Ну давайте, например, первый ящик.
Первый ящик будет состоять из векторов
следующего вида: 1 1 1 1 0 0 0 0.
ах!
Я не правильно сформулировал теорему!
Какой ужас!
И на старуху бывает проруха.
Не 70, а 140.
На два забыл умножить, на два!
Виноват.
Но вовремя сообразил, ничего страшного.
140, конечно, 140.
Так, ну и так.
Вот давайте смотреть на первый ящик.
В нем сначала есть такой вектор.
Дальше в нем есть вот такие векторы: 1 –1 –1 1 0 0 0 0.
Дальше в нем есть вектор 1 1 –1 –1 0 0 0 0.
И, наконец, есть вектор вот такой: 1 –1 1 –1 0 0 0 0.
Ну понимаете, наверное, по какому принципу построены эти векторы?
4 единицы, а здесь на первой позиции –1,
а дальше среди оставшихся трех позиций любые две выбраны минус единичными.
Ну то есть вот здесь две –1, здесь две и по краям – это все возможные варианты.
Так?
А теперь смотрите на них внимательно.
Согласитесь, что они попарно ортогональные?
Это видно?
Всем?
Они попарно ортогональные.
То есть если у нас два кролика – две вектора –
одновременно попадут в такой ящик, то будет беда.
Они окажутся ортогональны друг друга.
Правильно?
Нельзя ни в коем случае, чтобы два вектора сюда попадали.
А можно что-нибудь к этому ящику добавить, чтобы наше утверждение сохраняло смысл?
Ну, по-моему, очевидно что можно к этому ящику добавить.
Да, можно, наоборот, сначала написать четыре нуля,
а в конце написать все возможные вот эти вот ситуации.
1 –1 1 –1, 1 1 –1 –1.
Ну а здесь нули.
Так, итого сколько у нас получается таких?
Восемь, да?
Значит ящик состоит из восьми векторов,
которые, очевидно, попарно ортогональны,
и если сюда попадут два кролика, то у нас случится неприятность.
Так, ну это совершенно понятно, я, наверное, очень торможу?
Нормально, да?
Хорошо.
Хорошо, хорошо, вы держите темп, а то я сейчас куда-нибудь свалюсь, в одну из ям.
Так, так, так, так.
Ну это первый ящик.
Надо нарисовать какой-нибудь второй.
Так, друзья, вот вы сейчас поймете,
откуда была моя ошибка в формулировке утверждения.
Почему я перепутал 70 и 140.
Внимание, как сделать совершенно тривиальным способом, имея на руках
вот этот первый ящик, еще один такой же ящик, в котором были бы другие кролики?
Да, вот вы слышали, наверное, предложение, да?
Можно каждый вектор просто умножить на –1 покоординатно.
То есть давайте я прям назову это 1'.
Это второе множество, которое состоит, ну, например,
из таких векторов: –1 –1 –1 –1 0 0 0 0.
Ну а дальше понятно,
мы каждый вектор из первого ящика просто умножаем покоординатно на –1.
Получилось два таких симметричных, симметричных ящика – 1 и 1'.
Ну вот давайте я попробую изобразить второй ящик.
А смотрите, вот на этих первых четырех координатных позициях,
на этих первых четырех координатных позициях какие еще
остались неиспользованные в рамках вот этих двух ящиков векторы?
Вот в рамках этих двух ящиков использовано 16 векторов.
А сколько всего есть векторов,
у которых вот такие позиции не нулевые, а такие нулевые?
Это все понимают?
Это в чистом виде правило умножения, правда же?
На каждую позицию мы можем поставить либо 1, либо –1.
И это, конечно, делается 16-ю способами.
А здесь задействовано сколько?
Здесь задействовано сколько?
Здесь задействовано 4 и здесь задействовано 4, то есть вроде не все.
Из 16 только 8.
А какие еще бывают?
Ну смотрите, здесь две –1, да?
Здесь ноль –1, а в инвертированной ситуации
тоже четыре –1 или две –1, правильно?
Значит бывают, наверное, случаи когда еще три –1 здесь.
Бывают еще случаи, когда здесь три –1.
Ну и как эти случаи нарисовать?
И одна –1 еще бывает, во!
Во как бывает-то!
Ааа...
Так, значит бывает вот так: 1 –1 –1 –1 0 0 0 0.
Раз, два, три, четыре.
Так, если мы здесь дорисуем одну –1,
получится у нас ортогонально?
Смотрите, правда, здесь 1 +1 –1 –1.
Шлеп – ноль, чудеса какие!
Так, а если я дорисую вот так: 1 1 –1 1 0 0 0 0?
Вроде тоже они попарно ортогональны, да?
И если я дорисую вот так: 1 1 1 –1 0 0 0 0.
То вроде тоже хорошо.
Ну, понимаете, что я не могу –1 поставить на первую позицию?
Потому что если я ее поставлю на первую позицию,
у меня потеряется ортогональность с самым первым вектором.
Поэтому всего 4 таких.
Успеваете?
Успеваете.
Ну, хорошо.
Естественно к ним добавляются вот такие 0 0 0 0 и все
то же самое, там 1 –1 –1 –1 и так далее.
Как обычно всего здесь получается 8 штук наших
кроликов в таком ящике, и ему соответствует ящик 2',
и вот они уже в совокупности исчерпывают все возможные ситуации,
которые получаются при такой взаимной раскладке нулей и не нулей.
Мы сейчас просто зафиксировали те позиции,
на которых стоят не нули и те позиции, на которых стоят нули.
И вот множество таких потенциальных векторов мы разбили на 4 ящика.
Попади два кролика в любой из этих ящиков, и всё – они ортогональны.
Иными словами, из каждого ящика мы можем брать не больше, чем одного кролика.
Понимаете?
4 ящика и из каждого не больше, чем одного кролика.
Ну а теперь упражнение, которое мы скоро решим, когда я расскажу
для кого-то может быть новую, а для большинства, наверное, старую технику.
Упражнение: докажите,
что всего способов, – это я скоро объясню,
это очень просто, – всего способов зафиксировать,
зафиксировать 4 позиции из
8 для нулевых
координат, для нулевых координат равно,
как вы думаете чему, даже если вы не знаете?
Сколько?
Нет, почему 70-ти?
У нас же 4 ящика.
Я думаю 35, нет?
70?
Аааа!
Друзья, ну да, да, да, да, конечно 70!
Но ведь нас-то интересует только половина из них,
потому что мы уже здесь переставляли.
Ну в рамках каждого ящика у нас есть и такая фиксация, и ей дополнительная.
В рамках каждого ящика каждая фиксация берется двумя способами.
Исходный вариант и дополнительный к нему.
Поэтому да, конечно, количество способов зафиксировать 4
позиции из 8 для нулевых координат равно 70,
но реально нас интересует только 35 из них, половина.
И вот для каждой из этих 35-ти ситуаций есть 4 таких вот ящика,
аналогично построенных, и мы знаем,
что внутрь каждого ящика больше одного кролика попасть не может – иначе беда.
Итого получается 4 умножить на 35,
что и составляет 140.