Bonjour. Dans cette vidéo, nous allons corriger l'exercice de Travaux Dirigés sur le quasi-accord de phase qui est une technique un peu différente de celle que vous avez vue dans le cours pour effectuer du doublage de fréquence ou du mélange à trois ondes. En effet, dans le cours vous avez vu la technique de l'accord de phase par biréfringence qui vous permet de satisfaire la condition delta k égal à zéro si vous choisissez une direction de propagation appropriée dans un cristal anisotrope, et donc en particulier, si vous choisissez bien l'angle de propagation thêta, alors vous arrivez à satisfaire la condition d'accord de phase. Dans ce TD, on va s'intéresser au cas où le désaccord de phase delta k donc lui est non nul, et on va voir comment on peut moduler le coefficient non-linéaire dans le cristal pour obtenir une intensité de S H G élevée et cette technique sera bien évidemment applicable au mélange à trois ondes. Dans ce TD, on se place dans les hypothèses que vous avez vues dans le cours qui sont celles du doublage de fréquence en régime faible, et on considère un cristal de longueur L. Et puis évidemment on définit le désaccord de phase delta k comme la différence entre k deux et deux fois k un qui est la différence entre les vecteurs d'ondes des ondes en interaction dans le cristal. Alors on rappelle, pour la suite de l'énoncé, la valeur d'une intégrale ici, que je vais redémontrer rapidement et nous sera utile plusieurs fois dans la suite de ce TD. Donc cette intégrale i, vous pouvez la calculer directement, c'est un sur moins i s fois exponentielle moins i s l moins un et pour faire apparaître le sinus cardinal que vous voyez dans l'équation qu'on vous donne, vous faites factoriser par exponentielle moins i s l sur deux qui est l'angle moitié et vous faites apparaître exponentielle moins i s l sur deux moins exponentielle i s l sur deux. Et donc ce terme-là que vous avez entre parenthèses, et bien il suffit d'écrire que c'est moins deux i fois sinus s l sur deux sur moins i s exponentielle moins i s l sur deux. Et donc ça, quand vous simplifiez cette expression ici, vous obtenez bien l'expression qu'on vous a donnée dans l'énoncé. Et donc on peut maintenant passer aux premières questions de ce TD, donc ces premières questions qui sont des questions de cours et qui vont vous permettre d'établir la valeur de l'amplitude complexe de l'onde à deux oméga en sortie de cristal pour les paramètres qu'on considère dans ce problème. Donc on vous demande tout d'abord de donner l'équation différentielle qui gouverne l'amplitude complexe de l'onde à deux oméga, donc ça, c'est un résultat de cours. L'équation différentielle qu'on va utiliser, c'est l'équation couplée qui vous donne la dérivée de l'amplitude complexe de l'onde à deux oméga par rapport à z, et ça, d'après le cours directement, c'est i oméga deux, donc ça, ça vient de la dérivée par rapport au temps, vous avez au dénominateur le facteur quatre n deux c et puis ici vous avez le facteur khi deux, qui dans le cas, dans cet exercice, est une fonction de z. C'est bien ce qui va nous intéresser, c'est la dépendance spatiale de khi deux quand on se propage dans le cristal et puis vous multipliez par A un de z au carré exponentielle moins i delta k z. Et dans le cadre du doublage de fréquence en régime faible qui sont les hypothèses que l'on fait dans ce TD, et bien on va pouvoir négliger la variation spatiale de l'amplitude du fondamental, c'est-à-dire qu'on va pouvoir négliger la dépendance en z de A un. Si bien qu'on peut réécrire l'équation différentielle qui nous intéresse, c'est i oméga deux sur quatre n deux c fois khi deux de z A un carré exponentielle moins i delta k z. Et donc ensuite, une fois qu'on a cette équation différentielle qui nous donne la dérivée de A deux par rapport à z, pour obtenir la valeur de A deux en sortie de cristal, et bien il suffit d'intégrer toute cette expression le long de la propagation dans le cristal, donc de zéro jusqu'à grand L, et ça, ça vous donne le résultat de la deuxième question de ce TD, qui est que A deux de L moins A deux en zéro, et bien c'est i oméga deux sur quatre n deux c A un carré, puis vous avez l'intégrale de zéro à L de khi deux de z exponentielle moins i delta k z d z. Et puis si on suppose que, en entrée de cristal, on a que l'onde fondamentale, ça vous permet de supprimer ce terme A deux de zéro, et donc vous obtenez