Bien on peut maintenant représenter les courbes d'accord de phase toujours en prenant l'exemple du BBO, un cristal uniaxe négatif pour ces deux configurations d'accord de phase de type un et de type deux, donc dans le cas du type un o plus o donne e et dans le cas du type deux o plus e donne e. Donc j'ai reporté ici les conditions d'accord de phase simplement en remplaçant oméga un par un sur lambda un et évidemment en mettant en facteurs les termes deux pi et vitesse de la lumière qui interviennent mais donc on devra réaliser des conditions en type un et réaliser ces conditions en type deux. et ce que vous avez ici sur ce graphe, c'est la valeur de l'angle d'accord de phase théta en fonction de la longueur d'onde. Alors en fonction de la longueur d'onde lambda un dans la partie droite du spectre et lambda deux dans la partie gauche du spectre puisque vous vous rappelez que on, on avait supposé qu'oméga un est plus petit qu'oméga deux plus petit qu'oméga trois, ça veut dire que on aura toujours lambda un plus grand que lambda deux et plus grand que lambda trois. Donc la position de lambda trois est repérée ici par son double, vous avez deux lambda trois ici, évidemment la longueur d'onde de lambda trois sera encore plus petite, elle sera dans la partie gauche du, du spectre et donc il faut comprendre ce graphe en se disant que si j'ai une longueur d'onde de lambda trois donnée, donc j'ai deux lambda trois qui vaut en l'occurrence un virgule six micron, donc dans ce cas là ça correspond à en fait à une longueur d'onde de lambda trois égale à 800 nanomètres, comme on pourrait l'obtenir par exemple avec un laser, en titane saphir et puis je vais, si je veux avoir l'accord de phase pour amplifier un signal qui est à une longueur d'onde de un micron et bien en type un j'aurai ce point-là sur la courbe qui correspond à un angle d'accord de phase légèrement supérieur à, à 20 degrés, donc ça se sera la longueur d'onde de lambda deux et puis j'aurai, sur la même ligne horizontale en ce point-là, le complémentaire dont, dont la longueur d'onde est déterminée par la relation de conservation de l'énergie, c'est à dire oméga un plus oméga deux égale oméga trois ou un sur lambda un plus un sur lambda deux égale un sur lambda trois. et donc j'aurai ici donc la, la, évidemment pour la même valeur théta, je vais amplifier le signal à lambda deux et produire un complémentaire en lambda un. Je pourrais également injecter un faisceau à lambda un, I'amplifier et produire un complémentaire à la longueur d'onde, à la longueur d'onde de lambda deux. Alors déjà ce qu'on peut remarquer c'est qu'il y a une différence fondamentale entre ces deux courbes la courbe en rouge correspond à l'accord de phase de type un et la courbe en bleu à la condition d'accord de phase de type deux. Alors la différence s'explique tout simplement par le fait que en type un les longueurs d'onde de lambda un et lambda deux jouent exactement le même rôle, vous voyez dans cette formule ici on pourrait échanger lambda un et lambda deux l'égalité serait toujours, serait toujours vérifiée. Donc c'est pour ça que vous allez avoir un extremum lorsque lambda un est égal à lambda deux est égal à deux lambda trois et donc vous avez toujours ici une tangente horizontale dans cette, dans cette courbe d'accord de phase. A l'inverse, en type deux et bien les longueurs d'onde de lambda un et lambda deux jouent un rôle, jouent un rôle très différent, et c'est ce qui explique que vous avez ici vous n'avez pas une tangente horizontale et vous avez cette courbe qui, qui, qui augmente avec, avec la longueur d'onde. Alors, cette condition-là, cette courbe d'accord de phase elle vous montre que pour une longueur d'onde de pompe donnée donc en l'occurrence 800 nanomètres, vous allez pouvoir ajuster l'angle du cristal pour, pour amplifier n'importe quel, enfin une large plage de longueurs d'onde dans, dans, ici dans, dans l'infrarouge mais on peut également changer la longueur d'onde de pompe. Si je change la longueur d'onde de pompe et bien ça va modifier ces courbes d'accord de phase hein, mais j'aurais, je pourrais aussi pour différentes valeurs de la longueur d'onde de pompe avoir, réaliser la condition d'accord de phase en choisissant correctement l'angle thêta. Alors j'ai implicitement ici raisonné en termes d'amplificateur paramétrique, de pompe, de signal et de complémentaire, évidemment ces courbes d'accord de phase sont exactement les mêmes si vous voulez faire un, un processus d'addition de, d'addition de fréquence. Bien alors ce qu'on peut remarquer aussi c'est que la forme des courbes varie un petit peu hein, quand je change la longueur d'onde de pompe et voyez qu'ici dans le BBO, il y a, il y a une longueur d'onde pour laquelle voilà celle-ci, pour laquelle la courbe de, la courbe d'accord de phase en type un est remarquablement plate, pour une même valeur de l'angle je vais pouvoir amplifier une bande extrêmement large dans, dans l'infrarouge. Enfin ça pourrait être utile mais voyez qu'il y a une un petit inconvénient, c'est que il faut choisir la bonne longueur d'onde de pompe et donc il va falloir avoir le laser qui convient. Alors on va voir maintenant qu'il y a une autre façon de, d'ajuster cette courbe enfin, en tout cas d'obtenir une courbe aussi plate qui n'est pas en changeant la longueur d'onde de pompe mais en procédant autrement. Pour cela nous allons nous intéresser au cas de l'accord de phase en géométrie non colinéaire. Donc ça veut dire que on va