Donc, on va écrire maintenant la polarisation non linéaire du second ordre.
Comme le, le champ E deux est négligeable,
on va écrire uniquement la polarisation qui résulte du champ E un.
Donc, c’est tout simplement epsilon zéro khi deux fois le champ réel E un au carré,
et, et donc, quand je développe ce, ce carré, je vais obtenir,
donc le terme qui est ici, epsilon zéro khi deux sur quatre avec E un carré plus E
un étoile au carré plus un double produit, deux fois E un E un étoile.
Donc, ce terme, j’en ai déjà parlé, dans la vidéo précédente, c’est le,
le processus de redressement optique, qui va produire une polarisation statique,
et qui ne va pas nous intéresser ici puisqu’on s’intéresse à
la propagation du champ doublé.
Donc, ce terme, ici, je vais, je vais l’oublier.
Ce n’est pas qu’il est nul, mais qu’il, il est responsable d’un effet à une autre,
à une autre fréquence et qu’il ne va pas, il ne va m’intéresser.
Donc, je vais m’intéresser uniquement, au terme qui est ici,
qui correspond au processus de génération de seconde harmonique, ou SHG en anglais.
Bien, alors, cette polarisation non linéaire du second ordre,
ici c’est une polarisation réelle, vous voyez ici un terme complexe et
son complexe conjugué, et on va évidemment utiliser la notation complexe.
Et, on peut naturellement identifier le terme P rond ici avec le terme en E
un carré, donc correspondant à des fréquences, à des fréquences positives.
Donc, je peux, en identifiant les deux membres de l’égalité,
je peux immédiatement écrire que P deux,
ce sera égal à epsilon zéro khi deux divisé par deux, donc, deux au lieu de
quatre parce que j’ai, j’ai ce facteur deux ici, multiplié par E un au carré.
Et une fois qu’on a la polarisation du second ordre,
et bien on n’a plus qu’à utiliser l’équation de propagation qu’on
a établie la semaine dernière dans le cas d’un, d’une onde, d'une onde
plane monochromatique, et je vous rappelle que cette équation, elle s’écrit ainsi, d
A deux sur d Z est égal à un terme source qui fait intervenir la polarisation non
linéaire pertinente pour cette, pour cette onde, donc, en l’occurrence, P deux de z.
Il y a un terme i oméga deux, ici,
qui provient de la dérivée par rapport au temps de, de, la polarisation complète.
Et puis, il y a surtout, ici, le terme qu’il ne faut pas oublier,
exponentiel moins i k deux z, qui provient en fait du fait que, dans E
deux de z on avait i k deux z, qui était initialement dans le membre de gauche,
mais comme on s’intéresse à l’équation de propagation de A deux de z, on a fait
passer ce exponentiel de i k deux z dans le membre de droite, ce qui vous explique,
donc, le signe moins ici, et le terme en exponentiel moins i k deux z.
Donc, on n’a plus qu’à remplacer, ici, P deux par son expression.
Donc, on a l’expression de P deux ici, et je vous rappelle que, donc, E un carré,
en fait, on le connaît déjà puisqu’on a supposé que A un ne dépendait pas de z,
donc E un carré, c’est tout simplement, ce sera tout simplement A un,
qui est une constante, au carré, multiplié par exponentiel i k un z au carré,
c’est-à-dire exponentiel i deux k un z.
Donc, en remplaçant cette expression de la polarisation, ici,
dans l’équation, on obtient le, le résultat qui est indiqué ici.
Le epsilon zéro, évidemment, a disparu, puisqu’il apparaît à la fois dans la
polarisation au numérateur et dans l’équation de propagation au dénominateur.
Et donc j’obtiens simplement cette expression,
avec évidemment khi deux qui va intervenir.
Le carré de l’enveloppe du champ incident, et puis un terme de phase,
qui fait intervenir, donc, je l’écris sous la forme exponentielle, moins i k deux,
donc le k deux qu'on avait ici, moins deux k un qui correspond au terme,
au terme source, qu’on a ici.
Alors, je vous rappelle que, que k deux, le vecteur d’onde, à la fréquence d’oméga
deux, et bien il s’écrit tout simplement n deux fois oméga deux sur C.
Quant à k un, et bien il va de la même manière
s’écrire n un fois oméga un divisé par C.
Alors, ici, on a besoin de deux k un, donc je multiplie ici k un par deux,
je vais avoir simplement n un fois deux oméga un divisé par C.
Et, quand je calcule maintenant, donc, ce que je vais appeler delta k,
c’est-à-dire la différence entre k deux et deux k un,
je vais faire la différence entre ces deux termes.
Oméga deux, ici, c’est la même chose que deux oméga un,
puisque je m’intéresse à un processus de, de doublage de fréquence.
Donc, oméga deux est égal à deux oméga un.
Donc, je pourrai mettre oméga deux sur C en facteur, et j’aurai donc que delta k
est égal à n deux moins n un multiplié par oméga deux sur C.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