ici l'expression de l'intégrale à partir de laquelle on va travailler et à partir de laquelle on va pouvoir déterminer les conditions de quasi-accord de phase. En particulier, vous pouvez remarquer que l'intégrale que vous avez ici, et bien formellement elle est proche d'une Transformation de Fourier, et ça en particulier parce que vous avez ce terme en exponentielle moins i delta k z. Et donc vous pouvez d'ores et déjà voir que ce qu'on va utiliser, ce sont les outils de la Transformation de Fourier et de la décomposition de Fourier en l'occurence pour calculer la valeur de cette intégrale. Donc à partir de maintenant on va s'intéresser à une fonction khi deux de z qui correspond à ce qu'on utilise couramment dans les matériaux en quasi-accord de phase dans l'industrie ou dans les laboratoires de recherche. Donc on a représenté ici la fonction khi deux de z que l'on sait actuellement réaliser technologiquement, et donc ce que je vous donne ici, c'est, en fonction de z, qui est la coordonnée de propagation dans le cristal, vous avez khi deux de z. Alors évidemment, vous vous demandez peut-être comment on peut réaliser technologiquement une succession de créneaux de cette manière-là, donc il y a plusieurs technologies qui sont utilisées à ce jour. La première consiste à appliquer des champs électriques très intenses périodiquement sur un cristal, ce qui va vous permettre d'inverser des domaines, et en inversant des domaines périodiquement, et bien vous arrivez à inverser le signe du coefficient non-linéaire. L'autre technique qui est utilisée, et en particulier qui est utilisée dans l'arséniure de gallium suite à des recherches à Thalès, et bien consiste à empiler successivement des lames de cristaux qui ont des orientations différentes, et comme ça vous arrivez à faire un espèce de millefeuille avec des coefficients qui sont périodiquement opposés. Et donc vous voyez que cette fonction, elle est périodique avec la période grand lambda, et donc ce qu'on va être tenté de faire, c'est de décomposer cette fonction périodique en série de Fourier. Donc pour ça, on va utiliser la décomposition de Fourier que vous avez vue dans le cours lors de la deuxième semaine de ce cours d'optique non-linéaire, et c'est la décomposition de Fourier qui est l'outil clé pour aborder la notion de quasi-accord de phase. Donc pour ça, il suffit d'écrire que khi deux de z, et bien c'est une somme. Donc on a plusieurs choix, soit on écrit cette fonction sous la forme d'une somme de fonctions cosinus et sinus, mais là on va plutôt l'écrire sous une forme d'une somme de fonctions exponentielles, donc vous avez les coefficient C n qui sont les coefficients de la décomposition de Fourier, et puis exponentielle moins i n, et comme votre fonction elle est périodique de période spatiale lambda, le facteur que vous avez dans l'exponentielle c'est n fois deux pi sur lambda, qui est la période en fait dans l'espace réciproque, et multiplié par z qui est votre coordonnée spatiale. Et donc tout l'objet de cette question, c'est de calculer la valeur des coefficients C n qui vont vous permettre d'approximer votre fonction créneau par morceau à une somme d'exponentielles comme ça. Donc pour ça, et bien on va utiliser la définition de C n, c'est un sur lambda fois l'intégrale de moins lambda sur deux à lambda sur deux qui est en réalité l'intégrale sur une période de khi deux de z fois exponentielle plus i n deux pi sur lambda z d z. Et donc pour calculer cette intégrale, C n, c'est un sur lambda, et l'intégrale que vous avez ici entre moins lambda sur deux et plus lambda sur deux, on va la scinder en deux, donc on va la scinder d'abord entre moins lambda sur deux et zéro, parce que notre fonction elle est constante sur cet intervalle-là, elle vaut moins khi zéro donc vous avez l'intégrale de moins lambda sur deux à zéro de moins khi zéro deux exponentielle plus i n deux pi sur lambda z d z plus la deuxième partie de l'intégrale qui est l'intégrale de zéro jusqu'à lambda sur deux, et sur cet intervalle-là notre fonction khi deux de z elle vaut khi zéro. et donc vous avez l'intégrale de plus khi zéro deux exponentielle plus i n deux pi sur lambda z d z. Et donc ça, ça vous fait khi zéro deux sur lambda quand vous allez intégrer les exponentielles, ça va vous faire sortir un terme en lambda sur deux i n pi, et donc vous multipliez tout ça par exponentielle moins i n pi moins