证出来说 x平方的期望值是多少
你就可以算出x的variance OK？
所以这个exponential的case
那其他的distribution的case呢
你务必要自己试试看 一定要自己去证证看
如果你这个 exponential的x平方的期望值
你把它证出来了 那你就厉害了
其他的distribution 它的μ跟σX你都把它积出来 你就厉害了
OK? 赶快！
赶快趁现在记忆还犹新的时候 赶快活用这个凑字诀
去把它学通 推导出来 OK?
好 最后呢我们来回顾一下这一节
这一节呢我们最主要一开始探讨什么
连续随机变量和期望值的定义是什么
我们就通过把它近似成discrete的随机变量
然后把上一次的用δ趋近于0 我们发现说
它这个东西会收敛到一个积分 所以
连续的随机变量的期望值我们就会算了 就是
x乘上fX（x）然后积分 从负无穷大积到无穷大
那它随机变量的函数的期望值 g（x）的期望值是什么
也是一样 g（x）乘上PDF 从负无穷大积到无穷大
然后呢我们学到说 要推导期望值的时候
我们要活用什么样的内功心法呢
就是老师上次跟你讲的 我自己悟出来的这个 凑字诀
这是非常好用的 你要活用 学会凑字诀
先知道你手上的情报是什么
想办法把你的推导跟证明
往你手上的情报的式子的形式上凑一下 凑过去
那你就可以活用这些情报
那最后呢 常用的一些连续的概率分布和变异数
老师就列出来 但是我帮你证了一个 其他的你务必要自己去证
自己要务必去推导出来 推导出来的话那你就真的学通了
好 这是我们7-1这一节
葉丙成教授 (Professor)
