Bonjour, dans cette vidéo, nous allons corriger l'exercice de travaux dirigés, sur le doublage de fréquence en régime fort. C'est une situation qui est un peu différente de celle que vous avez vue dans le cours, et où on se limitait à des rendements de conversion faibles, ce qui nous permettait de négliger l'atténuation du faisceau fondamental, dû à la génération de seconde harmonique. Quant on considère des impulsions femtosecondes, les puissances crêtes sont en général beaucoup plus élevées, et l'hypothèse de régime faible ne tient plus ; et c'est ce qu'on veut étudier dans de T D. [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] On passe donc à la première question, qui vous demande de calculer l'angle d'accord de phase de SHG de Type 1 dans ce cristal, et c'est la moindre des conditions, c'est d'imposer d'être à l'accord de phase pour espérer avoir un rendement de conversion élevé, pour pouvoir espérer être en régime fort. Donc l'angle d'accord de phase de SHG du KDP. Donc le KDP c'est un cristal uniaxe négatif, qui vérifie, n e, strictement plus petit que, n o. Et donc graphiquement, il y a plusieurs manières de le trouver, Si vous représentez les deux nappes d'indice n e, et n o, vous avez, n o, de oméga et, n o, à 2 oméga, et donc, dans le cristal de KDP, la condition d'accord de phase, qui s'écrit, n de 2 oméga égal à, n de oméga, elle s'écrira sous la forme, n de 2 oméga dans la direction d'accord de phase, égal à, n o, de oméga. Et vous voyez que pour résoudre cette équation, il suffit de chercher l'intersection entre la nappe d'indice ordinaire, n o, de oméga et la nappe d'indice extraordinaire, qu'on peut dessiner ici, et donc ici, vous avez, n e, de 2 oméga, et de thêta, et l'angle d'accord de phase, c'est l'angle qui correspond à l'intersection entre les deux nappes d'indice ordinaire à oméga, et extraordinaire à 2 oméga. Et analytiquement, vous pouvez trouver la valeur de l'angle d'accord de phase, en écrivant l'expression de l'indice extraordinaire, donc vous avez, expression de l'indice qui vous est donnée par cette formule-là, [AUDIO_VIDE] et ça, quand on est en SHG de Type 1, cette équation implicite a le bon goût d'avoir une solution explicite, et en particulier vous trouvez l'expression de, sinus carré thêta, qui s'écrit comme une fraction [AUDIO_VIDE] [AUDIO_VIDE] et donc avec l'expression que vous obtenez ici, et quand vous faites l'application numérique en utilisant les formules de Sandmeyer qui vous ont été données dans l'énoncé, vous trouvez que l'angle d'accord de phase thêta, vaut 38,12 degrés. Donc ça, c'est ce qui va nous permettre de considérer, dans la suite de l'exercice, qu'on est à l'accord de phase, et que la condition, delta K, égal à zéro, est vérifiée. Donc maintenant, on va établir les équations couplées qui régissent l'évolution des amplitudes réduites alpha 1 et alpha 2 qui sont les amplitudes réduites des deux champs en interaction. Donc pour ça, on va utiliser toute la batterie d'outils que vous avez vue dans le cours, et je vais le refaire, ici, dans le cas de la génération de seconde harmonique où on ne néglige plus l'atténuation du faisceau fondamental. Donc pour ce faire, on utilise l'expression de la polarisation non linéaire d'ordre deux, réel P 2, qui s'écrit sous la forme, epsilon zéro, khi 2, fois le champ électrique au carré. Et maintenant le champ électrique est composé de deux termes ; la contribution du champ fondamental, et la contribution du champ doublé. Donc vous avez déjà fait ce calcul plusieurs fois dans le cours, et donc, ce qui nous intéresse, c'est la composante à oméga, et la composante à 2 oméga, dans le développement de cette expression. Et donc, quand vous développez ce carré, vous obtenez des termes à différentes