Nous allons maintenant nous intéresser à la génération de troisième harmonique. De la même manière que la susceptibilité non-linéaire du second ordre d'un matériau donne naissance à un processus de génération de seconde harmonique, il est bien naturel d'imaginer que la susceptibilité non-linéaire du troisième ordre va donner lieu à un processus de génération de troisième harmonique, et donc c'est l'effet qui va faire l'objet de cette vidéo et de la suivante, donc un effet qu'on avait laissé de côté jusqu'à maintenant et qui va être le strict analogue de ce qu'on a pour la génération de seconde harmonie. Alors dans cette première vidéo sur la génération de troisième harmonique, nous allons nous intéresser au cas d'une onde plane, c'est-à-dire qu'on va faire l'hypothèse que le faisceau se propageant dans le milieu non-linéaire est une onde plane, et on va voir dans ces conditions qu'elle est la forme du faisceau de troisième harmonique produit par le matériau. Alors donc on va faire exactement comme ce qu'on avait vu pour la génération de seconde harmonique, on a un faisceau à la fréquence fondamentale qu'on va supposer monochromatique et donc comme je l'ai dit se propageant sous la forme d'une onde plane, donc on n'aura pas de dépendance transverse du faisceau donc juste un champ monochromatique, qui sera décrit donc par l'amplitude complexe E un de z qui sera le produit de l'enveloppe A un de z par exponentiel i k un z. Donc on a ce faisceau qui se propage dans le matériau, qui possède une réponse non-linéaire du troisième ordre, et on va s'intéresser au champ produit à la troisième harmonique donc on va l'appeler E trois donc à une fréquence oméga trois évidemment égale à trois fois la fréquence du fondamental oméga un. Et ce qu'on va faire c'est que on va supposer, comme on l'avait fait dans le cas de la seconde harmonique, on va supposer ici que on est en régime de faible conversion, et donc que l'efficacité du processus est très faible, ce qui signifie qu'on aura très peu d'atténuation du faisceau fondamental en raison de la génération de troisième harmonique et comme en plus on va considérer qu'on a affaire à un milieu transparent, finalement on va pouvoir considérer que le faisceau fondamental se propage ici sans atténuation dans le matériau. En d'autres termes, on va pouvoir considérer que l'enveloppe, ici A un de z, est indépendante de la coordonnée longitudinale z. On va donc ensuite s'intéresser au champ de troisième harmonique qu'on va appeler E trois de z, qui sera le produit d'une enveloppe, A trois de z, qui elle bien sûr va dépendre de z fois exponentiel i k trois z, la porteuse spatiale pour le faisceau qui se propage avec le vecteur donc de k trois associé à la troisième harmonique, et on va évidemment supposer que initialement, on n'a pas de troisième harmonique, c'est-à-dire que A trois en z égal à zéro est égal à zéro. Ensuite on va procéder exactement comme ce qu'on avait pour la génération de seconde harmonique, c'est-à-dire qu'on va considérer la polarisation non-linéaire du troisième ordre. Comme on est en régime de faible conversion, on va négliger évidemment la polarisation linéaire résultant du champ à la troisième harmonique et donc on va simplement écrire que la polarisation du troisième ordre, c'est epsilon zéro khi trois multiplié par le champ fondamental, le champ réel élevé à la puissance trois. Donc E rond un plus E rond un étoile, divisé par deux au cube. Donc ça on avait déjà vu à l'introduction du cours de la semaine dernière. On va développer ce terme, donc je vais avoir le un demi au cube ici me donne un huit au dénominateur epsilon zéro khi trois divisé par huit, et puis c'est tous ces termes-là, donc, j'aurai, qui font intervenir, qui sont finalement proportionnels à E un ou à son complexe conjugué qu'on a déjà abondamment discuté lors du cours de la semaine dernière et lors du début du cours de cette semaine, c'est ce qui donne naissance à l'effet Kerr optique, à l'absorption à l'euphoton, à la saturation d'absorption mais ce qui va nous intéresser aujourd'hui, c'est les termes qu'on avait laissés de côté jusque là, c'est-à-dire le champ E un au cube et son complexe conjugué ; c'est ça qui va donner naissance à ce qu'on appelle la génération de troisième harmonique, ou