Donc, on va écrire maintenant la polarisation non linéaire du second ordre. Comme le, le champ E deux est négligeable, on va écrire uniquement la polarisation qui résulte du champ E un. Donc, c’est tout simplement epsilon zéro khi deux fois le champ réel E un au carré, et, et donc, quand je développe ce, ce carré, je vais obtenir, donc le terme qui est ici, epsilon zéro khi deux sur quatre avec E un carré plus E un étoile au carré plus un double produit, deux fois E un E un étoile. Donc, ce terme, j’en ai déjà parlé, dans la vidéo précédente, c’est le, le processus de redressement optique, qui va produire une polarisation statique, et qui ne va pas nous intéresser ici puisqu’on s’intéresse à la propagation du champ doublé. Donc, ce terme, ici, je vais, je vais l’oublier. Ce n’est pas qu’il est nul, mais qu’il, il est responsable d’un effet à une autre, à une autre fréquence et qu’il ne va pas, il ne va m’intéresser. Donc, je vais m’intéresser uniquement, au terme qui est ici, qui correspond au processus de génération de seconde harmonique, ou SHG en anglais. Bien, alors, cette polarisation non linéaire du second ordre, ici c’est une polarisation réelle, vous voyez ici un terme complexe et son complexe conjugué, et on va évidemment utiliser la notation complexe. Et, on peut naturellement identifier le terme P rond ici avec le terme en E un carré, donc correspondant à des fréquences, à des fréquences positives. Donc, je peux, en identifiant les deux membres de l’égalité, je peux immédiatement écrire que P deux, ce sera égal à epsilon zéro khi deux divisé par deux, donc, deux au lieu de quatre parce que j’ai, j’ai ce facteur deux ici, multiplié par E un au carré. Et une fois qu’on a la polarisation du second ordre, et bien on n’a plus qu’à utiliser l’équation de propagation qu’on a établie la semaine dernière dans le cas d’un, d’une onde, d'une onde plane monochromatique, et je vous rappelle que cette équation, elle s’écrit ainsi, d A deux sur d Z est égal à un terme source qui fait intervenir la polarisation non linéaire pertinente pour cette, pour cette onde, donc, en l’occurrence, P deux de z. Il y a un terme i oméga deux, ici, qui provient de la dérivée par rapport au temps de, de, la polarisation complète. Et puis, il y a surtout, ici, le terme qu’il ne faut pas oublier, exponentiel moins i k deux z, qui provient en fait du fait que, dans E deux de z on avait i k deux z, qui était initialement dans le membre de gauche, mais comme on s’intéresse à l’équation de propagation de A deux de z, on a fait passer ce exponentiel de i k deux z dans le membre de droite, ce qui vous explique, donc, le signe moins ici, et le terme en exponentiel moins i k deux z. Donc, on n’a plus qu’à remplacer, ici, P deux par son expression. Donc, on a l’expression de P deux ici, et je vous rappelle que, donc, E un carré, en fait, on le connaît déjà puisqu’on a supposé que A un ne dépendait pas de z, donc E un carré, c’est tout simplement, ce sera tout simplement A un, qui est une constante, au carré, multiplié par exponentiel i k un z au carré, c’est-à-dire exponentiel i deux k un z. Donc, en remplaçant cette expression de la polarisation, ici, dans l’équation, on obtient le, le résultat qui est indiqué ici. Le epsilon zéro, évidemment, a disparu, puisqu’il apparaît à la fois dans la polarisation au numérateur et dans l’équation de propagation au dénominateur. Et donc j’obtiens simplement cette expression, avec évidemment khi deux qui va intervenir. Le carré de l’enveloppe du champ incident, et puis un terme de phase, qui fait intervenir, donc, je l’écris sous la forme exponentielle, moins i k deux, donc le k deux qu'on avait ici, moins deux k un qui correspond au terme, au terme source, qu’on a ici. Alors, je vous rappelle que, que k deux, le vecteur d’onde, à la fréquence d’oméga deux, et bien il s’écrit tout simplement n deux fois oméga deux sur C. Quant à k un, et bien il va de la même manière s’écrire n un fois oméga un divisé par C. Alors, ici, on a besoin de deux k un, donc je multiplie ici k un par deux, je vais avoir simplement n un fois deux oméga un divisé par C. Et, quand je calcule maintenant, donc, ce que je vais appeler delta k, c’est-à-dire la différence entre k deux et deux k un, je vais faire la différence entre ces deux termes. Oméga deux, ici, c’est la même chose que deux oméga un, puisque je m’intéresse à un processus de, de doublage