fréquences ; mais nous, là, ce qui nous intéresse ce sont uniquement les termes de fréquence oméga, et de fréquence 2 oméga. Donc quand vous développez ce carré vous obtenez epsilon zéro sur 4 ; le terme, à 2 oméga, il est obtenu quand vous prenez, e 1 carré, et le terme à oméga, lui, il est obtenu quand vous allez faire oméga, qui vaut, 2 oméga moins oméga, ça veut dire que vous allez prendre, dans le développement du carré, le terme, e 2, qui lui est bien à 2 oméga, et le terme, e 1 étoile, qui, lui, est bien à moins oméga ; et quand vous développez ce terme, vous avez donc le produit croisé avec e 2, e 1 étoile, e 2. Plus d'autres termes, qui sont des termes à des fréquences qui ne nous intéressent pas, et plus les termes de complexes conjugués. Et donc, au final, quand vous passez à la polarisation complexe, vous obtenez la polarisation complexe, P 2, 1, qui est la polarisation complexe à oméga. Elle, elle s'écrit, epsilon zéro, khi 2, e 1 étoile, e 2 ; et, par contre, P2, 2, qui est la polarisation non linéaire complexe, à 2 oméga, elle, elle vaut, epsilon zéro, khi 2, e 1 carré, sur 2. Et donc après, il suffit de réinjecter ça dans l'équation de propagation non linéaire, dans le cadre de faisceaux monochromatiques, et vous obtenez donc, d A 1, sur, d z, qui vaut, i oméga 1, sur, 2 n epsilon zéro C, donc c'est n 1, fois la polarisation non linéaire complexe à oméga, donc ça c'est exactement ce terme-là, c'est le même terme, et fois, exponentielle moins i, k 1, z. Et vous obtenez de même, d A 2, sur, d z, qui vaut, i oméga 2, donc cette fois-ci sur, 4 n 2, epsilon zéro, C, fois, epsilon zéro, khi 2, e 1 carré, exponentielle, moins i, k 2, z. Et donc là, l'hypothèse qu'on fait, c'est qu'on est à l'accord de phase, ce qui nous permet si on écrit donc delta k, égal à zéro ; ça va nous permettre de laisser tomber les exponentielles, ici, et ici ; et donc vous obtenez que, i oméga 1, sur, 2, n 1, C, fois, khi 2, A 1 étoile, A 2, et ici vous obtenez, i, oméga 2, sur, 4 n 2, C, fois, khi 2, A 1 carré. Ce que vous obtenez ici, c'est, formellement, les mêmes équations que ce que vous avez obtenu dans le cadre du mélange à trois ondes, mais vous avez ici donc, le facteur 4 et qui correspond à un facteur 2 supplémentaire, comparé aux équations que vous avez dérivées dans le cours, et qui vient uniquement du fait qu'on est à la dégénérescence ; et donc, quand vous allez faire le passage aux amplitudes réduites, les équations que vous allez obtenir, elles sont exactement identiques pour alpha 1. Et donc vous obtenez, d alpha 1, sur, d z, qui va s'écrire, i, xi, alpha 1 étoile, alpha 2 ; et, d alpha 2, sur, d z, qui vaut, i, xi sur 2, qui est dû au facteur 2 que je viens d'évoquer, fois alfa 1, au carré. Et donc ça, ce sont les deux équations réduites, à partir desquelles on va pouvoir étudier le rendement de conversion en régime fort. Mais avant de passer à la résolution de ces deux équations couplées, eh bien on a besoin d'une équation de conservation qui va relier, alpha 1 et alpha 2. Et dans le cours vous avez vu la relation de Manley Rowe, qui est la relation qu'on va utiliser ; et je vous rappelle que cette relation de Manley Rowe, elle dit uniquement que, quand vous avez un processus de SHG, la génération d'un photon à 2 oméga, vient de la fusion entre deux photons à oméga ; et donc, vous avez une relation de conservation entre le nombre de photons à 2 oméga et le nombre de photons à oméga. Et, en particulier, quand vous considérez la SHG, le nombre de photons consommés qui s'écrit sous la forme alpha 1 au carré pris en z égal à 0 moins alpha 1 au carré pris en z égal à L, et bien ça, c'est le nombre de photons consommés à oméga eh bien, c'est le double du nombre de photons qui ont été