Соотношение произвольного порядка. Соотношение произвольного порядка k. Произвольного порядка k. Ну, строго говоря, теперь надо рассматривать случай, когда k больше двойки, но, в принципе, случай, когда k равняется двойке, в общую формулировку тоже будет прекрасно укладываться, и это я тоже продемонстрирую на примере. Так. Ну, как оно у нас выглядит? Давайте, выглядит оно вот так: yn + k, это ak минус первое yn + k — 1 плюс, ..., плюс а первое, yn + 1, плюс a нулевое yn. Я уже сократил на ak-тое, чтоб не таскать его за собой, это неважно. Всё. Вот это вот соотношение k-го порядка, единственное, что теперь надо сказать, что a ноликовое не равняется нулю, как мне правильно было предложено. Все. Вот это вот соотношение k-го порядка. Давайте по аналогии со случаем второго порядка составим характеристическое уравнение. Давайте, характеристическое уравнение. Хар-ское ур-ние. Как оно в этом случае должно очевидно выглядеть? Ну, наверное, вот здесь λ в степени k, да? Да, λ в степени k равняется ak- 1, на λ в k минус первой, плюс и так далее, плюс a1λ, плюс а0. Это уравнение k-той степени с нашими вот постоянными коэффициентами а0, аk- 1. Но, во-первых, надо сослаться на теорему, которая точно не входит в рамки моего курса, это то, что называется «Основная теорема алгебры». Значит есть такая замечательная основная теорема алгебры. Основная теорема алгебры. Значит, основная теорема алгебры утверждает, что если у нас есть какой-то многочлен, неважно, какой степени, ну, с коэффициентами комплексными или вещественными, то такой многочлен обязательно имеет корень в комплексных числах. Вот тут уж деваться некуда абсолютно. Корень, конечно, в комплексных числах. Любой многочлен, любой многочлен с коэффициентами из c, из комплексных чисел, имеет хотя бы один, хотя бы один корень, но, опять же, в комплексных числах, вообще говоря. Может быть и вещественное — это как повезет. Но вещественные числа – это, конечно, подмножество множества комплексных, поэтому, если мы гарантируем существование комплексного корня, то, конечно, мы понимаем, что в частности он может оказаться и вещественным тоже. А из этой теоремы что следует? Внимание! Если есть хотя бы один корень, да? Ну, тогда ясно, что их есть в точности k штук. Опять, некоторые могут совпадать, но мы уже проехали эту проблему. Что вот есть какой-то корень λ1, понятно, что этот многочлен можно сократить на x, на λ минус λ1. Получится многочлен в степени на единичку меньше, у него будет какой-то корень λ2, ну и так далее. Всего будет k каких-то комплексных чисел, которые служат корнями вот этого исходного уравнения, их ровно k штук. Все они, вообще говоря, комплексные. Все они, вообще говоря, комплексные. Еще раз, в очередной раз. Понимаете, что некоторые из них могут совпадать? Не вопрос. Некоторые из них, конечно, могут совпадать. Вот давайте обозначим различные числа вот в этом множестве, различные числа в этом множестве обозначим μ1, и так далее μ с индексом какое-то r, это различные числа в множестве λ1 и так далее, λk. Ну, r я не знаю что такое, это зависит от того, какие здесь числа у меня получились. Понимаете, что r может теоретически равняться k, а может равняться единице, если там вообще все числа совпадают. Как повезет. Ну вот, я взял все различные числа в этом множестве, перечислил их и обозвал их μ1 и так далее μr. Давайте я сейчас доведу обозначение, а теорему буду давать после перерыва. Значит, давайте еще обозначим через k1 и так далее, k с индексом r, кратности, с которыми вот эти числа встречаются внутри исходного множества. То есть ki-итое – это количество λj-тых, равных μi-тому, ki-тое – это количество раз, которые число μi-тое встречается вот в этом множестве, кратность. Называется кратность. Количество раз, которое в этом мульти-, на самом деле, множестве встречается число μi-тое. Да, μi-тое. Правильно. Так, контрольный вопрос к слушателям: чему равняется сумма чисел k1 и так далее kr? Вопрос, конечно, простой. K, конечно, да! Да, да, совершенно верно, что мы множество из k чисел разбили на кусочки, состоящие из одинаковых элементов. Кусочек размера k1 состоит из чисел μ1, кусочек размера kr состоит из чисел μr. Ну, и в сумме, естественно, получается просто всё исходное множество. Так, давайте, я, на самом деле, введу еще некоторые обозначения, которые нужны для формулировки теоремы. Вот, давайте, давайте скажем так: вот что такое, что такое произвольный, произвольный многочлен, ну скажем, p от n, в какой-то степени, ну, не знаю, какую букву использовать, ну давайте «s». Вот что такое произвольный многочлен от переменной n, имеющей степень s? Как он выглядит? Как выглядит произвольный многочлен от переменной n, имеющей степень s? Ну, давайте, наверное, букву «c» использовать, cs на nv-стой плюс cs — 1 на nv с минус первой, плюс и так далее, плюс c1 на n, то есть на n в первой степени, ну и