Nous allons maintenant nous intéresser à la manière de réaliser la condition
d'accord de phase que nous avons supposée vérifiée dans la vidéo précédente.
Comme pour le doublage de fréquence, il existe plusieurs façons d'assurer la
condition d'accord de phase pour un problème de mélange à trois ondes,
et nous allons étudier, comme pour le doublage de fréquence,
la méthode qui exploite la biréfringence des cristaux non-linéaires utilisés.
La seule différence, c'est qu'au lieu d'avoir deux ondes, le faisceau
fondamental et le faisceau doublé, on va ici avoir trois ondes, il faudra
réaliser l'accord de phase entre trois vecteurs d'onde : k un, k deux et k trois.
Nous allons voir comment on peut réaliser cette condition d'accord de
phase dans le cas du mélange à trois ondes en nous appuyant sur ce
qu'on a vu dans le cas du doublage de fréquence.
La différence ici, bien sûr, c'est qu'on a trois fréquences : oméga un,
oméga deux et oméga trois.
Ce qui est important c'est que,
par hypothèse, je vais toujours supposer qu'oméga un est inférieur à oméga deux,
et inférieur à oméga trois, et puis comme on l'a vu, la condition d'accord de phase
s'écrit delta k égal à zéro et delta k, ici, vaut k trois moins k deux moins k un,
donc j'aurai que k un plus k deux est égal à k trois.
Alors il y a diverses façons d'arriver à réaliser cette condition d'accord de
phase, pour commencer on va, en nous appuyant sur ce qu'on a vu dans le cas du
doublage de fréquence, on va supposer que les deux fréquences les plus
faibles dans un premier temps sont identiques, et je vais supposer que ces
deux fréquences sont polarisées selon un axe perpendiculaire à la figure,
c'est-à-dire avec un cristal taillé comme ceci,
avec l'axe optique dans le plan de la figure, ça correspondra à une
onde ordinaire, et je vais supposer que le faisceau à la fréquence oméga trois est,
lui, polarisé verticalement, ici, et donc correspondra à une onde extraordinaire.
On est exactement dans les mêmes conditions que pour le doublage de
fréquence qu'on avait vu dans un cristal uniaxe négatif,
ça correspond au cas du BBO, vous avez l'indice extraordinaire en
fonction de lambda, l'indice ordinaire en fonction de lambda et on
sait qu'on peut effectivement, pour oméga un égal à oméga deux,
réaliser la condition d'accord de phase pour le doublage de fréquence.
Dans le cas du mélange à trois ondes, le doublage de fréquence nous dit que k
un qui a cette expression-là, plus k deux est égal à k trois.
Vous voyez que comme j'ai supposé que les ondes un et deux étaient ordinaires,
j'aurai ici n o d'oméga un et ici n o d'oméga deux,
et puis k trois comme j'ai supposé qu'il était polarisé verticalement,
ce sera une onde extraordinaire associée à l'angle thêta qui correspond à
l'orientation de l'axe optique par rapport à l'axe z de propagation des faisceaux.
J'aurai ici n e de thêta et de oméga trois fois oméga trois sur c.
Voilà à quoi correspond la condition d'accord de phase pour un processus
qui est représenté ici comme une addition de fréquence mais ça pourrait tout aussi
bien être une différence de fréquence comme dans l'amplification paramétrique,
ça n'aurait pas d'importance tant que cette condition k un plus k deux égale k
trois est vérifiée, avec toujours la convention oméga un
plus petit qu'oméga deux, plus petit qu'oméga trois.
Ce qu'on avait vu dans le cas du doublage de fréquence, dans le cas particulier où
oméga un est égal à oméga deux, on avait vu évidemment que dans ce
cas je pourrais mettre oméga un sur c en facteur fin pardon,
comme oméga un est égal à oméga deux, je pourrais mettre n o de oméga en facteur,
puis j'aurais oméga un plus oméga deux, qui vaut deux oméga un ou
qui vaut oméga trois, donc on avait vu que dans le cas du doublage de fréquence,
il fallait seulement que l'indice ordinaire à la fréquence oméga un,
ici, soit égal à l'indice extraordinaire à la fréquence oméga trois.
Dans le cas du mélange à trois ondes,
ça pourrait être un peu plus compliqué parce qu'on pourra avoir des situations où
oméga un n'est pas égal à oméga trois donc comme je le représente ici.
Alors, si on fait ça, si je reprends la même équation je
peux évidemment simplifier par c et vous voyez que l'équation qu'on a ici,
si je divise encore par oméga trois, c'est que l'indice n e de thêta va
être égal finalement au barycentre entre n o à la fréquence oméga un,
cet indice-là, et n o à la fréquence oméga deux,
cet indice-là, mais pondéré respectivement par oméga un et oméga deux.
