Dans cette dernière vidéo, nous allons établir ou parfois admettre un certain nombre de propriétés utiles sur la transformation de Fourier que nous allons utiliser dans toute la suite du cours. Donc pour commencer, un rappel, si donc E de t et E de oméga sont reliés par transformée de Fourier, eh bien on a vu qu'on pouvait écrire dans l'espace des temps le champ E de t réel, comme la partie réelle du champ complexe, E rond de t, donc qu'on peut écrire sous la forme évidemment de E rond de t plus E rond étoile de t divisé par deux, et que ceci correspondrait dans l'espace des fréquences à E droit de t qui était égal à la somme de E rond de oméga plus E rond étoile de moins oméga divisé par deux. Sachant que E rond de oméga est une grandeur qui a la particularité d'être nulle dès lors que oméga est négatif. Par ailleurs, ça nous avait permis de définir le module de E rond de t et la phase temporelle, de même que le module de E rond de oméga et la phase spectrale. Évidemment la phase spectrale phi de oméga de E rond de oméga est la même que la phase spectrale de E droit de oméga puisqu'il y a juste un facteur deux entre ces grandeurs. Et enfin nous avions défini dans le domaine temporel la fréquence instantanée oméga de t, qui était égale à moins d phi sur dt, et puis dans le domaine spectral le retard de groupe, tau de oméga, qui était égal à d phi sur d oméga. Et on avait illustré toutes ces définitions par des signaux sonores produits par une flûte à bec ou une flûte à coulisse. Bien, nous allons maintenant voir un théorème très important dans l'analyse de Fourier, qui est le théorème de Parseval-Plancherel. J'ai tout d'abord rappelé ici les définitions des transformées de Fourier, transformées de Fourier inverses, ce qui me permet de relier f de t et f de oméga, et on va s'intéresser à la grandeur à l'intégrale de f étoile de t, g de t, dt. Donc ça c'est ce qu'on appelle le produit scalaire hermitien, que vous avez peut-être déjà rencontré si vous avez déjà suivi les cours de mécanique quantique, et on va voir que ce produit scalaire hermitien se conserve entre l'espace de départ et l'espace de Fourier. Alors comment faire pour calculer cette intégrale? On va tout d'abord calculer f étoile de t, donc à l'aide de la définition, tout simplement. Donc f étoile de t, c'est évidemment l'intégrale de f étoile de oméga, mais multipliée par exponentielle plus i oméga t, d oméga sur deux pi. Donc si je remplace ce terme f étoile de oméga, je vais avoir maintenant une intégrale double, où j'ai ici, donc je retrouve la définition de l'expression de f étoile de t qu'on a calculée en-haut. Alors on va s'autoriser à inverser les deux signes somme ici, puisque notre propos n'est pas de traiter les difficultés mathématiques, donc on va inverser les deux signes somme, ce qui va nous permettre d'intégrer en fait d'abord sur le temps. Donc si je regarde tout ce qui dépend du temps ici dans cette intégrale double, j'ai d'abord g de t dt, et puis exponentielle i oméga t. L'intégrale sur le temps de g de t exponentielle i oméga t, dt, c'est évidemment ce qu'on va pouvoir appeler g de oméga. La transformée de Fourier inverse de ma fonction g de t. Et donc finalement cette intégrale double, je vais pouvoir l'écrire comme une intégrale simple, l'intégrale de f étoile de oméga, qu'on a ici, multipliée par g de oméga. Donc vous voyez qu'en effet le produit scalaire hermitien entre deux fonctions f et g est le même, qu'on le calcule dans l'espace des temps ou dans l'espace des fréquences, toujours en définissant le produit scalaire hermitien en intégrant non pas sur la pulsation mais sur la fréquence, oméga sur deux pi, ce qu'on fera dans toute la suite du cours. Donc ça c'est un premier point important, la transformée de Fourier conserve le