4-2.a：累績分佈函數 CDF (上)

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頑想學概率：機率一 (Probability (1))

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National Taiwan University

頑想學概率：機率一 (Probability (1))

158 notes

這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

À partir de la leçon

WEEK 4 (1)

本週有四個主題：1. 隨機變數的概念 2. 累積分布函數 (CDF) 3. 機率質量函數 (PMF) 4. 常見的離散機率分佈

4-0：咱們聊聊，如何幫自己面對未來挑戰？ 17:33

4-1.a：隨機變數 (上)13:53

4-1.b：隨機變數 (中) 14:43

4-1.c：隨機變數 (下) 5:19

4-2.a：累績分佈函數 CDF (上) 9:48

4-2.b：累績分佈函數 CDF (中) 8:59

4-2.c：累績分佈函數 CDF (下) 9:00

4-3：機率質量函數 PMF 11:26

Rencontrer les enseignants

葉丙成
教授 (Professor)
電機工程學系 (Department of Electrical Engineering)

接下来呢我们要介绍的是累积分布函数

也就是英语的CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION

这个在我们的这个

通常在区域上我们简写叫CDF

因为如果讲这个累积分布函数实在太饶舌了

对不对所以我们一般用CDF

那什么是CDF呢

CDF其实是一个函数

它是对任何一个random variable

任何一个随机变量

我们都可以定义它的CDF

所以对于你给我任何一个random variable

X 大X

我们就可以定义一个函数叫大Fx of 这个小x

那这个函数它的函数值定义的是什么呢

很简单你给我任意一个random variable 大X

那它的CDF CDF在这个小x的值呢

其实就是这个random variable X会小于等于x的概率

其中一个东西很重要的一件就是符号

第一个

CDF永远都是用大F来表示

它永远都是用大F来表示这个很重要

第二个

它这个足标有没有

这个足标这边有个大X

通常就是你是什么random variable的CDF

你在那个地方

就要把它这个它这个random variable标在那边

所以这个我们这边定义的是大X的CDF

所以在这个地方

你就必须把大X写在这边

那这个大X 它的CDF

在这个小x

这个小x跟这个随机变量的x是没关系

这个小x只是代表说就是个函数

我们通常函数不是都有一个变量吗

好这个小x只是代表就是一个变量

所以这个CDF 这个CDF代表什么意思

就是这个CDF在小x这个时候的值

代表就是说

你这个random variable会小于等于小x的这个概率

也就是说什么呢我们画图来看

它就代表说你先给我一个这个CDF

你想要知道CDF在小x

小x 这个小x的值它代表什么意思

它代表了你这个大X会落在

这个红色范围的地方的概率

远远看这边就是什么

这边讲的就是大X小于等于小x的概率

对不对

所以你的x如果在这边的话

那大x会小于等于小x

就是我们现在标的红色这一块区域

这就是涵盖所有小于等于x的概率

注意老师这个地方

用的是这边是什么这是个中括号

在数学上来讲中括号

代表有把那个点

就是在这边我在x这边挂个中括号

就表示有把x这个点涵盖进去

为什么你看

这边是个小于等于嘛对不对

小于等于就表示有等于x的可能性

所以你必须要把x这个点要涵盖进去

所以这个地方呢我们是用一个中括号

老师给大家一个例子

比如说以幸运之轮这个例子来看

我如果想知道幸运之轮那个例子

那个停下来那个点那个大X 那个random variable

它在0.5的地方

这个CDF的值函数值是多少呢

那你看看根据上面这个定义

CDF在零点五的值就是那个random variable

什么random variable

就是大X 它小于等于零点五的概率

你这边都是零点五那主要是这个地方

就是零点五就是大X会小于等于零点五的概率

那小于等于零点五的概率的话

就想就是画图来看

就是零点五然后在零点五以下这个范围

你的x会落在红色这个范围的概率是多少

那同学还记得我们知道