Vous voyez que c'est bien ce qu'on obtient ici,
où quand je change la valeur d'oméga un, chaque fois la valeur de
l'angle thêta sera ajustée pour que la condition de phase soit vérifiée,
c'est-à-dire que cette courbe sera toujours au bon endroit pour que ce
point-là soit bien le barycentre entre cet indice ci et celui-là.
Là, c'est parce que la fréquence oméga un est beaucoup plus petite que la fréquence
oméga deux, que le barycentre est plus près de cet indice-là que de celui-ci.
Vous voyez qu'on arrivera effectivement à réaliser la condition d'accord de phase,
on pourra y parvenir pour un très grand nombre de valeurs de la
fréquence oméga un, mais également si on fait varier la valeur de la
fréquence de pompe ici, si je pense à un processus d'amplification paramétrique.
Ça, c'est l'accord de phase de type un, où les deux ondes de basse fréquence,
oméga un et oméga deux, sont polarisées perpendiculairement à l'axe optique,
ce sont des ondes ordinaires, et le faisceau de plus grande fréquence,
qui sera la pompe dans le cas de l'amplification paramétrique,
correspondrait au contraire à l'onde extraordinaire,
alors ça correspond à un mélange qu'on va appeler o plus o donne e.
On l'a choisi dans ce sens-là parce que le BBO est un cristal uniaxe négatif,
et c'est la seule façon d'arriver à l'accord de phase,
puisque n e, l'indice extraordinaire,
sera plus petit que n o et comme on a cette variation avec la longueur d'onde,
la seule façon de réaliser l'accord de phase c'est de le faire dans ce sens-là.
Mais dans un cristal uniaxe positif, on pourrait évidemment réaliser la
condition d'accord de phase de la même manière en disant qu'on mélange e
et e pour faire une onde ordinaire, donc à la fréquence oméga trois.
Dans les deux cas, on parlera d'accord de phase de type un.
S'il y a un type un, c'est naturellement qu'il y a également un type deux,
et c'est ce dont on va maintenant parler.
Dans le cas de l'accord de phase de type deux,
ce qui change c'est que les deux plus basses fréquences, oméga un et oméga deux,
ne sont pas polarisées dans la même direction.
On aura ici une onde ordinaire pour la plus petite fréquence, oméga un,
et une onde extraordinaire pour la fréquence oméga deux, et toujours une onde
extraordinaire pour la fréquence oméga trois, donc ça correspond à un mélange de
type trois, o plus e donne e.
Ce qui change, dans la condition d'accord de phase,
c'est simplement que maintenant l'indice extraordinaire va apparaître deux fois,
une fois à la fréquence oméga trois et une fois à la fréquence oméga deux,
et donc ça nous change un peu les conditions de cette courbe.
Dans le cas particulier où oméga un est égal à oméga deux,
tout ce que ça veut dire, comme oméga un et oméga deux ont la même valeur,
ça veut dire que l'indice n e de thêta à la fréquence oméga trois,
donc ce point-là, sera toujours le barycentre, mais là comme oméga un
est égal à oméga deux, ce point-là sera exactement au milieu de ce segment.
Donc quand je vais faire varier la fréquence du faisceau de
fréquence oméga trois, la pompe dans le cas d'une amplification paramétrique,
vous voyez que j'aurai toujours cet indice qui sera au milieu entre les deux indices,
l'onde ici à la fréquence oméga un qui est sur la courbe d'indice ordinaire,
et puis celle à la fréquence oméga deux qui est sur la
courbe d'indice extraordinaire dépendant de thêta qu'on va en
permanence ajuster pour que la condition d'accord de phase soit réalisée.
Évidemment, comme l'indice extraordinaire apparaît deux fois,
ce sera un peu plus compliqué pour calculer la valeur de l'angle thêta qui
convient, mais c'est un calcul qu'on peut faire numériquement sans problème.
Là encore, on peut réaliser la condition d'accord de phase quand on
change la valeur de oméga un, je veux dire quand oméga un et oméga deux ne
prennent pas les mêmes valeurs, vous voyez que sur une plage assez large de fréquence
on arrivera, à condition de prendre la bonne valeur de l'angle thêta, on
arrivera à réaliser la condition d'accord de phase et on a toujours cette condition,
comme avant, que l'indice ici à la fréquence oméga trois sera le barycentre
entre les indices à la fréquence oméga deux et à la fréquence oméga un,
simplement maintenant ces deux indices sont sur des courbes différentes.
Donc ça c'est l'accord de phase de type deux, qui convient bien dans le BBO qui
est un uniaxe négatif, mais il y a toutes sortes d'autres sortes d'accord
de phase de type deux, donc là c'est o plus o, o plus e pardon, donne e, mais
on peut également faire o plus e donne o, e plus o donne e, ou e plus o donne o,
selon le cristal considéré, et tous ces types de réalisation de l'accord
de phase seront ce qu'on appellera un accord de phase de type deux.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
