En provenance du cours de National Taiwan University
頑想學概率：機率一
National Taiwan University
這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。課程內容和作業都使用生活化的例子，希望讓同學們快樂學習、快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
À partir de la leçon
WEEK 4 (1)
本週有四個主題：1. 隨機變數的概念 2. 累積分布函數 (CDF) 3. 機率質量函數 (PMF) 4. 常見的離散機率分佈
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葉丙成
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
也就是英语的CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION
这个 在我们的这个
通常 在区域上 我们简写叫CDF
因为如果讲这个累积分布函数实在太饶舌了
对不对 所以我们一般用CDF
它是对任何一个random variable
任何一个随机变量
我们都可以定义它的CDF
所以 对于你给我任何一个random variable
X 大X
我们就可以定义一个函数叫大Fx of 这个小x
那这个函数 它的函数值定义的是什么呢
很简单 你给我任意一个random variable 大X
那它的CDF CDF在这个小x的值呢
其实就是这个random variable X会小于等于x的概率
其中一个东西很重要的一件就是 符号
第一个
CDF永远都是用大F来表示
它永远都是用大F来表示 这个很重要
第二个
它这个足标 有没有
这个足标这边有个大X
通常就是你是什么random variable的CDF
你在那个地方
就要把它这个 它这个random variable标在那边
所以这个 我们这边定义的是大X的CDF
所以在这个地方
你就必须把大X写在这边
这个小x跟这个随机变量的x是没关系
这个小x只是代表说就是个函数
我们通常函数不是都有一个变量吗
好 这个小x只是代表就是一个变量
所以这个CDF 这个CDF代表什么意思
就是这个CDF在小x这个时候的值
代表就是说
你这个random variable会小于等于小x的这个概率
它就代表说 你先给我一个这个CDF
你想要知道CDF在小x
小x 这个小x的值它代表什么意思
它代表了你这个大X会落在
这个红色范围的地方的概率
远远看这边就是什么
这边讲的就是大X小于等于小x的概率
对不对
所以你的x如果在这边的话
那大x会小于等于小x
就是我们现在标的红色这一块区域
这就是涵盖所有小于等于x的概率
注意 老师这个地方
用的是 这边是什么 这是个中括号
在数学上来讲 中括号
代表有把那个点
就是在这边 我在x这边挂个中括号
就表示有把x这个点涵盖进去
为什么 你看
这边是个小于等于嘛 对不对
小于等于就表示有等于x的可能性
所以你必须要把x这个点要涵盖进去
所以这个地方呢 我们是用一个中括号
老师给大家一个例子
比如说以幸运之轮这个例子来看
我如果想知道幸运之轮那个例子
那个停下来那个点 那个大X 那个random variable
它在0.5的地方
这个CDF的值 函数值是多少呢
那你看看 根据上面这个定义
CDF在零点五的值 就是那个random variable
什么random variable
就是大X 它小于等于零点五的概率
你这边都是零点五 那主要是这个地方
就是零点五 就是大X会小于等于零点五的概率
那小于等于零点五的概率的话
就想 就是画图来看
就是零点五然后在零点五以下这个范围
你的x会落在红色这个范围的概率是多少
那同学还记得 我们知道
幸运之轮 它的数字是什么
它的数字就是落在 零 对不对
它就落在零跟一之间 对不对
好 它的幸运之轮的数字
就是零跟一之间都有可能 对不对
那你刚好落在零点五
