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Bienvenue dans cette seconde vidéo où nous allons nous intéresser à l'origine
physique de l'absorption et de l'indice de réfraction dans un milieu matériel,
en nous appuyant sur le modèle d'oscillateur mécanique,
que nous avons développé dans la précédente vidéo.
Donc je vous rappelle que nous avions étudié la réponse d'une
molécule diatomique sous l'action d'un champ électrique oscillant,
représenté ici en bleu, et que nous avions observé une réponse sinusoïdale,
exprimée en notation complexe par l'élongation ksi, qui
était proportionnelle au champ électrique E, en notation complexe toujours, avec un
facteur de proportionnalité dépendant de la fréquence qui est représentée ici.
Dans le cas où on est à la résonance, c'est-à-dire dans le cas où
oméga zéro est égal à oméga, ce premier pré facteur est égal à zéro,
et donc la réponse du milieu est donc simplement proportionnelle à
un sur moins i fois le champ électrique, c'est-à-dire i fois le champ électrique.
Et on a donc un retard de phase de pi sur deux, c'est ce qu'on a ici sur
l'animation, où on est à résonance et où la réponse de la molécule est
en quadrature par rapport à l'excitation du champ électrique ici en bleu.
Alors cette molécule n'était qu'une molécule parmi un grand nombre.
On s'était intéressé en fait à un milieu solide,
qui était modélisé par une assemblée de molécules dit atomiques,
oscillant sous l'action de ce champ électrique.
Et si maintenant on considère un élément de volume comme représenté ici,
en fait la réponse du milieu pourra être simplement modélisée par
la polarisation non linéaire qui s'écrit comme le produit de N,
le nombre d'oscillateurs par unité de volume, delta q la charge partielle portée
par chacun des atomes, et toujours donc l'élongation ksi en notation complexe.
Et donc pour ce qui concerne la réponse optique du matériau à l'excitation par ce
champ électrique oscillant E, eh bien on pourra simplement se contenter de
considérer cette polarisation P qui est la densité volumique de dipôle induit.
Donc ça c'est un élément de volume à l'échelle nanométrique.
Si on regarde autour de cet élément de volume on va avoir la même réponse.
On va avoir une réponse en phase pour tous les éléments de
volume qui sont autour de celui-ci.
Et donc à l'échelle nanométrique on aura quelque chose d'uniforme,
aussi bien pour le champ excitateur E que pour la polarisation induite, en rouge P.
Alors je supposais ici que mon champ est produit par une onde plane progressive qui
se propage selon la direction z,
ici, et donc le champ appliqué sera invariant en fonction de x et y,
il ne dépendra que de z.
Donc quand je prends un peu de recul par rapport à mon élément de volume,
je commence à voir le fait que le champ électrique n'est pas tout à fait homogène.
Et on commence à voir l'onde qui se propage dans le milieu.
Donc là je m'éloigne de plus en plus de l'élément de volume.
Et on commence à voir apparaître l'onde progressive qui se propage dans le milieu.
Donc on a ce champ électrique qui va être en cosinus k z moins oméga t,
donc c'est ce qui est représenté ici toujours en notation complexe.
Et ce champ électrique induit une polarisation qui est déphasée de pi
sur deux.
C'est vrai dans le domaine temporel,
c'est vrai aussi dans le domaine spatial comme vous voyez ici.
On a un retard de phase de pi sur deux entre le champ incident et
la polarisation induite.
Et donc naturellement la polarisation induite aura aussi une structure donc
plane, c'est-à-dire qu'elle aura une dépendance spatio-temporelle,
en exponentielle i k z moins oméga t.
Bien je continue à prendre du recul par rapport à
mon système et je vais arriver ici à l'échelle millimétrique.
Alors le graphe n'est pas tout à fait à l'échelle.
Là je n'ai qu'une dizaine de longueurs d'ondes.
Enfin, imaginez qu'on ait un grand nombre de longueurs d'ondes et qu'on arrive à
l'échelle de l'échantillon.
Eh bien dans ce cas, la polarisation induite en rouge n'est induite
évidemment que dans le milieu matériel et je vais avoir une onde incidente qui
rentre dans le milieu matériel, qui induit cette polarisation dans le milieu.
Et ensuite l'onde incidente va sortir du milieu matériel.
Alors ce que nous disent les équations de Maxwell,
c'est que quand on a comme ceci une assemblée de dipôles oscillants dans le
milieu matériel, et bien ces dipôles oscillants vont induire un champ rayonné,
vont rayonner un champ électrique, qui va se propager.
Alors vous avez peut-être déjà vu le problème du dipôle oscillant,
c'est un petit peu la même chose.
Là c'est un petit peu plus simple parce qu'on a une assemblée homogène de dipôles
qui vont tous osciller avec la bonne phase, la phase de l'onde plane incidente.