produit scalaire, on peut encore dire que la transformée de Fourier est une isométrie. Et on peut appliquer cette relation sur le produit scalaire au carré scalaire, en l'appliquant au cas ou g est égal à f, et dans ce cas-là on a la conservation de la nome, c'est-à-dire que l'intégrale de f de t en module au carré dt est égal à l'intégrale de f de oméga en module au carré, d oméga sur deux pi. Bien, grâce au théorème de Perceval-Plancherel, qui nous dit que la norme d'une fonction est la même dans l'espace des temps et dans l'espace des fréquences, on va pouvoir définir une fonction epsilon de t et la fonction qui lui est associée par transformée de Fourier epsilon de oméga, de sorte de epsilon de t soit normée, c'est-à-dire que l'intégrale de epsilon de t au carré, dt est égal, d'après Perceval-Plancherel, de epsilon de oméga module au carré, d oméga sur deux pi, donc ça ce sera égal à un, il suffira pour cela de bien choisir le pré-facteur A. Il sera tout simplement la norme de notre champ complexe E rond de t. Et à partir de ces fonctions qui sont normées, je vais pouvoir définir des valeurs moyennes. Alors ça ce sera utile pour définir certains paramètres d'un signal temporel ou spectral. Donc si je prends l'exemple de ces deux fonctions reliées ici par transformée de Fourier, donc là ici j'ai représenté le module de epsilon de t en module au carré, si je me demande quel est le centre de cette impulsion, de ce signal temporel, le centre dans ce cas-là, on pourra dire que c'est le sommet, le moment où le signal est le plus élevé. Là c'est un peu plus compliqué puisque ces deux pics ont la même hauteur, et donc pour définir le centre du signal dans le domaine spectral, on aura plutôt tendance à considérer le barycentre, c'est-à-dire la valeur moyenne en fait de oméga, pondéré par epsilon oméga au carré. Et cette définition marchera évidemment dans le domaine temporel, donc dans ce cas-là je vais définir le centre de mon impulsion comme le barycentre de ce signal, et donc je vais définir le centre de l'impulsion t zéro comme la valeur moyenne de t, c'est-à-dire l'intégrale de t pondéré par epsilon de t, en module au carré. De la même manière, je définirai la fréquence centrale comme le barycentre ici de ce signal, la valeur moyenne de oméga, ou l'intégrale de oméga multipliée par epsilon de oméga en module au carré, donc d oméga sur deux pi. Voyez que on peut faire ça pour différents moments du signal, donc là c'est pour un moment d'ordre un, je peux faire la même chose pour le moment d'ordre deux, et donc si maintenant je veux définir la largeur de mon impulsion, soit la largeur temporelle, soit la largeur spectrale, je pourrais évidemment définir cette largeur comme une largeur à mi-hauteur, mais vous voyez que cette largeur à mi-hauteur ici ne va pas rendre compte du fait que j'ai des oscillations ici qui vont très, très loin dans le domaine temporel. Puis même chose la largeur à mi-hauteur ici ça va être un petit peu compliqué. Donc on pourrait définir la largeur d'une autre manière, au sens des valeurs moyennes. Donc pour ça on va utiliser l'écart quadratique moyen. Donc je vais définir la durée de l'impulsion, comme la racine carrée de la variance ou comme l'écart quadratique moyen, c'est-à-dire la racine carrée de la moyenne de t au carré moins la moyenne de t au carré. Ça on peut montrer très simplement que c'est encore égal à la racine carrée de la moyenne du carré de t moins t zéro. C'est l'écart quadratique moyen, l'écart, c'est-à-dire c'est l'écart de t à t zéro, qu'on élève au carré et puis ensuite on en prend la racine carrée. Donc on appelle ça la durée de l'impulsion RMS, c'est un sigle anglais qui veut dire Root Mean Square, donc simplement la durée au sens quadratique moyen. Et de la même manière je