avoir maintenant une condition vectorielle ce n'est plus simplement selon l'axe z où il faut que k un plus k deux soit égal à k trois on va avoir dans, dans l'espace il faudra que la somme des vecteurs k un plus k deux soit égal à k trois. Si vous voulez, si on raisonne en termes de photons, ça veut dire que la quantité de mouvements du photon produits par l'addition de fréquence h barre k trois, doit être égale à la somme des quantités de mouvements du photon h barre k un et du photon h barre k deux. Donc on doit avoir cette condition vectorielle qui est qui est réalisée, la raison on pourrait la montrer assez facilement et c'est tout ce qui va changer dans le cas où on est en géométrie non colinéaire, c'est à dire un faisceau pompe qui va selon l'axe z, le faisceau k trois et puis un angle entre le faisceau signal, par exemple, k deux qu'on aurait, qu'on aurait injecté dans le système. Alors pour calculer la situation d'accord de phase dans ce cas ce n'est pas, pas très compliqué. On va poser les angles alpha ici que fait ka deux avec l'axe z et alpha prime, que fait k un avec l'axe z et puis on va, on va écrire que la, la somme vectorielle est, est vérifiée. Donc on peut projeter cette, cette somme vectorielle selon l'axe, l'axe vertical ici si je, si je fais ça je vais voir que la projection de k un va s'écrire k un sinus alpha prime égal k deux sinus alpha enfin on a fait un processus d'amplification paramétrique ou j'injecte le faisceau de fréquence oméga deux et la pompe de fréquence oméga trois je connaitrais alpha et évidemment ça dépend des conditions, des conditions de l'expérience et vous voyez que alpha prime pourra être calculé pour le faisceau complémentaire à partir de cette relation. Donc je connais alpha, c'est la condition du problème je peux en déduire alpha prime en prenant simplement l'arc sinus de k deux divisé par k un fois sinus alpha. Bien et maintenant j'ai une autre condition, c'est que la projection selon l'axe z de cette égalité vectorielle, doit être vérifiée. Donc, si je projète selon l'axe z, j'aurais maintenant k un cosinus alpha, pardon, cosinus alpha prime donc c'est la projection de, de k un sur l'axe z plus k deux cosinus alpha qui devra être égal à k trois Donc, je connais je connais alpha prime par la relation qui est en haut, donc je peux calculer la valeur de k trois et comme k trois ça sera par exemple égal à n e si je suis en type un ça sera égal à n e de théta et d'oméga trois multiplié par oméga trois sur c et bien je vais pouvoir, de cette relation, comme je connais évidemment oméga trois oméga trois c'est égal, égal à oméga un plus oméga deux, je vais pouvoir, à partir de cette relation, calculer la valeur de l'angle théta. C'est comme ça qu'on pourrait procéder c'est un calcul qu'on pourrait faire numériquement sans, sans difficulté. Alors, je vais vous montrer le, le résultat que vous avez ici, où vous avez donc la courbe d'accord de phase toujours dans le BBO où vous avez l'angle d'accord de phase en fonction de la, de la longueur d'onde, en type un. Alors, pour l'instant c'est la même courbe que tout à l'heure parce que j'ai supposé ici que j'avais un angle alpha qui était égal à zéro. Mais vous voyez que quand je fais varier l'angle, l'angle alpha, et bien la courbe va changer de forme donc j'ai un paramètre, j'ai un paramètre supplémentaire et vous voyez qu'on va être capable de lui donner vraiment la forme, la forme qu'on veut et en particulier pour un certain angle qui vaut, qui vaut trois virgule sept degrés vous voyez que j'ai ici dans toute cette zone, qui correspond au visible, autour de 600 nanomètres dans toute cette zone j'ai une, une courbe qui est remarquablement plate ce qui veut dire que pour un certain angle d'accord de phase je vais être capable d'amplifier par amplification paramétrique, une bande spectrale très très large Ca c'est un résultat qui a été remarqué par un des laboratoires de, de l'Ecole Polytechnique, le Laboratoire d'Optique Quantique, à l'époque donc ça correspond à cet article qui a été publié dans Optics Letters en 1995 auquel a participé notamment François Hache qui est chercheur au Laboratoire d'Optique et Bio-Sciences actuellement à l'Ecole Polytechnique et donc ils ont montré que expérimentalement et théoriquement, effectivement, qu'on avait cette condition et donc ils ont été capables comme ceci de produire des impulsions extrêmement brèves, lorsqu'on appelle un oscillateur paramétrique optique et ça a été également utilisé par la suite dans le cas d'amplificateurs paramétriques optiques, c'est une méthode pour produire des impulsions de quelques femtosecondes dans le domaine autour de, de 600, de 600 nanomètres, et donc c'est un des exemples de ce qu'on peut réaliser en ajustant comme ceci l'angle entre les entre les faisceaux. Alors une dernière chose qu'on va, qu'on va remarquer avant de clore cette vidéo, c'est que la condition d'accord de phase finalement à théta, à théta fixé elle ne va dépendre que de alpha, c'est à dire qu'on aura une symétrie de révolution autour du vecteur k trois si la condition d'accord de phase est décrite pour, est vérifiée pour un vecteur k trois et un vecteur k deux je pourrai faire tourner ce vecteur ka deux autour du vecteur ka trois, puisque, encore une fois, la condition d'accord de phase ici ne fait, ne fait intervenir que l'angle alpha qui lui-même une fonction de alpha prime. On aura cette symétrie de révolution que nous verrons illustrée, dans la, dans la prochaine vidéo.