de fréquence. Donc, oméga deux est égal à deux oméga un. Donc, je pourrai mettre oméga deux sur C en facteur, et j’aurai donc que delta k est égal à n deux moins n un multiplié par oméga deux sur C. Donc, vous voyez qu’a priori, ce terme delta k, qu’on, qui va, qui va produire un effet qu’on appelle le désaccord de phase, ce terme delta k, il est a priori non nul puisque vous vous rappelez qu’on avait vu que l’indice de réfraction, en fonction de la fréquence, l’indice de réfraction augmente avec, avec la fréquence, et donc on s’attend à ce que l’indice de réfraction à la fréquence oméga deux soit plus important que l’indice de réfraction à la fréquence oméga un. Donc, on s’attend à ce que n deux moins n un soit positif, et donc que delta k soit effectivement, non nul. Ce terme de désaccord de phase, il provient simplement du fait que, dans le matériau, on va avoir, d’une part la polarisation induite, qui va se propager avec un vecteur d’onde deux k un, puisque la polarisation induite, c’est la carré du champ incident qui se propage avec le vecteur d’onde k un. Donc, si j’élève exponentielle i k un z au carré, j’aurai exponentielle i deux k un z. Donc, j’ai une polarisation induite qui va se propager avec le vecteur d’onde deux k un. Par contre, le champ rayonné à la fréquence oméga deux, par exemple, celui que j’aurai engendré au début du matériau, et bien lui, il va se propager tout le long du matériau, à sa fréquence oméga deux et donc avec, avec un vecteur d’onde k deux. Et donc, il y aura une différence de phase entre ces deux termes, la polarisation que vous aurez, par exemple, en ce point, et puis le champ rayonné qui se sera propagé tout le long de, de l’échantillon, et c’est ce, cette différence de phase qui est à l’origine de ce terme, qui va avoir des conséquences importantes, comme on va le voir tout de suite. Alors, avant de considérer l’effet de ce terme de désaccord de phase, considérons le cas simple où delta k est égal à zéro. Donc, je vais supposer ici que les indices de réfraction A oméga un et A oméga deux sont identiques, et donc que delta k est égal à zéro. Donc, dans ce cas, l’équation de propagation qu’on avait établie pourra se simplifier, puisque delta k est égal à zéro, et donc exponentiel moins i delta k z sera égal à un. Donc, j’aurai simplement une équation où d A deux sur d z est égal à ce terme constant, ici, et donc cette équation sera très facile à intégrer, ce sera une constante fois z. Donc le champ A deux de z s’écrira simplement sous cette forme. Je ne mets pas de constante d’intégration parce que, par hypothèse, je n’ai injecté dans mon matériau que le champ fondamental à la fréquence oméga un. Donc, A deux de zéro, le, le champ doublé à la, à la position z égal à zéro est égal à zéro, donc je n’ai pas, ici, de constante d’intégration. Donc, l’enveloppe A deux de z varie tout simplement linéairement avec la position z dans le matériau. Donc, j’aurai une variation ici, du module de A deux de z qui sera linéaire avec z, et si j’élève au carré, et bien j’aurai A deux de z au carré qui sera évidemment proportionnel à z deux. En fait, si je, si je l’écris, A deux de z au carré, si je laisse tomber tous les pré-facteurs qu’on a, qu’on a ici, A deux de z au carré sera proportionnel à A un à la puissance quatre, et puis, donc évidemment, A z deux comme le montre cette variation parabolique ici. Donc, on en conclut deux, deux propriétés. La première chose, c’est ce qu’on remarque, c’est que la génération de seconde harmonique est un effet non linéaire, puisque la puissance produite, donc qui va être proportionnelle à l’intensité, c’est-à-dire à A deux au carré, est proportionnelle à la puissance quatre du champ incident, c’est-à-dire au carré de l’intensité du faisceau incident. Donc, c’est un phénomène qui est non linéaire, qui va dépendre de manière non linéaire, plus précisément de manière quadratique, de la densité de puissance du faisceau incident. Et c’est la raison pour laquelle il a fallu attendre l’invention du laser, qui permettait de produire des densités de puissance importantes, pour observer cet effet. La deuxième chose qu’on peut remarquer, c’est que ce phénomène de génération de seconde harmonique est un processus cohérent, c’est-à-dire, ça provient du fait que A deux de z varie linéairement avec z, et donc que la puissance produite varie comme le carré de l’épaisseur du cristal.
