x平方的期望值减掉μx平方的期望值 好所以
当然你可以按照定义 用这样算 σx这样算也是可以
但是呢 我们通常发现说用这样子算 现在框起来这一个
这个算法会比较好算
因为通常在算期望值得时候你已经有μx了
这个负μx的平方你已经知道了 所以接下来你只需要算x平方的期望值
也就是刚才讲的 2nd moment 就很好算了
好 所以这就是我们通常常用的一个公式
所以 σx square 等于μx
σx square 等于x平方的期望值加上μx的平方
你把μx 的平方移过去以后你就会发现有另外一个公式就是什么
就是X平方的期望值就是2nd moment
会等于 这个σx square 就是variance
加上μx square 加上期望的平方
好这个东西只要记住的话 以后你就很好算variance啦
好 那我们现在来看一些常见的离散随机变量的它们的这个期望值
跟这个方差 这个variance
好 其中呢 第一个我们就来看这个Bernuoli(p)
Bernuoli(p)的话就是什么 它等于1的概率是p
等于0的概率是1-p 对不对
好 那所以 μx就是什么 μx就是来 把你这个可能的值
就是1乘上对应的概率就是p
另外一个可能的值就是0 对应的概率是1-p
乘出来呢 最后就是什么 就是1*p 就是p啦
好所以μx就是p
Bernuoli random variable它的期望值呢 就是p
好 那variance呢 好如果你还记得刚才讲
我们刚才不是才算了吗 variance应该等于什么
等于x平方的期望值减掉μx的平方 这是好算的算法
那这有什么好处呢 因为μx呢 我们已经知道是多少
就是p啦 前面已经算出来
所以μx的平方就是p平方
所以我们现在只需要算X平方的期望值是多少
就是X的2nd moment ?
好那x平方 x平方是个x的函数的话
所以就把所有可能的x带到这个函数里面去 对不对
所以就是summation 的x平方乘上这个PMF
好 然后再把summation写下来 对不对
X平方乘上PMF的summation写下来 就是X平方的这个 期望值
减掉 不要忘记 还有一个μx的平方 好就是前面这个μx的平方
不要忘记 还在这边
好 X平方的期望值也是这样
X呢 要么就是 不是等于0就是等于1
那就一个一个带进去嘛对不对
就是等于什么 欸 x有可能等于1
x如果等于1的话就是1的平方乘上等于1的概率 就是p
对不对 好那另外呢 x有可能等于多少 X有可能等于0
所以X平方就是x平方
就是等于0的平方 乘上等于0的概率就是1-p
好所以你处理一下发现是什么 诶
1平方乘以p 加上0平方乘以1-p 那还是
那就是p啊 对不对
好所以就变成p 再减掉p平方
那你把它整理一下 就变成是p乘上1-p
好所以 这是Bernuoli的p的variance是p乘上1-p
好 那binomial呢 Binomial(n, p)
就是Binomial(n, p)的话 如果你还记得Binomial(n, p)的话
它的μx是多少 它的μx就是等于np
好 那它的σx square 等于np*(1-p) OK 好
那 这个东西为什么这个样子呢 这个后面我们如果介绍这个
(听不清)的时候
哦 这个推导就很容易 但是 这个呢也可以直接去推
用PMF去推 那这一次 老师把它当成一个作业
因为 我认为这个推导非常非常重要
这个 我们除了会用数学之外
但是 很多一些数学的推导
这些东西我们要试着 要能够建立这样的能力
好 那Binomial(n, p) 等下老师会教你一个Poisson的这个 期望值怎么求
那你就用这个观念 这个方法 这个同样的精神去求binomial这样的一个np
你如果这个能够求出来 诶 那老师就是觉得是 你应该就是还蛮不错的
好这个 推导上的这个 这个能力就建立起来了
它的binomial np它的mean就是等于n乘上p
好那variance呢就会等于 np(1-p)
好 那这个东西你观察一下 你会发现说诶
你如果观察binomial的mean跟variance 跟bernuoli的mean跟variance
你发现有什么行为
你看着噢 bernuoli的mean是什么 是p
可是binomial的mean是什么 是np
bernuoli的variance是p(1-p)
binomial的variance是什么 是n倍的p乘(1-p)
所以你发现说诶 binomial的mean跟variance需不需要背
啊太好记啦 你只要知道Bernuoli(p)的mean跟variance的话
你把它乘上n倍就是binomial(n, p)的mean跟variance了
超好记的 对不对
那你说这个Bernuoli(p)的mean跟variance 要不要背
要背也是可以的 如果不会的话
1乘上p加上0乘上(1-p) 这么好算的
直接去算就好了啦 对不对
好 所以 bernuoli跟binomial这个mean跟variance要记起来就不是问题啦
好 那我举个例子
如果你今天是一个Binomial(5, 0.2)的话
好也就是你的n 这是你的n 是等于5
p 是等于0.2
好 那你的μx是等于多少
那μx就是等于np啊 就是5乘上0.2啊 就是1啊对不对 好
好 那你的variance等于多少
variance就是5乘上p乘上1-p
就是5就是n嘛好 就是5乘上p乘上1-p
好你算一算 发现说 诶 它就是什么 就等于0.8
OK 好
好 那另外呢 还有一个什么 Geometry(p)
这也是我们 之前看到一个 常见的一个离散的随机变量的概率
好μx是什么
μx就是把x乘上它这个Px 好把它 这个PMF 把它 summation起来
那PMF如果你还记得是什么
就是1-p的x-1次方 乘上p 对不对好
这就是它的PMF
那PMF还要什么 还要乘上x 然后再summation起来
好那 所有可能的x是什么 要不要从负无穷大
不用啊 因为这个Geometry(p)只有在x大于等于0的时候才有值啊
所以 这个就没什么 那同学会说
诶 那这个不是 大x不是大于等于1吗 怎么会有0呢
没关系 这个summation不会有问题因为什么
因为当x=0的时候 这一项刚好消失
好 所以你这个summation从1开始写跟从0开始写都可以
好 那这个东西呢 等于多少
你看看啊 这其实是一个 这边长得像是一个1-p的x-1次方
这个x一直随着x的增加而增加
好所以这看起来是一个等比级数 对不对
但是前面有一个x 有一个公差在那边
所以这是一个 等差又等比的级数
那这个计算的话 其实高中的话应该都有算过这怎么算
老师就不再赘言了
好 基本上你能推导出来它是等于p分之1
好 那variance呢
还是利用刚刚那一招 x平方的期望值减去μx的平方
好 如果你去算的话也是一样 这个数列 你去处理它
你会发现说它等于p平方分之一乘以1-p好
老师也是非常强烈建议 你这两个
μx跟σx的平方你要去推导出来
好 这都不难 那老师写给你看也没有意义
因为写给你看的话 终究还不是你自己的
你这个能力还没有建立起来
好所以这个地方 老师把答案给你
但是呢 老师等下后面会教你怎么推导
拿poisson当例子让你来推导一下
好 同样的 Paskal(k, p)的话 你会发现说
同样的μx呢等于p分之k σx square呢
variance等于p平方分之k乘上1-p 好p平方分之k乘1-p
好 那你看看 again你再比较一下这两个