générés à 2 oméga. Et donc ça, c'est la relation de conservation qu'on va utiliser et on peut la réécrire un peu, en disant que alpha 2 au carré de z, c'est un demi fois alpha 1 0 de z. Et donc ça, c'est la relation qu'on va utiliser une fois qu'on a un peu modifié les équations couplées. Et donc une fois que l'on a nos 2 équations couplées et l'équation de conservation que j'ai rappelé sur cette slide, on peut déterminer l'équation du deuxième ordre qui va être vérifiée par alpha 1. Donc, pour ça, il suffit de dériver 2 fois alpha 1 par rapport à z et donc pour ça, on va calculer la dérivée de la première équation différentielle, que vous voyez ici donc, quand vous dérivez ce produit, vous obtenez immédiatement la somme de 2 termes, [AUDIO_VIDE] et donc après, une fois que vous obtenez cette expression, il suffit de remplacer donc, d alpha 1 étoile sur dz par sa valeur que vous prenez ici, et d alpha 2 sur dz par sa valeur que vous prenez ici, et donc vous obtenez i xi, donc d alpha 1 étoile, ça va vous faire -i xi est réel fois alpha 1, alpha 2 étoile alpha 2 plus alpha 1 étoile et d alpha 2, c'est i xi sur 2 alpha 1 carré. Et donc du coup, quand vous simplifiez un peu cette expression vous voyez que vous avez xi^2 alpha 1 en facteur et le premier terme, vous avez i fois -i donc ça vous fait 1, fois le module de alpha 2 au carré moins le module de alpha 1 au carré sur 2, et donc ça, ça vous donne l'expression de la dérivée seconde de alpha 1. Et donc après, il vous suffit de remplacer le module de alpha 2 au carré par l'expression que l'on avait ici, qui vient de la relation de conservation que l'on avait établie et donc ça vous donne que d^2 alpha 1 sur dz^2, c'est égal à xi^2 alpha 1 et quand vous remplacez le module de alpha 2 par sa valeur, vous obtenez un demi de module de alpha 1 au carré pris au 0 moins un demi fois 2, c'est-à-dire moins le module de alpha 1 au carré. Donc ça, c'est l'équation différentielle du deuxième ordre qui est vérifiée par alpha 1 et qu'on va résoudre analytiquement. Maintenant, on vous demande de vérifier que la solution de cette équation s'écrit sous la forme, une constante divisée par un cosinus hyperbolique de Gamma z, et l'objectif, c'est de déterminer la valeur de Gamma et la valeur de alpha qui font que cette solution que l'on vous propose est bien solution de l'équation. Donc pour ça il faut dériver l'expression que l'on vous donne, deux fois vous obtenez que d alpha 1 sur dz, quand on dérive cette expression 2 fois, bon, c'est un calcul qui est un peu long mais qu'il faut faire, et sinon vous pouvez avancer la vidéo pour avoir le résultat du calcul. Donc, ça vous fait -Gamma alpha barre sur cosinus hyperbolique Gamma z au carré et vous avez sinus hyperbolique Gamma z, donc ça c'est la dérivée première. La dérivée seconde, elle s'écrit -Gamma alpha barre et vous dérivez cette expression et vous allez avoir sur cosinus hyperbolique 4 Gamma z, donc c'est la dérivée d'un quotient, et vous avez u'v moins uv' donc la première dérivée que vous avez c'est Gamma cosinus hyperbolique Gamma z, ça c'est la dérivée du sinus hyperbolique et vous le multipliez par le cosinus hyperbolique au carré donc vous avez au cube, et puis après vous avez moins, vous avez la dérivée de cosinus hyperbolique Gamma z au carré, ça va vous faire, 2 Gamma fois cosinus hyperbolique Gamma z fois le sinus hyperbolique Gamma z, ça c'est la dérivée et puis vous avez le sinus hyperbolique au carré parce que vous avez ce premier terme qui est au numérateur. Et donc, quand vous simplifiez cette expression vous avez du -Gamma de alpha barre et le premier terme donc vous avez du 1 sur cosinus hyperbolique Gamma z et puis après, vous avez le moins 2 le sinus hyperbolique, on peut l'écrire