un qui sont les valeurs de la première intégrale, et vous vous rendez compte que la deuxième intégrale vaut exactement la même chose, et donc vous avez en réalité un facteur deux. Et quand vous simplifiez cette expression, donc vous pouvez simplifier par deux en haut et en bas, par lambda aussi. Donc vous obtenez que C n ça fait khi zéro deux fois un sur n pi multiplié par un moins moins un puissance n fois i. Et donc ça, en fonction de la parité de n vous voyez que ça peut un peu se simplifier, en particulier le terme que vous avez ici dans la parenthèse, il va valoir zéro si n est pair, et donc le coefficient de Fourier va valoir zéro si n est pair. Par contre, quand n est impair, et bien vous allez avoir khi zéro deux fois deux i sur n pi, et donc ça, c'est la valeur des coefficients de Fourier si n est impair. Une manière de voir que vous ne vous êtes pas trompés, c'est de tracer cette décomposition de Fourier, et en particulier si vous la tracez pour une somme de termes qui augmentent donc de trois jusqu'à 20, et bien vous voyez que vous arrivez à reproduire de manière assez fidèle, et bien une fonction créneau, là en l'occurrence on a considéré une fonction créneau avec une période spatiale lambda qui vaut cinq, et vous voyez que quand on part de zéro, on a bien une fonction qui vaut un sur environ une demi-période deux virgule cinq, et puis après vous avez une fonction qui vaut moins un sur la demi-période restante, et donc ça vous permet de vérifier a posteriori que les coefficients de Fourier que je vous donne, et bien sont bien les coefficients de Fourier de la décomposition qui nous intéressent. Et donc maintenant qu'on a d'une part la décomposition de Fourier de notre fonction khi deux et la valeur de l'amplitude complexe du faisceau doublé en sortie de cristal, et bien on peut combiner les deux résultats qu'on a obtenus pour obtenir que A deux de L et bien c'est i oméga deux A un carré sur quatre n deux c fois l'intégrale de zéro à L et on va intégrer toute cette somme qu'on a ici multiplié par le facteur exponentielle moins i delta k z. Donc ça, ça vous fait l'intégrale de la somme donc vous intégrez C n, et puis dans l'exponentielle vous allez avoir moins i avec deux pi sur lambda n plus delta k z d z. Et donc le reste du problème ça va être de calculer mais surtout de simplifier cette expression qui est un peu trop compliquée, et on va voir comment le quasi-accord de phase et bien permet de simplifier cette expression pour obtenir des rendements A deux de L qui sont des rendements élevés. Et donc ensuite, si vous réorganisez un peu cette expression, vous obtenez i oméga deux A un carré sur quatre n deux c, puis vous inversez la somme et l'intégrale et vous obtenez la somme de n égal à moins l'infini jusqu'à plus l'infini des C n fois l'intégrale de zéro à L de exponentielle moins i deux pi sur lambda n plus delta k z d z. Ce que vous voyez apparaître maintenant sous l'intégrale, c'est une exponentielle de moins i fois un facteur fois z d z, et ça, c'est la valeur qu'on vous a donnée en début d'énoncé, et donc cette intégrale-là elle vaut directement L fois exponentielle moins i s n L sur deux fois le sinus cardinal de s n L sur deux où on a défini s n qui vaut ce qui a ici, donc ça c'est ce qu'on a s n, et donc s n c'est delta k plus deux pi sur lambda n. Et donc vous obtenez le résultat de cette quatrième question qui est que A deux de L c'est tout d'abord donc les facteurs qui sont devant la somme multiplié par la somme sur n des C n fois tous ces termes qui sont une somme de sinus cardinaux et dont on va discuter la signification dans la suite de ce problème. Et donc en particulier la cinquième question de ce TD vous demande comment choisir la période de modulation gamma pour faire que le rendement de conversion qui est, qui vous est donné ici par une expression qui est complètement barbare, et bien, soit maximale. En particulier, on va s'intéresser à la valeur des s n que vous avez ici parce que les sinus cardinaux qui sont les fonctions que vous avez ici et bien sont des fonctions qui, si la longueur grand L est beaucoup plus grande que la valeur delta k, mais c'est le cas parce qu'on considère des cristaux qui ont une longueur L de l'ordre du millimètre alors que delta k et bien lui il est plutôt de l'ordre du micron moins un, et bien vous avez des fonctions sinus cardinal qui sont très piquées autour de s n si