Bien alors pour l'instant on s'est intéressé à au module de E de oméga mais en réalité évidemment E de oméga sera une fonction complexe, à la différence de E de t qui correspond au signal que je numérise avec le microphone. E de oméga sera a priori une fonction complexe, sauf si E de t était évidemment une fonction paire, d'après ce qu'on vient de voir. Et donc de manière générale il faudra s'intéresser non seulement au module mais aussi à la phase. Alors pour illustrer je vais jouer avec cette flûte à bec une séquence de deux notes et on va voir ce qu'on peut dire du module et de la phase. Voilà donc j'ai joué ici deux notes, un si et un do. Ces deux notes, vous pouvez le voir ici sur l'oscilloscope ici sont espacées d'environ 200 millisecondes. Et vous avez ici donc le spectre, le module de E de oméga J'observe deux pics. Un pic qui correspond, qui est à plus basse fréquence, autour de un kilohertz, qui va correspondre au si, et un pic à plus haute fréquence, qui est en fait un demi ton, à peu près un demi ton plus haut, qui va correspondre au do. Donc maintenant, ça c'est pas très surprenant, je vois d'après ce spectre que j'ai joué un si et un do. Mais évidemment je ne peux pas savoir si j'ai joué un si et un do ou un do et un si. Donc pour m'en rendre compte je vais jouer précisément jouer un do et un si. Voilà . Donc on a un spectre qui est finalement assez similaire. Alors c'est pas exactement le même parce que c'est vrai qu'avec une flûte à bec c'est pas toujours facile de jouer exactement les mêmes notes, de jouer toujours bien juste, je ne suis pas un spécialiste. Donc vous voyez que mon do ici est un peu plus grave que le précédent. Mais enfin j'ai la même allure générale. Deux pics, un qui correspond au si et un qui correspond au do. Et vous voyez que dans le module de E de oméga qui est représenté ici, et bien je ne peux pas savoir dans quel ordre j'ai joué les deux notes. Donc évidemment cette information va se trouver dans la phase spectrale que je vais représenter maintenant. Et vous voyez qu'effectivement la phase spectrale pour ces deux séquences de note est très différente. Quand j'ai joué si do, la phase correspondant au si, donc dans cette partie-là du spectre, diminuait avec la fréquence alors que la phase correspondant au do augmente avec la fréquence. Quand j'ai joué do si, c'est le contraire. À nouveau c'est la première note, le do dans ce cas, pour lequel la phase est une fonction décroissante de la fréquence. Et le si pour lequel la phase est une fonction croissante de la fréquence. Donc on a le sentiment que la pente de la phase spectrale est reliée à l'instant d'arrivée de la note. Donc l'instant ici sur cet écran auquel va arriver la note correspondante, donc là c'était le do puis le si. Alors pour vérifier ce résultat expérimental, on va d'abord le vérifier de manière numérique. Donc j'ai représenté ici deux fonctions, une fonction gaussienne f de t et puis la fonction associée par transformée de Fourier, f de oméga, qui est aussi une fonction gaussienne, c'est le résultat que vous allez démontrer en exercice. Et comme ces fonctions pourront prendre des valeurs complexes, j'ai utilisé un mode de représentation un petit peu différent. Vous avez ici le module de la fonction. Et cette courbe ici est coloriée avec une couleur qui va dépendre de la phase de la grandeur complexe. Donc vous avez ici le code couleur dans le plan complexe. Donc le turquoise correspond à une phase égale à zéro. Le rouge correspond à une phase égale à pi, donc à un nombre réel négatif. Et puis vous avez toutes les valeurs intermédiaires de la phase dans ce code couleur. Bien ce que je vais faire c'est que je vais prendre cette fonction f de t. Donc au début c'est une fonction réelle et paire, donc sa transformée de Fourier est réelle et paire évidemment. Je vais prendre cette fonction f de t puis je vais la décaler, je vais la décaler dans le temps. Et vous voyez qu'effectivement, quand je la décale dans le temps, la fonction dans l'espace de Fourier avec le oméga prend des valeurs complexes, c'est ce qu'on voit avec ces couleurs. Et puis elle prend une phase spectrale donc qui en fait va linéairement avec la fréquence. Et on voit bien que la pente de cette phase dépend effectivement de l'instant d'arrivée. Donc