On obtient donc cet ensemble de trois équations différentielles non linéaires couplées, elles ont un peu compliquées parce qu'on a beaucoup de pré-facteurs ici, donc on va utiliser les variables réduites, que j'avais introduites tout à l'heure, c'est à dire les alfa l avec ce facteur racine carrée de tous ces termes ici multiplié par l'enveloppe A l de l'onde. Et puis on va voir comment ce système de trois équations est modifié quand on l'écrit à l'aide des variables réduites. Je vais par exemple considérer l'équation d'évolution de alfa trois à nouveau. Donc en commençant par le processus de somme de fréquences. Donc j'aurai d alfa trois sur d z, qui sera égal à, je dois multiplier par ce pré-facteur, donc racine carré de n trois, c, epsilon zéro, divisé par deux h barre oméga trois. Ensuite je dois écrire la dérivé de a trois par rapport à z, que j'ai ici. Donc je reproduis d'abord le pré-facteur : i, oméga trois khi deux, divisé par deux n trois, c. Et puis enfin le produit des deux champs a un et a deux. Sauf que comme j'ai exprimé cela par des variables réduites, je vais devoir diviser par ce pré-facteur ici, et donc multiplier par racine carrée de deux h barre, oméga un divisé par n un, c, epsilon zéro et puis même chose pour l'onde deux, j'aurai racine carrée de deux h barre oméga deux divisé par n deux, c epsilon zéro. Donc ça c'était les pré-facteurs. Donc j'aurai maintenant alfa un, alfa deux, qui vont apparaître et puis naturellement le facteur exponentielle moins i, delta k z qui ne va pas changer. Voilà l'équation à laquelle on aboutit : elle a l'air un petit peu compliquée mais en fait on va pouvoir effectuer beaucoup de simplifications par exemple ici je vais pouvoir simplifier les facteurs epsilon zéro, ensuite, j'aurai ici deux fois deux qui me donnent quatre, et racine de quatre ça fait deux, donc ça se simplifie avec ce terme-là et puis j'ai ici un facteur h barre qui va se simplifier par exemple avec celui-ci, et je pense que c'est à peu près tout ce que l'on peut simplifier directement. Et maintenant on va essayer de regrouper ces termes de manière pertinente. Donc on a déjà ici un pré-facteur i qui va se mettre en facteur. On aura toujours le fait que l'onde engendrée sera en quadrature par rapport au terme source. Donc j'aurai ce pré- facteur, et puis vous voyez que je vais avoir une grande racine carrée que je vais écrire ici. Et je vais mettre dans cette racine carrée les différents termes qui vont intervenir. Donc si je regarde au numérateur, je vais avoir les fréquences qui vont intervenir. Si je regarde par exemple oméga un, oméga un dans toute cette expression n'intervient que ici, et, même chose, oméga deux n'intervient que là, donc j'aurai : oméga un oméga deux. Ensuite oméga trois intervient ici au numérateur, mais il est en dehors de la racine carré, donc c'est oméga trois au carré divisé par oméga trois, ça me donne un facteur oméga trois. Et puis, toujours au numérateur, j'ai ici un h barre qui reste, que je vais mettre devant donc voilà j'ai : h barre oméga un, oméga deux, oméga trois. Ensuite, au dénominateur, j'ai un seul facteur numérique ici, le facteur deux, que je mets devant. Ensuite les indices de réfractions : j'ai n un, qui intervient une fois, n deux, qui intervient une fois, donc j'aurai : n un, n deux. Et puis l'indice trois, il intervient une fois, au carré, au dénominateur et une fois au numérateur, donc finalement il me reste un indice n trois au dénominateur. Et puis enfin la vitesse de la lumière, donc j'ai ici ce terme-là que je peux simplifier avec celui-là, par exemple, et puis il me reste finalement la vitesse de la lumière au carré, ici, multiplié par la vitesse de la lumière ici, donc j'ai la vitesse de la lumière à la puissance trois. Il me reste un facteur epsilon zéro, et j'aurai évidemment khi deux, en facteur. Et puis, alfa un alfa deux, exponentielle moins i, delta k z. Voilà, c'était un peu fastidieux, mais on arrive finalement à une expression qui est très symétrique. Si je regarde le terme ici vous voyez que vous avez : oméga un sur n un, oméga deux sur n deux, oméga trois sur n trois, et donc que dans ce pré facteur et bien les trois ondes jouent exactement le même rôle. Donc ce pré-facteur je vais l'appeler ksi, et je pense que vous me ferez confiance si je vous dit que, en calculant la dérivée de alfa un par rapport à z, ou la dérivée de alfa deux par rapport à z, on aboutira exactement à la même équation, simplement il faudra remplacer ici par les termes qu'on a là. Donc cela nous permet d'écrire ces trois équations donc un système de trois équations non linéaires couplées avec la définition de ksi qu'on a vue ici. Alors ces trois équations, elles vont nous