幸运之轮它的数字是什么

它的数字就是落在零对不对

它就落在零跟一之间对不对

好它的幸运之轮的数字

就是零跟一之间都有可能对不对

那你刚好落在零点五

就是刚好在一半的地方

那所以呢这个概率是什么

幸运之轮你这样转它可以停在

零到一之间任何数字结果它停在

比零点五还要小小于等于零点五的概率是什么

是二分一嘛

现在给大家一个例子什么叫CDF

CDF的值 CDF在零点五的值就是

x小于等于零点五的概率

CDF在零点七的值就是

就是这个random variable小于等于零点七的概率

这个就是一个CDF的概念

那CDF有什么用呢

CDF其实最有用的用途就是在算说你的大X

这个random variable

X的你这随机变量值会落在某个范围的概率是什么

比方说

我今天如果在某个实验来讲

我很需要算

我很需要知道我需要算出我的大X

会落在三跟五之间的概率

就是x 大于三小于等于五

这个如果用图示写

其实这个意思代表是说

我们在算的是possibility of

三小于x小于等于五的概率

有没有看到为什么是小于

小于是因为这边是小括号

就表示不包括那个三

我们那个红色范围没有包括那个三那个点

所以这个地方就是小于 ok

那这个地方因为是中括号

表示我有包括有把五那个点关进来

有关进来所以这个地方

所以我们有些时候我们需要算这种概率

需要算出x落在这个范围的概率是多少

那你看看 x落在三跟五之间的概率

我们可以再把它表示成什么

我们可以把它写成是这个概率

从负无穷大一直盘古开天一直到五

这个整大条的概率

剪掉从从负无穷大盘古开天一直到三

这个地方你看

x落在上面这个中间这个红条的概率

这个概率减掉它落到负无穷大到三的概率

是不是就剩下它落在三跟五之间的概率

所以呢这个如果从数学来看就是

x大于三小于等于五的概率

你可以把它表示成是

从负无穷大一直到五的概率减掉

从负无穷大一直到三的概率

剩下没有减掉的就是落在三跟五之间的概率

也就是呢我们可以把他写成是

x小于等于五的概率

因为你看大于负无穷大是个废话

任何一个数字都比负无穷大要大

对不对所以P还要写说

这个大于负无穷大这个呢其实都可以

这个废话其实不写也没关系

这废话不写也没关系对不对

所以这个东西呢

最后可以化成x小于等于五的概率

减掉x小于等于三的概率

也就是如果用CDF的方式表示的话就可以写成是

Fx of五减掉Fx of三

换而言之，你要算

这个x落在任何两个数字范围之内

我们都可以用这种方式来写

所以呢我们把刚才那个东西把它一般化

刚刚是三跟五嘛

我们把它这个三跟五换成A跟B 可不可以

可以啊

这样的话就可以把它一般化运用到很多地方

数学很多时候都是这个样子

我们为了一个不错的结果实际上

不错的结果我们很多时候就想把它一般化

把它换成一般的变量这样就可以用在很多地方

所以刚才是三跟五

老师这边就把它变成a跟b

所以你任何一个x

落在a跟b之间的概率

他用刚才的例子我们就说

这可以把它变成是从负无穷大一直到b

落在这个地方的概率减掉

落到负无穷大一直到a之间这个概率

这两个减下就会是大于a小于等于b的概率

这个大于a小于b的概率

整理下就变成Fx of b减掉Fx of a

但是呢有个地方要注意的

就是说Fx of b减去Fx of a

其实他等于的概率是什么

是上面这个a小于x小于等于b

也就是一边有等于

一边没有等于的case

如果说你现在碰到一个问题像这个

比如这一题要你算x大于等于a且小于等于b

所以你看两个差别在什么地方

上面这个跟下面这个呢

唯一有差的是这个地方有等于

但是这个地方呢没有等于

也就是说上面那个事件呢

x不能等于a

但是下面那个事件呢x可以等于a

所以上面的概率跟下面的概率

你这样一对比就发现说下面这个概率应该

等于上面那个概率

Fx of b减掉Fx of a

加上possibility of x=a ok 好

所以这个地方呢要注意

注意以后在设这些概率的时候要注意

左边右边有等于没等于

这个都会差很多比如说

还有一个问题你自己可以想想看

a小于x小于b

来看跟这个比起来的话是什么

是右边那个等于号不见了

又或者是要你算是这个呢

possibility of a小于等于x小于b

这些呢都跟Fx of b减掉Fx of a

之外还要再多加或多减一些概率

到底什么大家要思考一下想想看

但是最主要CDF的用途

就要帮我们算这个事情

当你x落在一段范围之内

你就可以用CDF帮你算这个概率

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