плюс c0, то есть c0 умножить на n в нулевой, с0. Согласны, да, что это просто общая запись? А? Cs не равно нулю, да, спасибо, cs не равно нулю, да, да, да, да! Потому что мы хотим, чтобы он имел степень в точности s, хорошо, хорошо, да. Но, если я скажу степени не выше s, тогда вот это условие не нужно. Так. Ну, давайте с этим согласимся, и тогда уже сформулируем теорему. Теорема выглядит так. Первый пункт. Так. Пусть p1 от n – это произвольный многочлен, произвольный многочлен степени не больше, чем k1 — 1, k1, напоминаю, это кратность вхождения μ1 вот в это множество. Я все обозначения ввел. Итак, пусть p1 от n – это произвольный многочлен, у которого степень не превосходит k1 — 1, вот он как-то так выглядит, причем вот это условие здесь уже не нужно, потому что, видите – знак неравенства. Так. Пусть также p2 от n – это произвольный многочлен в степени не больше, чем k2 — 1 и так далее. Пусть p с индексом r, понятное дело, всего вот этих k-шек их r-штук, пусть pr от n, опять произвольный. Многочлен степени не выше kr − 1. Тогда последовательность yn, задающаяся формулой P1 (n) * на μ1 в n-ной степени + P2(n) * μ2 в n-ной степени +... + Pr(n) * μr в n-ной степени, вот такая вот последовательность, задаваемая по n, удовлетворяет соотношению (*). Удовлетворяет соотношению (*). Правда, (*) — это теперь вот это вот соотношение. (*) — это вот то, что мы рассматриваем в общем случае. Строго говоря, это соотношение новое. Вот. А пункт 2 говорит, ну пункт 2 понятно что говорит. Пусть, наоборот, yn удовлетворяет соотношению (*). Тогда существуют такие многочлены P1(n),..., Pr(n), что степень (степень принято обозначать deg — в честь degree), что степень Pi(n) не превосходит ki без 1 для любого i и yn задается вот ровно этой формулой: P1(n)μ1n +... + Pr(n)μr в n-ной степени. Ух. Ну, теоретически, как это доказывается совершенно понятно. Надо, с одной стороны, проверить, что действительно такое выражение, если его вместо y сюда подставить, ему удовлетворяет — соотношению (*). А, с другой стороны, провернуть всю ту же самую технологию с доказательством того, как многочлены ищутся. Ну для этого надо считать довольно противные определители. Я, честно говоря, традиционно этого не делаю. Мне как-то не очень хочется вас сильно перегружать этим доказательством, я скорее хочу продемонстрировать, что тот ужас, который здесь царит, он, конечно, полностью согласуется с простой теоремой, которую мы с вами доказали. Вернее, с двумя простыми теоремами, которые мы доказали в случае, когда k = 2. Вот давайте просто посмотрим, как вот это вот кошмарное на вид утверждение, оно соотносится с тем, что мы строго доказали, что мы строго умеем обосновывать. Ну вот, пусть k = 2. Пусть k = 2. У нас было два случая: первый случай — это когда λ1 не равняется λ2, и второй случай — это когда λ 1 = λ 2 = λ. Да? Вот давайте попробуем применить эту теорему к первому, например, случаю. Просто тупо применить. Вот смотрите k = 2, λ1 не равняется λ2. Значит, чему равняется r, для начала? Вот давайте вот здесь писать, чему равняется r в этом случае. 2, конечно, да, потому что все числа из множества λ1 и λ2, их всего две штуки, они различные. Вот. r, стало быть, равняется 2, μ1 = λ1, μ2 = λ2, чему равняется k1? k1 равняется, конечно, 1. Потому что число μ1 встречается в множестве чисел λ1, λ2 только один раз. И, аналогично, k2 = 1. Внимание. Что такое произвольный многочлен степени k1 – 1? Это произвольный многочлен какой степени? Нулевой! Да, что такое многочлен нулевой степени? Просто константа. Число, да? Многочлен нулевой степени, вот, смотрите сюда: остается только вот этот коэффициент, правда же? То есть в этом случае P1(n) это просто какая-то константа C1. Ничего больше. Многочлен нулевой степени. Ну и, соответственно, точно так же P2(n) — это какая-то константа и, заметьте, конечно, P2 — это другой, вообще говоря, многочлен, поэтому и константа, вообще говоря, другая. Какое-то С2. Ну и все. И мы получаем ответ в виде: С1μ1 в степени n + С2μ2 в степени n, но, поскольку, μ1 — это λ1, а μ2 — это λ2, то это в точности то же самое, что С1λ1 в n-ной + С2λ2 в n-ной. То есть мы действительно как частный случай вот этой теоремы получили ту ситуацию, которую умеем строго обосновывать. Хорошо. А что такое λ1 = λ2 = λ? Тут у нас какие параметры? r теперь равняется 1. Совершенно верно. И есть только одно μ1, которое, собственно, и равняется λ. Но при этом k1 чему равно? Двум. Прекрасно. А что ж такое многочлен степени не выше k1 – 1? Это многочлен, степень которого не превосходит 1, правильно? Так он же как выглядит? Как раз вот так: С1n + C2. Может быть, С1 = 0, но вот любой многочлен степени не выше 1, он выглядит так. И мы его должны умножить на μ1 в n-ной степени. Вот вам ответ из второго пункта. Из второй теоремы, извините. То есть опять мы оказываемся просто в частной ситуации вот этой общей