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L'étude que nous venons de faire sur la génération de troisième harmonique en
onde plane nous a permis de montrer que la puissance produite à la troisième
harmonique était proportionnelle au carré de l'épaisseur de l'échantillon considéré,
exactement comme dans le cas de la génération de seconde harmonique,
cette variation quadratique provient du fait que la génération de troisième
harmonique est un effet cohérent, comme la génération de seconde harmonique,
et d'autre part on a vu que la puissance du faisceau produit était
proportionnelle au cube de la puissance du faisceau incident, ce qui n'est pas
surprenant puisque comme on a fait du troisième ordre, la polarisation non
linéaire est proportionnelle au cube du champ électrique et la puissance produite
va être proportionnelle au cube de l'intensité du faisceau incident.
En pratique, évidemment, si on veut faire de la génération de troisième harmonique,
pour optimiser le processus, on va travailler avec un faisceau focalisé et
donc on ne sera pas dans le cas d'onde plane,
qui est le cas idéalisé qu'on a étudié dans la vidéo précédente.
C'est précisément l'objet de cette vidéo, de regarder ce qui se passe si on prend
effectivement en compte la dépendance transverse du faisceau lumineux, et de
voir l'incidence que ça a sur le faisceau produit à la troisième harmonique.
D'une part, ce sera l'occasion de mettre en oeuvre une équation de propagation
qu'on avait vue il y a quelques semaines pour un faisceau monochromatique,
mais avec une dépendance transverse, donc ça veut dire qu'on va résoudre l'équation
de propagation en trois dimensions, donc ça a un intérêt au niveau théorique,
d'apprendre à utiliser cette équation de propagation en trois dimensions.
D'autre part, vous allez voir que les résultats obtenus sont
assez contre-intuitifs, en fait on pourrait s'imaginer que plus on
focalise et plus on a de la puissance en troisième harmonique en sortie,
puisque la puissance dépend du cube de la puissance incidente,
plus on focalise plus grande sera la puissance du faisceau fondamental.
On va voir en fait dans cette vidéo qu'il n'en est rien.
Comme dans la vidéo précédente, on va travailler en régime de faible déplétion,
et on va donc supposer connu le faisceau fondamental dans tous l'échantillon.
Ce faisceau fondamental, on sait qu'il va obéir à l'équation de propagation dans le
cas de l'approximation paraxial, donc c'est une différentielle du premier ordre
en z avec ici le laplacien transverse, qu'on va prendre en compte, puisque
précisément on s'intéresse à la dépendance transverse du faisceau lumineux.
Puis on va s'intéresser à une solution particulière de
cette équation qui est le faisceau gaussien.
Pourquoi un faisceau gaussien?
D'une part parce que les lasers produisent naturellement un faisceau dont le profil
transverse est gaussien, et en plus la résolution des équations est relativement
simplifiée si on prend cette solution particulière de l'équation paraxial.
J'ai écrit la solution particulière qui m'intéresse de l'équation paraxial,
le faisceau gaussien, sous cette forme-là qui n'est pas exactement la
forme qu'on avait vue dans le cours sur l la propagation en régime linéaire,
et vous allez voir qu'en fait c'est finalement exactement la même chose.
En fait on a introduit ici une grandeur qu'on appelle q tilde de z qui est égal à
z moins i z r, où z r est la longueur de relais, c'est la quantité qu'on
avait déjà introduite pour la propagation d'un faisceau lumineux, et simplement on
a ici une seule exponentielle directement avec ce facteur complexe, q tilde de z,
alors pour vérifier qu'on retrouve bien ce qu'on avait vu dans le cours sur la
propagation linéaire, je vais simplement calculer l'expression de un sur q tilde de
z, donc un sur q tilde de z, c'est l'inverse de z moins i z r,
puis je vais écrire la partie réelle et la partie imaginaire de ce membre,
donc pour ça je multiplie numérateur et dénominateur par la partie conjuguée,
donc j'aurai au numérateur z plus i z r
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et puis au dénominateur j'aurai évidemment z au carré plus z r au carré.
Je vais séparer ici
partie réelle et partie imaginaire, je vais écrire d'abord la partie imaginaire,
c'est i z r divisé par z deux
plus z r carré et puis la partie réelle,
donc ça va être z divisé par z deux plus z r carré, et je vais diviser numérateur et
dénominateur par z donc vous voyez qu'on aura un
sur z plus z r carré divisé par z.
Si je remplace cette valeur de un sur q tilde de z dans l'expression,
je vais voir qu'effectivement je retrouve ce qu'on avait vu dans le cours sur les
faisceaux gaussiens, c'est-à-dire que ce terme-là si
je regarde ce qu'il va me donner, il va bien s'écrire sous la forme,
j'ai d'une part un sur q tilde qui a une partie imaginaire,
la partie imaginaire multipliée par i va me donner un nombre réel négatif,
donc ça va s'écrire exponentielle de moins x
deux plus y deux divisé par un
nombre que je vais appeler w de z au carré
pour retrouver les notations du cours sur les faisceaux gaussiens,
et donc ce w de z au carré va évidemment être proportionnel à z
deux plus z r carré, donc on avait vu que w de z avait une variation hyperbolique,
et donc évidemment que w de z au carré avait une variation parabolique,
donc on retrouve effectivement cette expression.
Puis la partie réelle de un sur q tilde va me donner un terme en exponentielle
de i k un x deux plus y deux divisé,
donc là à la place de deux q tilde je vais avoir deux fois cette grandeur-là,
deux fois r de z qui est tout simplement le rayon de
courbure de la surface dans ce point, donc là on retrouve ici
l'expression de r de z qu'on avait introduite pour les faisceaux gaussiens.
On a bien exactement la même dépendance transverse qu'on
avait introduite pour les faisceaux gaussiens.
Puis on a un préfacteur ici qui s'écrit un sur i q tilde
de z si je l'écris ce préfacteur, un sur i q tilde de z,
c'est exactement ce nombre-là mais divisé par i,
ou multiplié par moins i, donc je peux l'écrire z r moins
i z divisé par z deux plus z r carré.
Le préfacteur ici qui va diminuer quand le z augmente, c'est tout
simplement le fait que comme le faisceau va diffracter évidemment en un point
donné l'amplitude du champ va diminuer, c'est quelque chose qu'on avait vu,
mais je vais m'intéresser ici au terme de phase et si je regarde ce terme,
ici, je vais avoir une phase qui va s'écrire sous la forme exponentielle,
enfin ce sera proportionnel si je ne garde que la phase,
exponentielle i fois l'argument complexe de ce nombre,
z r moins i z et l'argument complexe de ce nombre ça va être
l'arc tangente de la partie imaginaire, moins z divisé par la partie réelle, z r.
En d'autres termes, exponentielle de moins i arc
tangente de z sur z r.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