vais pouvoir définir la largeur spectrale delta oméga au sens de la variance, c'est-à-dire que ce sera la racine carrée de la variance, ou encore l'écart quadratique moyen pour la fréquence. Bien alors on va maintenant voir la relation qui existe ou qui peut exister entre delta t et delta oméga en faisant à nouveau une expérience, en utilisant cette flûte, pour faire un signal très bref et en voyant quelle est la valeur de delta t et quelle est la valeur de delta oméga. Voilà, donc vous avez ici, d'abord le signal dans le domaine temporel, qui est très bref. La durée au sens RMS a été calculée ici par l'ordinateur et vaut 19 millisecondes. Et on a un spectre, qui a une largeur d'environ sept hertz, et un produit delta d delta oméga qui vaut dans ce cas 0.8 Alors dans ce cas, ce sera pas toujours le cas, mais on voit ici que le produit delta t delta oméga est de l'ordre de un. Alors il y a une façon un petit peu intuitive de s'en rendre compte, c'est de voir comment on fait pour déterminer quelle est la fréquence finalement de ce signal. Donc pour ça je grandis un petit peu mon signal et puis je regarde quelle est sa durée, alors voyez que la durée qu'on va avoir sera pas la même selon la définition qu'on utilise, au sens RMS on a une durée de l'ordre de 20 millisecondes qui correspond à deux carreaux ici, au sens de la largeur à mi-hauteur j'aurai évidemment une durée beaucoup plus longue, qui sera plutôt de l'ordre d'une quarantaine de millisecondes, 40 ou 50 millisecondes. Bien maintenant si je vaux déterminer quelle est la valeur de la fréquence correspondant à ce signal, ce sera pas une fréquence pure, puisqu'on n'a pas une sinusoïde pure qui irait de moins l'infini à plus l'infini, mais pour déterminer la fréquence, l'idée ce serait simplement de compter le nombre d'oscillations, que j'ai dans mon signal. Donc par exemple si je prends ici sur une durée de 50 millisecondes, si je pars de ce point-là à ce point-là, je vais pouvoir compter le nombre d'oscillations, donc j'en aurai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, je vais pas aller jusqu'au bout mais vous voyez que j'en ai à peu près cinq par carreau, donc sur cinq carreaux je vais en avoir un petit peu plus, j'en ai cinq ou six par carreau, donc si je comptais sur les cinq divisions, sur les 50 millisecondes, j'aurai peut-être 25 ou 30 oscillations du champ électrique. Donc ça, ça me dit que la fréquence correspondant à ce signal serait de l'ordre de 500 à 600 hertz, c'est bien ce qu'on a mesuré, Si maintenant je regarde quelle est la tolérance sur la fréquence que je vais pouvoir compter, quelle est l'erreur que je pouvais faire, donc mettons que j'ai compté 27 oscillations du champ électrique, du signal sonore dans ce cas, j'aurais pu en compter 27 ou 28 parce que évidemment je pouvais faire une erreur d'une oscillation, la tolérance sur la fréquence ce sera en fait l'inverse de la durée, et c'est ça qui explique la largeur du spectre qu'on a ici, puisque l'inverse de la durée, ça me dit que j'ai une tolérance sur la fréquence delta oméga, qui va être de l'ordre de l'inverse de delta t. Donc je retrouve cette relation delta t delta oméga de l'ordre de un. En d'autres termes, pour faire un signal sinusoïdal comme ceci mais qui aura une durée limitée dans le temps, il va falloir superposer un certain nombre de sinusoïdes de fréquence différente, et qui en interférant destructivement, vont m'expliquer la décroissance ici du signal. Donc ça c'est évidemment pas une démonstration. En fait ce que vous allez démontrer en exercice c'est que delta t delta oméga, tel qu'on l'a défini, au sens de l'écart relatif moyen, est toujours supérieur ou égal à un demi. Alors je peux essayer de faire d'autres signaux, pour voir ce qu'on peut obtenir. Donc là j'ai