Alors pour décrire mathématiquement cette fonction, on a vu que la polarisation P était une fonction du champ électrique appliqué, donc c'est la fonction qui est représentée à gauche ici. Pour la décrire mathématiquement, on va faire en fait un développement limité autour du champ E égal à zéro. On avait déjà vu que le régime de l’optique linéaire consiste à supposer que la polarisation varie linéairement avec le champ. Donc ça ce sera valable dans un régime ici pour des faibles valeurs du champ électrique, et donc on avait écrit que P était égal à epsilon zéro, khi fois le champ électrique. Donc ça évidemment, ce n'est valable que pour de faibles valeurs du champ électrique, donc on va dire que cette sociabilité khi, c'est ce qu'on appelle la susceptibilité linéaire du milieu, qui n'est valable que pour décrire le régime linéaire donc, en faible régime. Si on augmente la force du champ électrique, on va explorer une région au-delà de ce régime linéaire, et donc on va devoir utiliser une forme quadratique pour représenter la polarisation. Donc je vais ajouter ici un terme en epsilon zéro, khi deux, ce qui par définition sera la susceptibilité non-linéaire du second ordre. Donc epsilon zéro khi deux fois E au carré. Alors E au carré, je vais l'écrire E multiplié par E pour une raison qui sera claire dans un instant. Donc ça, ça nous donne cette courbe en vert ici, mais évidemment si on veut une meilleure approximation de la fonction f de E, il va falloir ajouter le terme suivant du développement limité, c'est-à-dire un terme en E à la puissance trois, donc je vais l'écrire khi trois multiplié par E au cube, c'est-à-dire E multiplié par E, multiplié par E. Et ainsi de suite. Donc c'est ce qu'on appelle le développement non-linéaire de la polarisation en puissance du champ électrique. Alors, dans le titre, vous voyez ici qu'on parle de tenseur de susceptibilité non-linéaire, parce qu'en réalité, effectivement, cette susceptibilité n'est pas un scalaire, c'est un tenseur. Alors tout simplement parce que bon jusqu'à maintenant, on sait que s'est limité au cas de matériaux isotropes qui sont identiques dans la même direction, mais on peut très bien imaginer, il existe de nombreux matériaux qui ne sont pas isotropes. C'est-à-dire on pourra avoir une excitation selon un axe x, un axe horizontal par exemple, et on aura une polarisation induite dans une direction verticale. Donc on pourra avoir, si on applique un champ selon l'axe x, une réponse selon l'axe z. Et donc de manière générale, ce qu'on va dire, c'est que la polarisation induite selon l'axe x par exemple, donc que je vais appeler P indice x eh bien ça va s'écrire, donc là je parle de la polarisation linéaire, je vais l'appeler P un indice x, et bien cette polarisation linéaire P un indice x, je vais l'écrire sous la forme donc epsilon zéro khi Ex, mais il y aura également un terme qui va dépendre de Ey et un terme qui va dépendre de Ez, puisque mon matériau peut avoir une réponse selon l'axe x, même s'il est excité selon des axes différents. Et donc évidemment, ces trois valeurs de x ici ne seront pas les mêmes. La susceptibilité du milieu selon l'axe x quand on l'excite selon l'axe x ou selon l'axe y ne sera pas la même. Donc on aura des coefficients qui seront différents. Donc le premier je vais l'appeler khi xx, le deuxième je vais l'appeler khi xy et le troisième je vais l'appeler khi xz. Evidemment, tout ça ce sera la susceptibilité linéaire khi un z. Qui sera donc en fait une matrice, une matrice trois par trois, et j'ai écrit ici trois de ses coefficients: le coefficient khi xx, xy, et xz. Donc de la même manière, le khi deux et khi trois seront non pas simplement des matrices, mais des tenseurs, puisqu'on n'aura plus d'indices, et donc ce que je vais dire, c'est que la composante i de la polarisation va s'écrire sous la forme de epsilon zéro khi un i j multiplié par Ej, donc là j'utilise la convention de sommation sur les indices répétés d'Einstein, quand j'écris khi i j E j, comme l'indice j ici est répété deux fois, eh bien il sera sous-entendu que je vais sommer sur j. Donc la première ligne ici de cette expression, ça correspond exactement à ce qu'on avait écrit ici, c'est-à-dire la sommation pour j qui sera égale à x, à y et à z. Et la même manière pour le terme d'ordre deux, on va écrire que la réponse selon l'axe x, c'est khi i j k, multiplié par E j E k, donc là je vais sommer sur j et sur k, et puis à l’ordre trois, j'aurais un tenseur d'ordre quatre, donc la susceptibilité d'ordre trois est un tenseur d'ordre quatre, donc j'aurais khi i j k l multiplié par Ej Ek El. Donc voici comment on définit les tenseurs susceptibilité non-linéaires à l'ordre un, deux, trois et cetera. Bien, donc, en résumé, dans ce premier cours, nous avons vu tout d'abord, le régime de l'optique linéaire avec un modèle très simplifié de réponse de la matière, donc ce modèle nous a permis de rendre compte de l'absorption de la matière, et également de la dispersion. On a vu que dans une zone de transparence, eh bien l'indice de réfraction allait toujours augmenter avec la fréquence, c'est ce qu'on a appelé la dispersion normale. Et cette variation de l'indice avec la fréquence explique par exemple pourquoi un prisme va comme ici sur cette image, un prisme va disperser les composantes de la lumière. Ici, vous avez un faisceau blanc, dont les différentes composantes spectrales sont dispersées par ce prisme du bleu à 0,4 microns jusqu'au rouge à 0,8 microns. Donc ça, c'est l'optique linéaire. On a vu, dans cette vidéo, le régime de l'optique non-linéaire, et qu'on pouvait classifier en terme quadratique cubique. Donc pour le terme quadratique, c'est ce qui va être décrit par le tenseur susceptibilité d'ordre deux, khi deux, la réponse donnée à l’ordre deux, qui sera notamment responsable du doublage de fréquence que vous avez ici, où un faisceau rouge à 800 nanomètres va devenir bleu ici à 400 nanomètres, après interaction non-linéaire dans un cristal convenablement choisi, et puis on aura des effets d'ordres supérieurs, des effets d'ordre trois, et donc c'est ce qu'on appelle l'optique non-linéaire du troisième ordre. Il y a différents effets, comme par exemple l'effet Kerr optique, que vous avez ici, où un faisceau, une impulsion brève centrée sur le rouge à 800 nanomètres, va vous donner dans un matériau transparent ici où le faisceau est focalisé, va vous produire par effet kerr optique, mais également par d'autres effets non-linéaires, va vous produire un faisceau de lumière blanche, qui sera ce qu'on pourra appeler un laser blanc, qui est l'une des manifestations les plus spectaculaires de l'optique non-linéaire. Donc, dans les prochaines semaines, nous allons voir en détails ces différents effets d'optique non-linéaire, les effets d'optique non-linéaire quadratiques, et les effets d'optique non-linéaire du troisième ordre, Mais avant cela, nous allons voir en détail la transformation de Fourier, c'est ce qui fera l'objet du prochain cours.