Et donc dans ce cas ce qu'on peut montrer, ce qu'on va montrer dans les prochaines
semaines, c'est que le champ rayonné, représenté en vert sur le graphe s'écrit
simplement, est proportionnel à la dérivée de la polarisation par rapport au temps,
et va croître linéairement en fonction de z.
Et comme il y a un facteur moins ici et que la dérivée de la polarisation par
rapport au temps va faire apparaître un facteur moins i oméga,
comme je l'écris par le signe moins ici,
j'aurai finalement un champ rayonné qui sera en i oméga z fois la
polarisation incident, avec un facteur de proportionnalité que je ne détaille pas.
Donc c'est ce que vous voyez ici sur l'animation,
vous avez un champ rayonné en vert qui va croître progressivement au fur et
à mesure que l'onde se propage et qui résulte de l'interférence constructive de
tous les dipôles qui oscillent dans le matériau.
Et en sortie du matériau, je vais avoir ce champ rayonné qui va sortir.
Alors vous pouvez remarquer que comme je m'étais placé à résonance, on a vu que la
polarisation était en retard de phase de pi sur deux par rapport au champ incident.
Le champ rayonné, lui,
est également en retard de pi sur deux puisque vous avez ici ce facteur i lié à
la dérivée par rapport au temps, la dérivée première par rapport au temps.
Et donc finalement en sortie,
le champ rayonné est en opposition de phase par rapport au champ incident et on
voit donc que l'incidence destructive entre le champ incident et le champ
rayonné va induire un champ total qui va être plus faible que le champ incident.
Et on comprend donc pourquoi le milieu aura absorbé l'onde incidente.
Donc c'est là l'origine physique de l'absorption dans un
milieu matériel excité à résonance.
Alors on peut le voir également dans le plan complexe, en considérant ici,
dans le plan complexe le champ incident que j'ai représenté ici horizontal,
donc ce qui correspond à un champ réel.
La polarisation induite à résonance va être égal,
va être en quadrature par rapport au champ, donc multiplié par i,
c'est-à-dire qu'on a ici un angle de 90 degrés.
Donc la polarisation dans ce cas-là va être imaginaire pure.
Donc ça résulte de cette formule là, P est égal à epsilon zéro khi de oméga fois E.
Et toujours avec la formule de la susceptibilité telle
qu'on l'avait calculée lors de la dernière vidéo.
Donc ce qu'on vient de voir c'est que cette polarisation va rayonner un champ,
qui est lui aussi en quadrature par rapport à la polarisation,
et donc dans le plan complexe on aura à nouveau un angle droit entre la
polarisation induite et le champ rayonné.
Donc on retrouve ce qu'on a vu tout de suite, c'est que le champ total,
qui est la somme du champ incident et du champ rayonné ici,
eh bien ce champ total va être atténué par rapport au champ incident.
Alors ça c'est vrai uniquement à la résonance.
Il faut se rappeler que la susceptibilité dépend de la fréquence.
On avait tracé cette courbe dans la dernière vidéo.
On avait une partie imaginaire qui était piquée sur oméga zéro et
une partie réelle qui avait cette forme,
qu'on appelle une structure dispersive, avec ses deux branches d'hyperbole quand
oméga est soit très inférieur soit très supérieur à oméga zéro, et
puis une décroissance rapide de la partie réelle quand on passe par la résonance.
Alors ce qu'on peut faire, c'est changer la fréquence d'excitation,
la fréquence d'oscillation du champ électrique excitateur E.
Et on voit que dans ce cas, donc si je me mets ici par exemple,
la susceptibilité va être essentiellement réelle,
la partie imaginaire sera beaucoup plus petite que la partie réelle.
Donc la susceptibilité est réelle,
ce qui veut dire que la polarisation d'une part va être plus faible parce qu'on est
pas dans à résonance mais elle va être dans la direction du champ électrique.
Le champ rayonné va être donc perpendiculaire au champ électrique dans
le plan complexe, et vous voyez que le champ total finalement c'est simplement
une version tournée du champ incident.
On a juste un déphasage du champ total.
Et ce déphasage, c'est ce qui va être à l'origine de l'indice de réfraction.
Donc vous voyez comment quand on change la fréquence on va avoir un déphasage,
puis une atténuation, puis à nouveau un déphasage mais de signe contraire.
Donc ça c'est ce qui va être responsable donc du déphasage et de
l'atténuation de l'onde.
Déphasage proportionnel à la partie réelle de la susceptibilité et
atténuation proportionnelle à la partie imaginaire.
Donc on voit comment la réponse du milieu, la susceptibilité qu'on avait calculée,
va nous permettre d'expliquer à la fois l'indice de réfraction,
l'indice de réfraction provient du fait que la phase de l'onde ne sera pas la
même que dans le vide, et donc on aura un déphasage qui sera d'après ce modèle très
simple de champ rayonné proportionnel à la partie réelle de la susceptibilité.
Quant à l'atténuation proportionnelle à la partie imaginaire de la susceptibilité,
eh bien elle va causer l'absorption de l'onde dans le milieu.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