en anglais third harmonic generation, et donc c'est à ce terme-là qu'on va s'intéresser dans cette vidéo. Alors si maintenant, donc ça veut dire que je vais laisser de côté complètement ces termes-là, c'est pas eux qui vont m'intéresser et c'est certainement pas eux qui vont donner naissance à un champ oscillant à la fréquence oméga trois. Donc maintenant j'identifie cette polarisation réelle à la somme de la polarisation complexe de son complexe conjugué divisé par deux- la polarisation réelle c'est la partie réelle de la polarisation complète et donc si je m'intéresse au terme qui va être responsable de la troisième harmonique, je vais pouvoir identifier p trois avec le terme qu'on a ici, E un au cube fois ce pré-facteur. Simplement, comme j'ai ici un facteur deux et ici un facteur huit, il va me rester finalement un quatre au dénominateur, donc j'aurai epsilon zéro khi trois divisé par quatre, multiplié par E un au cube ; ce sera ça, le terme de génération de troisième harmonique. Donc vous voyez qu'on procède exactement de la même manière que ce qu'on avait fait pour la seconde harmonique, il y a juste un facteur deux ici d'écart, et puis évidemment ici c'est pas E un au carré qu'on considère, mais c'est E un au cube, mais autrement c'est la même chose que ce qu'on avait vu pour la génération de seconde harmonique. Si maintenant je remplace le champ par, le champ E un par son expression, j'aurai évidemment un au cube fois exponentiel trois i k un z, et ce sera donc ça le terme source qui va intervenir dans l'équation de propagation, celle qu'on a déjà utilisé de nombreuses fois donc dans le cas d'une onde plane monochromatique à trois prenant naissance dans le matériau, et bien on avait cette équation de propagation ici qui est une équation de propagation du premier ordre donc qui relie d A trois sur d z à un terme source faisant intervenir la polarisation non-linéaire du troisième ordre qu'on vient de calculer juste au-dessus. Donc il suffit de remplacer, et on obtient finalement ce terme source donc avec évidemment A un au cube, et puis ici un terme de phase, qui s'écrit exponentiel moins i k trois moins trois k un z ; là encore c'est analogue à ce qu'on avait vu pour la génération de seconde harmonique k trois, donc c'est le vecteur d'onde de la troisième harmonique, qui va s'écrire n trois, l'indice de réfraction à la fréquence oméga trois multiplié par oméga trois divisé par c et puis, le terme qui est là, c'est trois fois le vecteur d'onde du fondamental trois fois puisqu'on a élevé le champ fondamental évidemment à la puissance trois, donc j'aurai trois k un qui vaut trois fois n un oméga un sur c ou encore n un fois trois oméga un divisé par c, trois oméga un évidemment étant égal à oméga trois. Donc on retrouve un facteur, enfin, un terme, qu'on va appeler delta k donc qui est ce terme-là ici en rouge, k trois moins trois k un si on fait la différence et bien à nouveau on fait apparaître la différence des indices de réfraction n trois moins n un multiplié par oméga trois sur c. Donc on va avoir exactement finalement la même équation que pour la génération de seconde harmonique avec quelques ajustements ici le facteur huit, ici évidemment le champ élevé à la puissance trois, et puis un delta k qui fait intervenir la différence des indices mais non pas entre le fondamental et la fréquence double, mais évidemment entre le fondamental et la fréquence triple. Alors, donc on a, finalement, une analogie parfaite entre ce processus de troisième harmonique qu'on vient de voir et le processus de génération de seconde harmonique qu'on avait vu il y a quelques semaines. L'équation de propagation est exactement la même, simplement en remplaçant A un au carré par A un au cube, en remplaçant khi deux par khi trois, donc évidemment la solution de l'équation de propagation, toujours évidemment en régime de faible conversion sera exactement similaire, donc je ne vais pas refaire le calcul ; vous avez ici les résultats à gauche qu'on avait établis dans le cas de la génération de seconde harmonique, et puis ici, les expressions correspondantes dans le cas de la génération de troisième harmonique. Comme pour la génération de seconde harmonique il faut distinguer deux cas, soit le cas où on a accord de phase, donc qui