sous la forme cosinus hyperbolique carré Gamma z moins 1 et le tout sur cosinus hyperbolique cube Gamma z, et donc quand vous simplifiez cette expression vous obtenez d^2 alpha 1 sur dz^2, qui fait -Gamma^2 alpha barre, donc vous avez le terme en 1 sur cosinus hyperbolique donc vous en avez un premier moins 2 donc ça vous fait -1 sur cosinus hyperbolique Gamma z, et puis le dernier terme qu'il vous reste, il vaut plus 2 sur cosinus hyperbolique au cube Gamma z, quand vous simplifiez cette expression vous voyez que vous obtenez Gamma^2 alpha 1 fois 1 moins 2 et ce 2 sur cosinus hyperbolique carré et ce 1 sur cosinus hyperbolique vous pouvez l'écrire sous la forme, alpha 1 au carré sur alpha barre au carré. Et donc, quand vous faites sortir le facteur 2 sur alpha barre de l'expression, vous obtenez Gamma 2 de Gamma 2 sur alpha barre au carré multiplié par alpha barre carré sur 2 moins alpha 1 carré. Et donc, au final quand vous identifiez l'expression ici avec cette expression ici, vous voyez que si vous prenez alpha barre égal à alpha (1, 0) et 2 Gamma^2 alpha 1 sur alpha barre qui vaut xi^2 alpha 1, c'est-à-dire 2 Gamma^2 sur alpha barre carré qui vaut xi^2, ou Gamma^2 qui vaut xi^2 alpha barre carré sur 2, eh bien vous voyez que la solution proposée alpha 1 est bien solution du problème. Et donc, en particulier il y a quelque chose qu'il faut que vous remarquiez, c'est que vous avez ici une équation du deuxième ordre et vous avez une solution qui dépend que d'une seule variable, ici alpha barre, et ce n'est absolument pas incompatible parce que le problème que l'on a ici, c'est uniquement un problème avec une équation différentielle du premier ordre et donc la solution qu'on a ici alpha 1 barre si on vérifie si elle est aussi solution du système d'équation couplée, et c'est le cas, quand vous réinjectez l'expression de alpha 1 barre, ici dans le système de départ, vous voyez que c'est bien la solution de notre problème. Maintenant que l'on a l'expression de alpha 1, donc alpha 1 de z, qui s'écrit alpha (1, 0) sur cosinus hyperbolique Gamma z et bien, on peut dériver l'expression de alpha 2, pour ça la manière la plus simple, et la manière que l'on va utiliser dans ce TD, c'est de dériver d'une part le module et d'autre part la phase de alpha 2. Donc le module de alpha 2, vous pouvez le trouver en utilisant l'équation de conservation que vous avez ici et quand vous remplacez alpha 1 par son expression, vous obtenez que le module de alpha 2 au carré, ça s'écrit un demi de alpha (1,0) au carré fois 1 moins 1 sur cosinus hyperbolique Gamma z au carré. Et donc ça, ça se simplifie un peu et vous obtenez que c'est un demi de alpha (1, 0) fois la tangente hyperbolique de Gamma z au carré. Donc ça, c'est pour le module de alpha 2 et par contre, pour trouver l'argument de alpha 2, on peut réutiliser l'équation couplée d alpha 1 sur dz qui vaut i xi alpha 2, alpha 1 étoile et vous pouvez remarquer que d alpha 1 sur dz, donc on l'a calculé tout à l'heure mais ça, c'est négatif, et donc quand vous passez aux phases, vous voyez que cette phase-là, qui vaut Pi, ça fait égal à Pi sur 2 qui est la phase de i, donc xi c'est un nombre réel, alpha 2, sa phase, c'est celle qu'on cherche, phi de alpha 2, et puis, vous avez la phase de alpha 1 mais dans l'expression qu'on a considérée la phase de alpha 1 est nulle si bien que vous obtenez que phi de alpha 2 vaut Pi sur 2. Et du coup, ça vous permet d'écrire que alpha 2 de z, c'est 1 sur racine de 2 fois alpha (1,0) tangente hyperbolique Gamma z et puis, vous avez juste fois le facteur i qui est le facteur de phase de alpha 2. Et donc, maintenant, on vous demande de calculer le rendement de conversion, êta, qui vaut le rapport entre i2 en z égal L et i1 en z égal