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Alors on peut également retrouver ce résultat directement à
partir des deux équations ici extraites des équations de Maxwell,
portant sur les grandeurs que j'avais introduites lors de la dernière vidéo,
donc le champ électrique, le déplacement électrique, la polarisation induite P,
le champ magnétique et l'induction magnétique.
Alors on va évidemment utiliser la notation complexe.
Si le champ excitateur est en exponentielle i k z moins oméga t,
eh bien dans ce cas-là on va montrer qu'il y a une solution aux équations de
Maxwell où toutes les grandeurs sont en exponentielle i k z moins oméga t,
et on utilisera la notation complexe en introduisant à chaque fois le
champ complexe E rond, le déplacement complexe D rond, la polarisation dont on
a déjà parlé, P rond, et puis même chose pour l'induction magnétique, ici B rond.
Donc comme toutes nos ondes vont être sinusoïdales,
ou en exponentielle i k z moins oméga t, ça nous permet évidemment de
calculer facilement les dérivées par rapport au temps.
On a que la dérivée par rapport au temps d sur d t, eh bien ça va simplement être
équivalent à moins un facteur moins i oméga, puisque quand je dérive ce facteur
ici, en exponentielle i k z moins oméga t, si je dérive par rapport au temps,
il y a simplement moins i oméga qui va sortir en facteur.
Et de la même manière si je dérive par rapport aux coordonnées spatiales,
si je dérive par rapport à x ou par rapport à y, je vais trouver zéro,
puisque j'ai une onde plane qui est invariante en fonction de x et de y.
Et si je dérive par rapport à z, eh bien j'ai le facteur ici en exponentielle i k
z, qui va me faire sortir un pré-facteur i k,
et donc je trouve que c'est que la dérivée par rapport à z qui sera non-nulle.
En d'autres termes, le gradient nabla pourra s'écrire comme directement i k,
ce pré-facteur, fois le vecteur unitaire u z selon l'axe z.
Donc si j'applique ça aux deux équations ici extraites des équations de Maxwell,
donc tout d'abord pour le terme en d rond D sur d rond t,
donc je vais supposer que j'ai une onde électromagnétique, évidemment polarisée
linéairement avec un champ électrique polarisé selon l'axe x, et un champ
magnétique polarisé selon l'axe y, donc si je regarde cette équation selon l'axe x,
la dérivée de D par rapport au temps va me donner simplement moins i oméga D rond,
avec donc mon déplacement électrique qui est polarisé selon l'axe x.
Et puis le produit vectoriel ici va me donner le produit vectoriel entre u z,
puisque le nabla ça me donne i, k, u z, et puis u y,
puisque le champ magnétique va être dans la direction du vecteur unitaire u y.
Quand je fais u z avec u y, je trouve moins u x, donc je vais avoir un facteur
moins à cause de ce produit vectoriel, et puis le facteur i k, multiplié par h,
ou plutôt directement B rond divisé par mu zéro.
Donc voilà la première équation,
c'était donc une équation différentielle, pour un onde plane ça
devient simplement une équation algébrique avec juste des pré-facteurs k et oméga.
Donc je vais faire la même chose avec l'équation en haut,
moins d B sur d t donc j'aurai évidemment plus i oméga B rond,
donc là je projette sur le vecteur u y, et puis nabla vectoriel E,
ça va me donner u z vectoriel u x, c'est-à-dire u y,
et donc je vais avoir i k multiplié par E rond, qui sera égal à i oméga P.
Donc avec ces deux équations on va pouvoir avancer,
on va pouvoir vérifier que la propagation peut bien avoir lieu.
Donc ce que je vais faire c'est que je vais exprimer E rond à l'aide de
l'équation ici à gauche.
Donc E rond vous voyez que c'est directement égal à
oméga sur k multiplié par B rond.
Quant à B rond, je l'ai en bas en fonction de D rond.
On peut remarquer que le déplacement électrique, tout d'abord,
donc il est égal à epsilon E plus P, donc epsilon zéro E plus la polarisation,
dont on a vu qu'elle était égale à epsilon zéro khi E.
Donc finalement le déplacement électrique c'est, tout simplement, epsilon zéro,
multiplié par un plus khi, E rond.
Donc maintenant en utilisant cette deuxième équation ici,
eh bien je vais pouvoir écrire en utilisant l'expression de B,
voyez que B va être égal à nouveau à oméga sur k, donc j'aurai oméga sur k au carré,
multiplié par mu zéro,
epsilon zéro, et puis un plus khi, multiplié par E.
Alors mu zéro epsilon zéro,
évidemment comme vous le savez c'est l'inverse du carré de la vitesse de la
lumière, et par ailleurs là j'obtiens une équation où j'exprimais E en
fonction de E et évidemment pour que cette équation ait une solution non-triviale,
c'est-à-dire E non-nul, qu'on ait une onde qui puisse se propager dans le milieu,
il faudra que le terme ici au-dessus de l'accolade soit égal à un.
Donc ça, ça va me permettre de calculer le vecteur d'onde k,
j'aurai que k au carré est simplement égal à oméga deux
divisé par c deux, et multiplié par un plus khi, la susceptibilité.
Donc je vais pouvoir écrire le vecteur d'onde k à l'aide d'un
indice de réfraction, n oméga sur c, où cet indice
n est égal à la racine carrée de un plus khi.
Simplement il faut se souvenir que la susceptibilité qu'on
a calculée pouvait être complexe, donc je en fait parler ici d'indice complexe,
n tilde, et je donc je dirais que n tilde est égal à racine carrée de un plus khi.
Donc on voit qu'effectivement une onde plane monochromatique peut se
propager dans ce milieu qui est muni d'une susceptibilité khi, à condition que le
vecteur d'onde soit remplacé par cette expression avec l'indice complexe n tilde.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