vu qu'avec un signal très bref j'avais une largeur de l'ordre de sept hertz, donc un signal de 20 millisecondes j'avais sept hertz. Je vais essayer de faire avec la même flûte un signal un peu plus long. Voilà donc vous voyez maintenant que j'ai un signal qui a une durée beaucoup plus longue, 120 millisecondes au sens RMS, et la largeur, toujours au sens RMS, a été divisée par plus que deux. maintenant on a une largeur de trois hertz, on a augmenté delta t delta oméga, mais ça c'est parce que en fait ma fréquence n'est pas parfaitement constante pendant la durée du signal. Ce qu'on peut voir sur le spectre c'est qu'il est beaucoup plus fin que tout à l'heure, donc on voit bien qu'en ayant augmenté la durée du signal, j'ai affiné le spectre, mais à cause des composantes de fréquence que vous avez ici, on a finalement un delta oméga un peu plus grand que ce qu'il aurait pu être et donc un delta t delta oméga qui dans ce cas vaut 2,2. Mais qui vous le voyez, est évidemment, on vérifie toujours cette relation-là, j'aurais beau essayer de jouer n'importe quelle note avec la flûte, j'aurai toujours delta t delta oméga supérieur ou égal à un demi, comme vous pourrez le démontrer. Je peux maintenant essayer un signal très différent, voilà, donc là j'ai un signal à dérive de fréquence, comme on a vu dans la vidéo précédente, et maintenant delta t delta oméga est beaucoup plus grand que un. C'est pas très surprenant, on a un spectre qui est beaucoup plus large, donc le spectre est plus large, et la durée du signal est plus grande, donc c'est logique que delta t delta oméga aient augmenté. Donc voyez que dans tous les signaux qu'on pourra produire, eh bien on aura une grande famille de possibilités pour les valeurs de delta t delta oméga, mais on aura toujours delta t delta oméga supérieur ou égal à un demi. Bien alors dernière propriété utile avec la transformée de Fourier, qui va être en fait très importante parce qu'elle nous permettra de résoudre des équations différentielles, c'est le comportement de la transformée de Fourier par rapport à la dérivation. Dérivation par rapport au temps, ou dérivation par rapport à la fréquence. Donc je vais prendre la fonction f de t que vous avec en haut ici et je vais essayer de la dériver par rapport au temps. Donc si je dérive cette fonction par rapport au temps, je vais regarder dans l'intégrale ce qui dépend du temps, donc j'ai évidemment ici exponentielle moins i oméga t, et quand je vais dériver exponentielle moins i oméga t par rapport au temps, eh bien je vais faire sortir un facteur moins i oméga, et donc vous voyez que la dérivée de f par rapport au temps ça prend la forme d'une transformée de Fourier inverse, à condition de considérer la fonction f de oméga multipliée par moins i oméga. Ce que j'ai fait une fois, je peux le faire n fois, je peux prendre la dérivée nième de f par rapport au temps, et simplement à chaque fois que je dérive je vais faire sortir un facteur moins i oméga, donc j'aurai ici moins i oméga à la puissance n. Donc on a ce résultat, que la dérivée nième de f par rapport au temps c'est moins i oméga à la puissance n fois f de oméga. Évidemment j'aurai la même chose si je dérive par rapport à la fréquence, toujours en vertu de cette grande symétrie, dans la définition de la transformée de Fourier, la transformée de Fourier inverse. La seule chose, c'est que si je dérive par rapport à la fréquence, eh bien comme j'ai ici un facteur exponentiel plus i oméga t, si je dérive par rapport à oméga, je vais faire sortir un facteur i t à la puissance n. Et donc vous voyez que finalement, dériver dans l'espace direct, dans l'espace de Fourier c'est très simple, ça revient tout simplement à multiplier par, soit moins i oméga à la puissance n, soit i t à la puissance n.
