Dans les précédentes vidéos, nous avons développé un modèle de réponse d'un milieu matériel à l'aide d'un oscillateur harmonique forcé pour rendre compte de la dispersion et de l'absorption des matériaux, soumis à un faisceau lumineux. Donc ce modèle était un modèle linéaire, qui est correct dès lors que la puissance du faisceau lumineux utilisé est suffisamment faible, mais dès qu'on a inventé les lasers dans les années 60, on a pu atteindre des forces de champ électrique tellement intenses que ce régime ne pouvait plus tenir. Donc c'est le domaine de l'optique non-linéaire, et c'est l'objet de cette vidéo, de vous faire une très brève introduction à l'optique non-linéaire que nous allons naturellement développer dans la suite des cours. Alors pour vois les limites du modèle linéaire, rappelons donc ce que nous avions vu. Nous avons vu que la polarisation P de t pouvait s'écrire, était proportionnelle au champ électrique E de t, donc on pouvait l'écrire sous la forme epsilon zéro khi E de t. Donc ça, ça venait simplement du fait qu'on avait un oscillateur harmonique forcé, et donc que l'élongation était proportionnelle au champ électrique. Donc ça correspond à l'animation qu'on voit ici. Maintenant voyons ce qui se passe si on augmente la force du champ électrique. Si j'augmente la force du champ électrique appliqué, comme l'élongation est proportionnelle au champ électrique, évidemment je vais augmenter l'élongation de ma vibration diatomique, et vous voyez bien que, à un certain stade, je vais arriver à un résultat qui est totalement absurde, c'est-à-dire que les deux atomes ici vont arriver au contact quant ils sont comprimés à un point tel que l'élongation, qui est négative, est plus importante que la longueur à l'équilibre de la liaison chimique. Donc on a ici quelque chose qui est absurde, qui nous montre que ce n'est pas comme ça que ça pourra se passer en réalité. En réalité on va avoir une réponse qui sera non pas celle d'un oscillateur harmonique, nais celle d'un oscillateur anharmonique, c'est-à-dire que la polarisation en fonction du champ électrique ne va plus suivre une courbe linéaire mais une courbe non-linéaire qui est représentée ici. Donc maintenant vous voyez que l'élongation du ressort à un comportement qui est beaucoup plus physique, on n'aura jamais évidemment les deux atomes au contact, quand les deux atomes s'approchent, eh bien, on va avoir des forces beaucoup plus importantes qui s'exercent, et c'est ces forces qui sont responsables d'un potentiel qui va s’écarter très sensiblement du potentiel de l'oscillateur harmonique. Donc voilà quelle sera a priori la réponse du milieu. Alors on pourrait faire un modèle d'oscillateur anharmonique classique, pour rendre compte de ce comportement, que vous auriez d'ailleurs également avec un ressort. On pourrait également faire un modèle quantique qui montrerait effectivement que, pour des valeurs suffisantes du champ électrique, on a une réponse non-linéaire du système, mais pour toute la suite, ce qui va simplement nous servir, c'est que cette polarisation aura une variation non-linéaire avec le champ électrique appliqué comme représenté ici. Alors une conséquence de cette variation non-linéaire de la polarisation avec le champ électrique, c'est que si on soumet le système à un champ sinusoïdal, vous voyez que la polarisation ne va pas être exactement sinusoïdale. Ici par exemple on voit que pour des valeurs négatives du champ électrique, quand la polarisation sera moins importante, eh bien on va avoir un signal qui va être asymétrique. La molécule sera plus facile à polariser dans un sens, que dans l'autre. Donc si on soumet le système à un champ sinusoïdal, une fonction, en cosinus oméga t, comme ici représenté ici en bleu, eh bien on sait que la polarisation elle, ne sera pas sinusoïdale. C'est la fonction qui est représentée en rouge ici, qui va être une fonction, une fonction non-linéaire, du champ électrique appliqué. Alors ce qu'on peut montrer, c'est que cette fonction non-linéaire peut s'écrire sous la forme d'une somme de fonctions sinusoïdales en cosinus n oméga t, où n ici est un nombre entier. Donc vous aurez, pour une excitation en cosinus oméga t, vous aurez une réponse en cosinus oméga t bien sûr, mais aussi en