s n vaut zéro. Donc en particulier ce qui va être intéressant c'est de représenter la valeur des coefficients s n pour différentes valeurs de delta k et de lambda. Donc on va considérer par exemple une valeur delta k positive, et vous voyez que s n, donc c'est une suite discrète de points qui sont tous indexés par les entiers, et donc en fonction de la valeur de lambda, et donc les s n, ce sont les points qui sont tous situés sur une droite qui passe par delta k pour n égal à zéro, et qui ensuite quand vous prenez n égal à un vous avez le point sur la droite, quand vous prenez n égal à deux vous avez un deuxième point sur la droite, quand vous prenez n égal à trois et caetera, vous arrivez à placer l'ensemble des s n donc évidemment ici, c'est s n, donc s n ce sont les points rouges que j'ai dessinés sur cette droite. Et donc la pente de la droite que j'ai représentée ici, et bien vous voyez que c'est exactement deux pi sur lambda. Et donc vous voyez que, en faisant varier la valeur de lambda, et bien on peut ajuster la pente de cette droite. Et donc là, ce que j'ai représenté, vous voyez que les coefficient s n que j'ai choisis, et bien vous n'en avez aucun qui vaut zéro, en particulier, on serait tenté de regarder dans cette zone-là, mais pour n qui vaut moins un ou n qui vaut moins deux, et bien vous voyez que aucun des coefficients ne vaut zéro et donc que aucun des sinus cardinaux que vous avez dans cette somme ne va valoir un et donc en fait vous avez une somme de termes qui sont tous négligeables avec les coefficients c n qui tendent vers zéro, et donc vous avez forcément une somme qui est nulle et donc vous n'avez pas de rendement de conversion élevé. Mais par contre, on peut adapter la pente de la droite que vous avez ici pour faire que l'un de ses points passe par zéro et en particulier, si vous tracez cette droite-là, et bien vous voyez que maintenant les positions des s n vous en avez un ici, un autre ici, vous avez ce point-là ici,et vous avez un autre point ici. Et donc le point qui va nous intéresser c'est celui-là parce que pour la valeur de pente qui correspond à la droite que j'ai tracée en vert, et bien vous avez un point s n qui vaut zéro et donc ça, ça va correspondre à un sinus cardinal qui vaut un et ça va correspondre à un rendement de conversion qui est maximal. Et donc la condition pour obtenir ce point point, ici, qui est égal à zéro, donc vous voyez que ça correspond à n égal à moins un, et donc ça vous fait comme condition que delta k, moins deux Pi sur lambda, qui doit être égal à zéro. Et ça, c’est, la valeur de s moins un. Et donc, vous allez avoir ce sinus cardinal, ici, qui vaut un si n est égal à moins un, et tous les autres termes, puisque tous les autres points que j’ai tracés en rouge, ici, et bien sont loin de zéro, tous les autres termes valent zéro. Et donc, le rendement de conversion que vous obtenez, c’est A deux de L, qui fait i oméga deux sur quatre n deux C fois A zéro carré multiplié par C moins un. Et donc, C, pour cette valeur de n égal à moins un, est pour cette condition delta k moins deux Pi sur zéro que vous obtenez le rendement de conversion maximal, parce que vous avez ici le coefficient de Fourier, C moins un dont l’amplitude est maximale. Je vais m’attarder un peu sur la condition qu’on vient de, de déterminer, qui la condition de quasi-accord d’ordre un. Vous avez delta k qui doit être égal à deux Pi sur lambda. Et ça, vous pouvez réécrire cette équation en utilisant la longueur de cohérence qui vaut Pi sur delta k, de telle manière que vous voyez que lambda, c’est deux fois la longueur de cohérence, du processus. Et ça, ça a une explication, et ça a une explication physique que je vais essayer de vous montrer maintenant. Donc, pour ça, ce que je vais représenter, c’est, en z la propagation dans le cristal en fonction de la manière dont se construit l’onde, c’est-à-dire le module au carré de l’amplitude complexe de l’onde doublée. Donc, si on se rappelle de ce que c’est que la longueur de cohérence, c’est la longueur au bout de laquelle tout ce que vous aviez construit de faisceau doublé, et bien va être déconstruit. Vous aviez quelque chose comme ça, un faisceau doublé qui croît, mais à partir de la longueur de cohérence, à cause du déphasage qui s’est introduit entre les ondes, et bien, vous détruisez tout ce que vous avez construit, et puis c’est un processus qui est évidemment