on retrouve numériquement ce qu'on avait vu expérimentalement, c'est-à -dire que une note, ou un signal, ou une impulsion, qui arrive dans les temps positifs, va être affecté d'une phase croissante avec la fréquence. Et si au contraire elle arrive plus tôt, si elle arrive dans un temps négatif, eh bien on aura une phase qui va décroître avec la fréquence. Donc pour le montrer maintenant mathématiquement il suffit de prendre l'expression, enfin la définition de f de oméga comme transformée de Fourier inverse de f de t. Et si maintenant je suppose que j'ai décalé ma fonction dans les temps négatifs comme c'est le cas ici, eh bien je vais évidemment devoir intégrer non pas f de t mais f de t moins tau, multiplié par exponentielle i oméga t d t. Donc à nouveau on va pouvoir établir le résultat par un changement de variable. C'es-à -dire que je vais poser ici t prime égal à t moins tau. Et donc t va être égal à t prime plus tau. Et je vais retrouver l'intégrale de f de t prime, multiplié par exponentielle i oméga t prime d t prime. Ça c'est par définition f de oméga. Mais il va me rester ici un facteur exponentielle i oméga tau. Donc vous voyez qu'effectivement un décalage temporel d'une quantité tau va correspondre à une phase spectrale en oméga tau c'est-à -dire une phase linéaire avec la fréquence. Donc ça c'est un résultat qui sera très utile, un décalage temporel, ça correspond à une phase linéaire. Bien alors vous vous rappelez que la définition de la transformée de Fourier et la transformée de Fourier inverse sont deux relations qui sont extrêmement symétriques. Il y a juste un changement de signe. Donc on s'attend de la même manière à ce que si je décale ma fonction dans l'espace des fréquences, et bien je vais faire apparaître une phase temporelle. Et même chose, la pente de cette phase temporelle va être liée au décalage que j'effectue dans l'espace des fréquences. Et donc en effet on peut démontrer exactement de la même manière que ce qu'on vient de faire ici que la transformée de Fourier d'une fonction décalée de oméga zéro, eh bien c'est une fonction f de t affectée d'une phase temporelle. Simplement j'ai ici un changement de signe, donc j'aurai exponentiel moins i oméga zéro t, où oméga zéro est la valeur du décalage. Donc ces deux relations seront très utiles dans toute la suite du cours. Bien alors je reviens aux données expérimentales que nous avons mesurées, correspondant à la succession de notes, d'abord un si et un do, et ensuite un do et un si. Maintenant on comprend bien pourquoi la phase a cette allure-là . Cette note était décalée dans le temps vers le passé, avec un décalage proportionnel à cette pente, alors que la deuxième note, le do, est décalée vers les temps positifs et donc on a bien ici une pente positive. Et là c'était le contraire. Donc ce résultat expérimental est tout à fait en conformité avec ce que nous venons de démontrer. Alors ça, ça nous insite à définir une grandeur, qu'on va appeler le retard de groupe, qui est définie ici. Je vais l'appeler tau de oméga. Et cette grandeur, c'est tout simplement la dérivée de la phase par rapport à la fréquence. Donc c'est la pente de cette phase. Donc vous avez cette grandeur pour les données expérimentales que nous avons mesurées. Alors évidemment quand on dérive une grandeur expérimentale, on a souvent beaucoup de bruit. C'est les courbes en grisé que vous avez ici, elles sont très bruitées. Et si je lisse ces courbes, j'obtiens une valeur lissée du retard de groupe. Et vous voyez qu'effectivement pour les fréquences correspondant au si j'ai un retard de groupe qui est négatif, de l'ordre de moins 100 millisecondes. Et pour les fréquences correspondant au do, ici, la deuxième note, j'ai un retard de groupe qui est positif correspondant à plus 100 millisecondes. On retrouve ici le fait que les deux notes étaient décalées temporellement d'environ 200 millisecondes. Et puis quand j'ai joué les mêmes notes mais dans l'ordre inverse, évidemment le retard de groupe a une forme inversée. J'ai pour les basses fréquences un retard de groupe positif. Ça veut dire que cette note est arrivée en fait en dernier. Et pour les hautes fréquences, un retard de groupe négatif, ce qui signifie que cette note, la première, le do ici, est arrivée en premier.