cosinus deux oméga t, trois oméga t, et cetera. Donc toutes ces fonctions sont évidemment des fonctions périodiques, comme la fonction P de t, et ce qu'on peut montrer, ce qu'on va voir en fait en détail la semaine prochaine, quand on verra la transformée de Fourier, c'est que notre polarisation peut s'exprimer uniquement sous la forme de cette série en fonction de cosinus n oméga t. Donc ça, on peut s'en rendre compte tout de suite, en essayant de reproduire cette polarisation ici en rouge à l'aide de fonctions sinusoïdales. Donc si je commence par la fonction sinusoïdale qui a la même fréquence que le champ excitateur, vous voyez évidemment que ça va pas suffire. La polarisation ici est toujours supérieure parce que on a vu qu'on avait une molécule qui était plus facile à polariser dans une direction que dans l'autre, donc j'ajoute un terme qui va correspondre à n égal à zéro, donc qui est une constante simplement ajoutée à ma polarisation. Donc voyez qu'on s'est un petit peu approché de la courbe cible en rouge, mais il reste un écart. Si on regarde l'écart entre la fonction qu'on a obtenue et celle qu'on veut obtenir, vous voyez que cet écart va être ici positif, négatif, positif, négatif, donc en d'autres termes que dans une période de la fonction P de t, l'écart entre les deux fonctions va osciller deux fois, et donc c'est bien un terme en deux oméga, qui va nous manquer pour rendre compte du signal. Donc c'est ce que je fais ici, je vais ajouter une fonction en deux oméga d'amplitude variable, et vous voyez que j'arrive effectivement assez bien à reproduire la polarisation. Et avec un terme en trois oméga, je vais probablement pouvoir réussir en ajustant à nouveau tous les coefficients, voyez que j'arrive à voir un résultat qui est très proche de la fonction P de t. Donc en effet, notre fonction P de t, qui est une sinusoïde distordue, pourra s'écrire comme une somme de sinusoïde de différentes fréquences, et donc on voit que la polarisation va contenir finalement non seulement la fréquence fondamentale oméga, mais également des harmoniques de la fréquence fondamentale, on aura du deux oméga, du trois oméga, et ainsi de suite. Alors comme on l'avait vu dans la vidéo précédente, quand on a une polarisation qui oscille au cours du temps, eh bien on va avoir un champ rayonné, celui qui est représenté ici, selon l'expression mathématique qui a été donnée ici, le champ rayonné, on a vu qu'il était proportionnel à la dérivée de la polarisation par rapport au temps. Et donc quand on regarde ce qui va se passer dans l'échantillon, on a donc cette polarisation non-linéaire qui est représentée ici en rouge, qui va être une sinusoïde assez fortement distordue, et dans cette polarisation, il y aura, donc comme on vient de le voir, un terme en oméga, qui va évidemment rayonner une onde à la fréquence oméga, mais il y aura une composante à deux oméga. Et cette composante à deux oméga, qui est celle à laquelle je m'intéresse maintenant, va nous rayonner comme vous le voyez ici, un champ à la fréquence deux oméga. Donc la croissance du champ dans l'échantillon va se faire exactement de la même manière que pour le champ rayonné à la fréquence fondamentale, donc ce sera toujours proportionnel à z, et en sortie de l'échantillon, eh bien on va avoir une onde émise à la fréquence deux oméga, comme vous pouvez le voir ici sur l'animation, cette onde a une fréquence qui est deux fois plus grande, ou en d'autres termes une longueur d'inde deux fois plus petite que la longueur d'inde incidente. Donc par exemple si on excite le matériau avec du 800 nanomètres, eh bien on va avoir en sortie du 400 nanomètres, ce qui correspond à l'expérience du doublage de fréquence, dont nous avions déjà parlé. Alors on pourra également avoir du trois oméga dans la polarisation, et donc on pourra éventuellement rayonner un faisceau lumineux à la troisième harmonique et ainsi de suite. Donc voyez tout de suite qu'une des conséquences de ce régime non-linéaire, ça va être que le matériau, au lieu d'émettre un rayonnement toujours à la même fréquence que la fréquence incidente, eh bien on va avoir production de nouvelles fréquences, de nouvelles longueurs d'onde, et ce sera évidemment ce qui fait tout l'intérêt de l'optique non-linéaire.