à 0. Donc ça, vous devez maintenant utiliser l'expression des amplitudes réduites alpha 1. Et i2, c'est simplement h barre oméga 2 fois l'amplitude alpha 2 prise en z égal L. Et puis 1, donc c'est égal à l'énergie du photon 1 multiplié par la densité du flux de photon incident qui s'écrit comme ça. Et donc, quand vous utilisez les résultats de la question précédente, vous obtenez que ce rendement, il s'écrit sous la forme d'une tangente hyperbolique gamma L. Et donc, maintenant, ce qu'on vous demande c'est de représenter ce rendement de conversion en fonction des paramètres du système et en prenant un paramètre khi 2 qui vaut 0,31 picomètre par volt, qui est la valeur du coefficient non-linéaire de KDP dans la direction considérée. Et donc pour ça maintenant, il faut que vous calculiez l'expression de gamma et donc gamma, on avait trouvé l'expression gamma 2 égal à xi 2 fois alpha 1, 0 au carré sur 2. Et je vous rappelle l'expression du facteur xi qu'on avait déterminée dans le cours, ou bien que vous pouvez trouver quand vous utilisez les variables réduites, c'est la racine de h barre oméga 3. Donc, sur n1 carré, n2 epsilon 0 c3 multiplié par le facteur khi 2. Et donc ça, c'est ce qui va nous permettre de calculer gamma 2. Et donc, gamma 2, quand vous faites l'application numérique, ce que vous trouvez, c'est que c'est égal à 0,35 fois l'intensité I1 en z égal à 0. Alors là, il faut faire attention quand on écrit des équations comme ça. I1, je l'exprime en gigawatt par centimètre carré et gamma 2, je l'exprime en centimètre moins 2. Et du coup, quand on veut tracer le rendement de conversion, il suffit de tracer la fonction y de L, qui s'écrit tangente hyperbolique carrée de gamma. Donc gamma, c'est racine de 0,35 I1 fois L. Et donc, quand vous tracez le rendement de conversion, ce que vous allez tracer, c'est êta de I1, qui vaut tangente hyperbolique au carré de racine de 0,35 I1 fois L où I1, lui, il est donné en gigawatt par centimètre carré et L est donné en centimètre. Et voila les courbes que vous obtenez quand vous tracez cette fonction-là. Donc on a tracé cette fonction-là pour deux valeurs de longueur de cristaux : une première longueur qui vaut trois millimètres et une et une deuxième longueur qui vaut dix millimètres et vous voyez plusieurs choses. La première, donc, c'est que le rendement de conversion, il est croissant quelle que soit la longueur de cristal et à faible intensité incidente, c'est-à-dire dans cette zone-là, vous retrouvez bien que le rendement êta, donc êta, il est bien linéaire avec I1, 0, qui est le rendement qu'on obtient dans le régime de faible conversion qu'on a vu dans le cours. Et donc, ce TD prolonge bien les résultats du cours. Et puis, enfin, la deuxième chose qui va nous intéresser, c'est quand on est dans cette région-là, vous avez des rendements de conversion qui sont très facilement supérieurs à 80%. Et donc ça, c'est super intéressant d'avoir des rendements de conversion aussi importants parce que vous avez complètement dépeuplé l'onde fondamentale. Et en particulier, ce qui est intéressant d'avoir des rendements, ici, qui saturent, c'est que vous êtes moins sensibles aux fluctuations de votre laser, par exemple. Donc je vous ai donné, ici, la référence d'un article dans lequel des auteurs ont effectué ces mesures de rendements de conversion en SHG dans KDP en régime fort. Et ces auteurs ont trouvé des rendements de conversion qui saturent plutôt vers 50% et ils expliquent cela par un effet de déphasage qu'il faut prendre en compte. Et dans le cadre de notre cours d'optique non-linéaire, c'est tout à fait intéressant parce que ces déphasages sont dus aux processus non-linéaires d'ordre trois qu'on va voir dès le cours de la semaine prochaine.