permettre d'établir les relations de conservation dont je parlais tout à l'heure, ce qu'on appelle les relations de Manley-Rowe, et pour cela on va considérer le flux de photons, dont je vous rappelle, le flux de photons phi l, qu'il était égal à alfa l au carré, donc on peut évidemment encore écrire alfa l étoile multiplié par alfa l. Je vais calculer la dérivé du flux par rapport à z. Donc je vais commencer par alfa un, si je calcule alfa un étoile, multiplié par d alfa un sur d z, il suffit de multiplier l'équation qui est juste au-dessus par alfa un étoile, donc j'aurai : i, ksi, alfa trois, alfa deux étoile, et puis je multiplie par alfa un étoile, donc j'aurai alfa un étoile. Multiplié par exponentielle i, delta k z. Maintenant ce que l'on peut remarquer c'est que si je calculais alfa deux étoile, d alfa deux sur d z, et bien, j'aurai exactement la même chose ; puisqu'il faudrait multiplier ça par alfa deux étoile et j'obtiendrai à nouveau : i, ksi, alfa trois, alfa un étoile, alfa deux étoile, c'est exactement ce que l'on a là multiplié par exponentielle i, delta k z. Donc ça, c'est égal à alfa deux étoile multiplié par d alfa deux sur d z. Donc à nouveau on voit que les ondes un et deux jouent le même rôle dans ce processus de mélange à trois ondes. Et puis si je calcule maintenant alfa trois étoile, d alfa trois sur d z, et bien je vais trouver, en utilisant l'équation qui est juste au-dessus, je vais trouver que c'est é gal à : i, ksi, alfa trois étoile, multiplié par alfa un alfa deux, exponentielle moins i, delta k z. Et ce terme c'est le complexe conjugué de celui qu'on a ici. Alors pas tout à fait, il y a le i, ici, dont on n'a pas pris le conjugué, donc je vais l'écrire sous la forme : moins i, en mettant un signe moins devant. Donc, si je prends le terme qui est ici, c'est exactement le complexe conjugué de celui qu'on a là. Il y a juste un signe moins devant. On va maintenant calculer la dérivée de phi un par rapport, enfin la dérivée de phi l, on va le faire de manière générale, la dérivée de phi l par rapport à z, la dérivée de phi l par rapport à z, compte tenu de la définition de phi l, ce sera égal à : alfa l étoile, multiplié par d alfa l sur d z, donc ça c'est quand je dérive le membre de droite du produit, et quand je dérive le membre de gauche j'aurai plus d alfa l étoile, sur d z, multiplié par alfa l. Donc ça c'est la somme d'un nombre complexe et de son complexe conjugué, donc c'est égal à deux fois la partie réelle de alfa l étoile, d alfa l sur d z. Qui correspond précisément au terme que l'on avait calculé à la ligne du dessus. Cela nous permet d'affirmer que d phi un sur d z, qui est la partie réelle de ce terme-là, sera égal à : d phi deux sur d z. Donc la variation du flux de l'onde un, du flux de photons de l'onde un, sera toujours égal à la variation du flux de photons de l'onde deux. Quant à d phi trois sur d z et bien d phi trois sur d z c'est la partie réelle de ce terme-là. Ce terme-là, c'est le complexe conjugué de alpha un étoile d alpha un sur d z, donc il a évidemment la même partie réelle, il y a juste le signe moins ici qui nous permet de dire que d phi trois sur d z serait égal à moins d phi un sur d z. En d'autres termes, ici, que d phi un sur d z est égal à moins d phi trois sur d z. Donc c'est l'égalité entre ces trois termes, les variations des flux de photons pour l'onde un, l'onde deux et l'onde trois, qu'on appelle les relations de Manley-Rowe. On va maintenant interpréter ces relations de Manley-Rowe en termes de photons. Je vous rappelle que les grandeurs phi un, phi deux, phi trois représentent les flux de photons. Déjà, avant cela, ce qu'on peut remarquer, c'est que l'égalité entre d phi un sur d z et d phi deux sur d z nous dit que phi deux moins phi un est une constante, c'est-à-dire que la différence du flux de photon entre l'onde un et l'onde deux va toujours rester constante, à chaque fois que vous créez un photon sur l'onde un, vous allez créer un photon sur l'onde deux, et même chose si vous détruisez un photon sur l'onde un, vous détruirez un photon sur l'onde deux. Ça, c'est une conséquence immédiate de cette relation-là. Par ailleurs, si on considère le vecteur de poynting total, je vous rappelle que h barre oméga phi c'était le vecteur de poynting associé à l'onde, donc ça c'est la somme des trois vecteurs de poynting de mon onde, ce qu'on peut montrer c'est que ce vecteur de poynting total est constant, en effet si je le dérive par rapport à z je vais avoir h barre oméga un multiplié par d phi un sur d z plus h barre oméga deux multiplié par d phi deux sur d z, mais d phi deux sur d z c'est la même chose que d phi un sur d z, donc j'aurai ici à nouveau d phi un sur d