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Voilà. Donc on a un
spectre qui est finalement assez similaire.
Alors c'est pas exactement le même parce que c'est vrai qu'avec une flûte à
bec c'est pas toujours facile de jouer exactement les mêmes notes,
de jouer toujours bien juste, je ne suis pas un spécialiste.
Donc vous voyez que mon do ici est un peu plus grave que le précédent.
Mais enfin j'ai la même allure générale.
Deux pics, un qui correspond au si et un qui correspond au do.
Et vous voyez que dans le module de E de oméga qui est représenté ici,
et bien je ne peux pas savoir dans quel ordre j'ai joué les deux notes.
Donc évidemment cette information va se trouver dans la phase spectrale que je
vais représenter maintenant.
Et vous voyez qu'effectivement la phase spectrale pour ces deux séquences de
note est très différente.
Quand j'ai joué si do, la phase correspondant au si,
donc dans cette partie-là du spectre, diminuait avec la fréquence alors que la
phase correspondant au do augmente avec la fréquence.
Quand j'ai joué do si, c'est le contraire.
À nouveau c'est la première note, le do dans ce cas,
pour lequel la phase est une fonction décroissante de la fréquence.
Et le si pour lequel la phase est une fonction croissante de la fréquence.
Donc on a le sentiment que la pente de la phase spectrale est reliée à
l'instant d'arrivée de la note.
Donc l'instant ici sur cet écran auquel va arriver la note correspondante,
donc là c'était le do puis le si.
Alors pour vérifier ce résultat expérimental,
on va d'abord le vérifier de manière numérique.
Donc j'ai représenté ici deux fonctions, une fonction gaussienne f de t et puis la
fonction associée par transformée de Fourier, f de oméga, qui est aussi une
fonction gaussienne, c'est le résultat que vous allez démontrer en exercice.
Et comme ces fonctions pourront prendre des valeurs complexes,
j'ai utilisé un mode de représentation un petit peu différent.
Vous avez ici le module de la fonction.
Et cette courbe ici est coloriée avec une couleur qui va
dépendre de la phase de la grandeur complexe.
Donc vous avez ici le code couleur dans le plan complexe.
Donc le turquoise correspond à une phase égale à zéro.
Le rouge correspond à une phase égale à pi, donc à un nombre réel négatif.
Et puis vous avez toutes les valeurs intermédiaires de la phase dans ce
code couleur.
Bien ce que je vais faire c'est que je vais prendre cette fonction f de t.
Donc au début c'est une fonction réelle et paire,
donc sa transformée de Fourier est réelle et paire évidemment.
Je vais prendre cette fonction f de t puis je vais la décaler,
je vais la décaler dans le temps.
Et vous voyez qu'effectivement, quand je la décale dans le temps,
la fonction dans l'espace de Fourier avec le oméga prend des valeurs complexes,
c'est ce qu'on voit avec ces couleurs.
Et puis elle prend une phase spectrale donc qui en fait va
linéairement avec la fréquence.
Et on voit bien que la pente de cette phase dépend effectivement de
l'instant d'arrivée.
Donc on retrouve numériquement ce qu'on avait vu expérimentalement,
c'est-à-dire que une note, ou un signal, ou une impulsion, qui arrive dans les
temps positifs, va être affecté d'une phase croissante avec la fréquence.
Et si au contraire elle arrive plus tôt, si elle arrive dans un temps négatif,
eh bien on aura une phase qui va décroître avec la fréquence.
Donc pour le montrer maintenant mathématiquement il suffit de
prendre l'expression,
enfin la définition de f de oméga comme transformée de Fourier inverse de f de t.
Et si maintenant je suppose que j'ai décalé ma fonction dans les temps
négatifs comme c'est le cas ici, eh bien je vais évidemment devoir intégrer non pas
f de t mais f de t moins tau, multiplié par exponentielle i oméga t d t.
Donc à nouveau on va pouvoir établir le résultat par un changement de variable.
C'es-à-dire que je vais poser ici t prime égal à t moins tau.
Et donc t va être égal à t prime plus tau.
Et je vais retrouver l'intégrale de f de t prime,
multiplié par exponentielle i oméga t prime d t prime.
Ça c'est par définition f de oméga.
Mais il va me rester ici un facteur exponentielle i oméga tau.
Donc vous voyez qu'effectivement un décalage temporel
d'une quantité tau va correspondre à une
phase spectrale en oméga tau c'est-à-dire une phase linéaire avec la fréquence.
Donc ça c'est un résultat qui sera très utile,
un décalage temporel, ça correspond à une phase linéaire.
Bien alors vous vous rappelez que la définition de la transformée de Fourier et
la transformée de Fourier inverse sont deux relations qui
sont extrêmement symétriques.
Il y a juste un changement de signe.
Donc on s'attend de la même manière à ce que si je décale ma fonction dans
l'espace des fréquences, et bien je vais faire apparaître une phase temporelle.
Et même chose, la pente de cette phase temporelle va être liée au
décalage que j'effectue dans l'espace des fréquences.
Et donc en effet on peut démontrer exactement de la même manière que ce qu'on
vient de faire ici que la transformée de Fourier d'une fonction décalée de
oméga zéro, eh bien c'est une fonction f de t affectée d'une phase temporelle.
Simplement j'ai ici un changement de signe, donc j'aurai exponentiel moins i
oméga zéro t, où oméga zéro est la valeur du décalage.
Donc ces deux relations seront très utiles dans toute la suite du cours.
Bien alors je reviens aux données expérimentales que nous avons mesurées,
correspondant à la succession de notes, d'abord un si et un do,
et ensuite un do et un si.
Maintenant on comprend bien pourquoi la phase a cette allure-là.
Cette note était décalée dans le temps vers le passé,
avec un décalage proportionnel à cette pente, alors que la deuxième note, le do,
est décalée vers les temps positifs et donc on a bien ici une pente positive.
Et là c'était le contraire.
Donc ce résultat expérimental est tout à fait en conformité avec ce
que nous venons de démontrer.
Alors ça, ça nous insite à définir une grandeur,
qu'on va appeler le retard de groupe, qui est définie ici.
Je vais l'appeler tau de oméga.
Et cette grandeur,
c'est tout simplement la dérivée de la phase par rapport à la fréquence.
Donc c'est la pente de cette phase.
Donc vous avez cette grandeur pour les données expérimentales que
nous avons mesurées.
Alors évidemment quand on dérive une grandeur expérimentale,
on a souvent beaucoup de bruit.
C'est les courbes en grisé que vous avez ici, elles sont très bruitées.
Et si je lisse ces courbes, j'obtiens une valeur lissée du retard de groupe.
Et vous voyez qu'effectivement pour les fréquences correspondant au si j'ai un
retard de groupe qui est négatif, de l'ordre de moins 100 millisecondes.
Et pour les fréquences correspondant au do, ici, la deuxième note,
j'ai un retard de groupe qui est positif correspondant à plus 100 millisecondes.
On retrouve ici le fait que les deux notes étaient décalées temporellement d'environ
200 millisecondes.
Et puis quand j'ai joué les mêmes notes mais dans l'ordre inverse,
évidemment le retard de groupe a une forme inversée.
J'ai pour les basses fréquences un retard de groupe positif.
Ça veut dire que cette note est arrivée en fait en dernier.
Et pour les hautes fréquences, un retard de groupe négatif, ce
qui signifie que cette note, la première, le do ici, est arrivée en premier.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