périodique dans le cristal. Et donc, quand vous êtes à trois L c, vous reconstruisez exactement la même chose que ce que vous aviez fait à L c. Nous, maintenant, ce qu’on va faire, c’est qu’on va moduler notre, fonction khi deux de z, a exactement la période spatiale qui correspond à deux fois la longueur de cohérence. Donc, vous avez ici, lambda, qui vaut deux fois, la longueur de cohérence ici. Et donc, ce qui va se passer, c’est que, sur la première demi-période, vous avez un coefficient, ici, qui vaut plus khi zéro carré, donc qui est le même coefficient que si on n’avait pas touché au cristal. Et donc, la fonction A deux de z, elle se construit exactement de la même manière. Par contre, une fois que vous arrivez dans la deuxième demi-période, vous voyez, un coefficient non linéaire, qui est le coefficient non linéaire opposé à ce que vous auriez vu si vous propagiez dans le cristal qui est un cristal homogène. Et donc, vous allez avoir, non pas une interférence destructive comme vous avez ici, mais une interférence constructive. Ce qui fait que vous allez non pas détruire l’onde A deux que vous avez construite jusque là, mais vous allez la construire, et vous allez la construire de manière symétrique par rapport à ce que vous auriez dû la déconstruire. Et puis après, et bien vous voyez que c’est un processus qui se perpétue. Quand vous êtes dans la troisième demi-période, vous avez toujours, le coefficient plus khi zéro deux, et donc, bien, votre onde A deux se construit exactement de la même manière que si vous n’aviez pas touché au cristal. Et par contre, une fois que vous arrivez dans la quatrième demi-période, et bien vous avez compris ce qui se passe, et bien l’interférence qui était destructive devient constructive, et vous obtenez ici la valeur de l’amplitude du module au carré, de l’amplitude complexe de l’onde doublée dans le cristal. Donc, vous voyez qu’avec cette manière, avec cette inversion de domaine sous cette condition de premier ordre lambda égal à deux L c, et bien on arrive à construire l’onde dans le cristal, et c’est ça l’intérêt de la technique du quasi-accord de phase. Et donc, maintenant on passe à la dernière partie de cette question, qui vous demande de comparer le rendement de conversion en accord de phase par biréfringence et, en quasi-accord de phase. Alors, l’accord de phase par biréfringence, c’est la technique que vous avez vue dans le cours cette semaine, et le quasi-accord de phase, c’est la technique qu’on vient de voir. Donc, pour ça, je réécris la valeur, de l’amplitude de A deux en sortie de cristal qu’on a obtenu. C’est oméga deux sur quatre n deux C fois deux sur Pi khi zéro, deux fois L fois A un au carré. Et donc ça, si vous étiez en accord de phase par biréfringence, vous voyez que la seule différence par rapport à l’expression que vous avez obtenue dans le cours, et bien c’est ce facteur deux sur Pi, et deux sur Pi numériquement, c’est à peu près égal à zéro 64. Et donc, on pourrait penser que le quasi-accord de phase, en fait, a des rendements de conversion qui sont moins élevés que, le, l’accord de phase par biréfringence. Ce qu’il se passe, en réalité, c’est que l’accord de phase permet de solliciter des coefficients khi zéro deux qui sont plus élevés et qui sont inaccessibles en accord de phase par biréfringence, et ces coefficients khi deux, par exemple, si vous prenez, un matériau très connu en optique non linéaire, qui est KTP, ou bien un autre qui est le niobate de lithium, et bien, le coefficient khi deux, que vous pouvez solliciter, en quasi-accord de phase, et bien lui, il est entre cinq et dix fois celui que vous pouvez solliciter en accord de phase par biréfringence. Et donc, ce qu’il faut voir, c’est que, parce qu’on peut solliciter un coefficient non linéaire en quasi-accord de phase, qui est cinq à dix fois plus élevé qu’en accord de phase par biréfringence, et bien les rendements de conversion sont en général plus élevés quand on utilise la technique du quasi-accord de phase. Il y a d’autres avantages à la technique du quasi-accord de phase, et en particulier, ça permet d’accorder les processus de mélange à trois ondes en conservant la condition de quasi-accord de phase, et c’est une technique qui aujourd’hui est très utilisée dans les laboratoires, et dans de nombreux dispositifs commerciaux. Voilà, je vous remercie de votre attention et à la semaine prochaine.