correspond ici à cette ligne-là, le cas où delta k est égal à zéro donc dans ce cas-là, on a une amplitude qui va croître de manière proportionnelle à la longueur de l'échantillon, grand L, et puis le cas où delta k est différent de zéro, il y a un désaccord de phase, et dans ce cas-là on aura un sinus delta k L sur deux. Donc vous voyez que c'est exactement la même physique que pour la génération de seconde harmonique. Et donc finalement, ce qui va changer c'est simplement qu'on a ici un terme qui va être en A un au cube donc un champ qui va être proportionnel au cube du champ fondamental et donc une intensité produite qui va être proportionnelle au cube de l'intensité incidente alors qu'évidemment on avait une intensité proportionnelle au carré de l'intensité incidente dans le cas de la génération de seconde harmonique. Donc on vient de voir que la réponse non-linéaire du troisième ordre d'un milieu nous permettait de produire un faisceau à la troisième harmonique, on a les mêmes problématiques d'accord de phase que ce qu'on avait avec le doublage de fréquence néanmoins en pratique si on veut effectivement, à partir d'une source à la fréquence oméga, produire un faisceau à la fréquence trois oméga le plus souvent, on ne va pas utiliser ce processus de génération de troisième harmonique en khi trois mais on va utiliser une cascade de deux effets non-linéaires du second ordre. Vous avec déjà vu en TD qu'au niveau microscopique une cascade de deux effets non-linéaires du second ordre pouvait être équivalent à un effet non-linéaire du troisième ordre ; vous avez vu comment ces deux effets en khi deux pouvaient donner lieu à un khi trois effectif et un effet Kerr effectif, de la même manière on pourra faire du triplage de fréquence en faisant deux effets non-linéaires du second ordre successifs et en fait on va les faire non pas au niveau microscopique, mais dans deux échantillons successifs qui pourront ainsi être optimisés pour avoir un doublage de fréquence, enfin, un effet non-linéaire de second ordre efficace dans chacun de ces deux cristaux. Donc en pratique si on veut tripler la fréquence d'un faisceau fondamental, et bien, on va procéder de la manière suivante : on va pendre donc ce faisceau fondamental que je suppose ici polarisé horizontalement, et on va commencer par faire du doublage de fréquence, donc un processus non-linéaire d'ordre deux, dans un cristal non-linéaire qui aura été optimisé pour cela et on fera du doublage de fréquence en accord de phase de type un. Donc comme vous savez, dans ce cas-là, on va avoir, on va faire en fait, oméga plus oméga sur la polarisation horizontale et on va produire un faisceau sur la polarisation verticale par doublage de fréquence, en avant ; ça va être une polarisation différente de la polarisation incidente parce qu'on a besoin de la biréfringence dans le cristal pour assurer la condition d'accord de phase. Donc en sortie de ce cristal, et bien on va avoir un faisceau fondamental, le résiduel du fondamental qui pourra, si les conditions sont bien choisies, rester assez important, on pourra par exemple s'arranger pour qu'on ait un taux de conversion de l'ordre de 30 à 50 % donc on aura un peu moins de la moitié de l'énergie dans le faisceau ici polarisé verticalement à la fréquence deux oméga, et puis on aura un peu plus de la moitié de l'énergie qui va rester dans le faisceau fondamental. Et ensuite, ce qu'on va faire évidemment, c'est, partant de ces deux fréquences a oméga et a deux oméga, on va faire l'addition de fréquences dans un deuxième cristal non-linéaire, qui lui va être optimisé pour avoir des conditions d'accord de phase en somme de fréquence, on a vu que c'était possible lorsqu'on avait étudié les effets non-linéaires d'ordre deux, et donc on va faire du oméga plus du deux oméga, qui va nous donner du trois oméga donc toujours sur la polarisation verticale, donc par un processus de somme de fréquence, avec un accord de phase de type deux. Donc en pratique, c'est comme ça qu'on procédera si on veut avoir un faisceau intense à la fréquence triple du fondamental et pas en utilisant une réponse non-linéaire du matériau d'ordre trois au niveau microscopique ; ce sera une cascade de deux effets non-linéaires d'ordre deux, dans deux échantillons successifs.