就是刚好在一半的地方
那所以呢 这个概率是什么
幸运之轮 你这样转 它可以停在
零到一之间任何数字 结果它停在
比零点五还要小 小于等于零点五的概率是什么
是二分一嘛
现在给大家一个例子 什么叫CDF
CDF的值 CDF在零点五的值就是
x小于等于零点五的概率
CDF在 零点七的值 就是
就是这个random variable小于等于零点七的概率
这个就是一个CDF的概念
CDF其实最有用的用途就是在算说你的大X
这个random variable
X的 你这随机变量值会落在某个范围的概率是什么
我今天 如果在某个实验来讲
我很需要算
我很需要知道 我需要算出我的大X
会落在三跟五之间的概率
就是x 大于三 小于等于五
这个如果用图示写
其实这个意思代表是说
我们在算的是possibility of
三小于x小于等于五的概率
有没有看到 为什么是小于
小于是因为这边是小括号
就表示不包括那个三
我们那个红色范围没有包括那个三那个点
所以这个地方就是小于 ok
那这个地方因为是中括号
表示我有包括 有把五那个点关进来
有关进来 所以这个地方
所以我们有些时候我们需要算这种概率
需要算出x落在这个范围的概率是多少
那你看看 x落在三跟五之间的概率
我们可以再把它表示成什么
我们可以把它写成是这个概率
从负无穷大一直 盘古开天一直到五
这个整大条的概率
剪掉从从负无穷大 盘古开天一直到三
这个概率 减掉它落到负无穷大到三的概率
是不是就剩下它落在三跟五之间的概率
x大于三小于等于五的概率
你可以把它表示成是
从负无穷大一直到五的概率减掉
从负无穷大一直到三的概率
剩下没有减掉的就是落在三跟五之间的概率
x小于等于五的概率
因为你看大于负无穷大是个废话
任何一个数字都比负无穷大要大
对不对 所以P还要写说
这个大于负无穷大 这个呢 其实都可以
这个废话其实不写也没关系
这废话不写也没关系 对不对
所以这个东西呢
最后可以化成x小于等于五的概率
减掉x小于等于三的概率
也就是 如果用CDF的方式表示的话 就可以写成是
Fx of五减掉Fx of三
换而言之，你要算
这个x落在任何两个数字范围之内
我们都可以用这种方式来写
所以呢 我们把刚才那个东西把它一般化
刚刚是三跟五嘛
我们把它这个三跟五换成A跟B 可不可以
可以啊
这样的话就可以把它一般化运用到很多地方
数学很多时候都是这个样子
我们为了一个不错的结果实际上
不错的结果 我们很多时候就想把它一般化
把它换成一般的变量 这样就可以用在很多地方
所以刚才是三跟五
老师这边就把它变成a跟b
所以你任何一个x
落在a跟b之间的概率
他用刚才的例子 我们就说
这可以把它变成是从负无穷大一直到b
落在这个地方的概率减掉
落到负无穷大一直到a之间 这个概率
这两个减下就会是大于a小于等于b的概率
这个大于a小于b的概率
整理下就变成Fx of b减掉Fx of a
但是呢 有个地方要注意的
就是说Fx of b减去Fx of a
其实他等于的概率是什么
是上面这个a小于x小于等于b
也就是一边有等于
一边没有等于的case
如果说你现在碰到一个问题像这个
比如这一题 要你算x大于等于a且小于等于b
所以你看 两个差别 在什么地方
上面这个跟下面这个呢
唯一有差的是这个地方有等于
但是这个地方呢没有等于
也就是说上面那个事件呢
x不能等于a
但是下面那个事件呢x可以等于a
所以上面的概率跟下面的概率
你这样一对比就发现说下面这个概率应该
等于上面那个概率
Fx of b减掉Fx of a
加上possibility of x=a ok 好
所以这个地方呢要注意
注意以后在设这些概率的时候要注意
左边右边有等于没等于
这个都会差很多 比如说
还有一个问题 你自己可以想想看
a小于x小于b
来看 跟这个比起来的话是什么
是右边那个等于号不见了
又或者是要你算是这个呢
possibility of a小于等于x小于b
这些呢 都跟Fx of b减掉Fx of a
之外还要再多加或多减一些概率
到底什么 大家要思考一下想想看
但是最主要CDF的用途
就要帮我们算这个事情
当你x落在一段范围之内
葉丙成教授(Professor)