z et puis plus h barre oméga trois d phi trois sur d z, mais ça c'est égal à moins h barre oméga trois, d phi un sur d z. Si je mets d phi un sur d z, j'obtiens simplement h barre oméga un plus oméga deux moins oméga trois, qui par définition est égal à zéro. On vérifie que le vecteur de poynting total reste constant, ce qui est bien normal, on a un milieu qui est transparent. La non-linéarité optique du milieu sert simplement de catalyseur pour déclencher un transfert d'énergie entre une onde et les deux autres ondes, mais il n'y a pas d'énergie qui sera déposée dans le milieu, donc ça c'est un point très important, et qui sera toujours vrai dans un milieu non-linéaire transparent. Maintenant on va pouvoir comme je le disais interpréter ça en termes de photons et par exemple si on considère le processus d'addition de fréquences, où on a deux ondes oméga un et oméga deux qui par addition de fréquence se mélangent pour produire une onde oméga trois, ce qu'on voit par ces relations c'est que si on détruit un photon sur l'onde oméga un, on va également détruire un photon de l'onde oméga deux, pour créer un photon à la fréquence oméga trois. En d'autres termes, vous allez avoir un photon à la fréquence oméga un qui va disparaître, qui va s'ajouter, se fusionner avec un photon à la fréquence oméga deux pour donner un photon à la fréquence oméga trois. Vous avez cette fusion entre deux photons. Puis, deuxième processus, le processus de différence de fréquence, classiquement on aurait pu s'attendre à ce que si on fait un processus de différence de fréquence entre oméga trois et oméga deux, on allait atténuer chacune de ces deux ondes pour pouvoir produire le faisceau à la fréquence différence, mais on voit qu'il n'en est rien, parce que d'après les relations de Manley-Rowe, si on détruit un photon à la fréquence oméga trois, on va créer un photon à la fréquence oméga un mais on va également créer un photon à la fréquence oméga deux, donc il faut plutôt voir les choses de cette manière-là, c'est-à-dire qu'on aura cloné un photon de la fréquence oméga deux pour créer un photon supplémentaire, et on aura un mécanisme de fission de photon, c'est-à-dire que le photon de fréquence oméga trois va disparaître pour créer deux photons : un photon à la fréquence oméga un et un photon à la fréquence oméga deux. En résumé, nous avons vu dans cette vidéo qu'en introduisant une variable réduite, la variable alpha l, dont le carré représente le flux de photon pour l'onde l correspondante, on pouvait établir un système de trois équations différentielles non-linéaires couplées que vous avez ici pour rendre compte du mélange entre les trois ondes considérées. On a ici le facteur ksi, qui est défini là, qui est proportionnel naturellement à la valeur de khi deux et la forme de ces équations est tout à fait naturelle par rapport à ce que vous avez vu précédemment dans le doublage de fréquence, simplement la dernière équation correspond à un processus d'addition de fréquence, vous avez directement le produit alpha un alpha deux, les deux autres correspondent à des processus de différence de fréquence, oméga trois moins oméga un qui me donne oméga deux, et oméga trois moins oméga deux qui me donne oméga un, et puis on a, comme pour le doublage de fréquence, un terme correspondant au désaccord de phase. Ces trois équations me rendent compte de ce problème de mélange à trois ondes qu'on pourra ensuite appliquer avec diverses conditions initiales. Au passage, nous avons établi les relations de Manley-Rowe qui sont très importantes et qui nous ont permis d'interpréter ces relations en termes de photons. On a vu qu'à chaque fois qu'un photon à la fréquence oméga trois était détruit on avait création de deux photons aux fréquences oméga un et oméga deux. Pour l'addition de fréquence, ce n'est pas très surprenant, c'est la fusion de photon, on a un photon oméga un plus un photon oméga deux qui me donne un nouveau photon à la fréquence oméga trois. Pour la différence de fréquence, on a obtenu un résultat très intéressant, c'est-à-dire que quand on fait la différence de fréquence entre un photon de fréquence oméga trois et un photon de fréquence oméga un, comme indiqué ici par exemple, quand on mélange ces deux ondes, on va évidemment créer des photons à la fréquence oméga deux, mais on va également augmenter le nombre de photons à la fréquence oméga un, ce qui va dire qu'on va en fait amplifier l'onde oméga un, ça correspond à un processus d'amplification paramétrique, c'est comme ceci qu'on l'appelle, et ce sera très intéressant pour avoir des sources de rayonnement accordables en mélangeant ainsi le faisceau à amplifier avec un faisceau pompe de fréquence oméga trois.
