Мы с вами договорились о том, какими являются элементы нашего ЧУМа.
Вот элементы — это такие вот конструкции.
Но тут есть тонкость, которую вообще необходимо оговорить, наверное, сразу,
или хотя бы задать вопрос, который пока задан не был.
Вот смотрите, теоретически...
теоретически для разных наборов индексов,
для совершенно разных наборов индексов, вот этих J,
может получиться, что такие штуки совпадают, как множества.
Может же такое случиться?
Элементарно!
Совершенно элементарно.
Вот мы считаем это разными элементами ЧУМа или не разными?
Давайте всё-таки аккуратно договоримся о том, что такое частичный порядок,
и после этого станет понятно, считаем мы их разными или не считаем.
Потому что пока нет порядка, непонятно, как их сравнивать между собой.
Конечно, если мы организуем на этом множестве стандартный порядок...
Какой стандартный порядок есть на совокупности подмножеств некоторого
множества?
Вложенность, правильно?
Вот если мы организуем такой частичный порядок, тогда,
конечно, совпадающие множества и будут совпадающими, это понятно.
Я хочу немножко другой порядок организовать.
Давайте...
я хочу сказать, что какое-нибудь P,
вот такого вида, задаваемое пересечением
по j из некоторого J большого, Sj...
Так вот, такое P… давайте P′,
задается пересечением по g из G′,
Sj, мы будем говорить,
что P ≼ P′ тогда и только тогда,
когда J… так,
вот здесь я всегда путаюсь, сейчас надо написать аккуратно… Значит,
P предшествует P′ тогда и только тогда, когда J, наоборот, содержит J′.
Вот так будем определять отношения предшествования.
И сейчас надо прояснить, в чем разница между таким определением
и тем естественным определением, которое прозвучало просто вслух.
Как отличается определение вложения от определения, которого я здесь дал?
Или как они соотносятся, вернее?
Ну какой-нибудь надо просто пример посмотреть.
Вот скажем сосиска S₁, вот сосиска S₂,
так, и вот какая-нибудь маленькая такая горошинка S₃.
[МОЛЧИТ] Ну тогда,
конечно, пересечение S₁,
S₂ пересечение
множеств S₁ и S₂ содержит S₃, правильно?
Даже строго содержит, я могу стереть вот эту штуку.
Видите, S₃ находится в отношении вложенности к вот этому пересечению.
Но находится ли оно в нашем нынешнем отношении?
Что такое S₃ по определению?
S₃ – это пересечение по j,
принадлежащему множеству 3 Sj, а S₁,
пересеченное с S₂ – это пересечение по j из множества индексов 1, 2, опять же Sj.
Ну и смотрите, если у нас вот это, скажем,
обозначено J, виноват, не это, конечно, а 1, 2, сейчас я здесь сотру.
Вот это вот обозначено J, а вот это обозначено J′,
то никакого отношения порядка между ними, в этом смысле, нет.
Поэтому и говорить об отношении порядка между этими ребятами,
в смысле вот такого предшествования, как мы его задали, не приходится.
Хотя они, в общем,
отлично соотносятся в смысле обычного теоретико-множественного вложения.
Понимаете?
Например… что?
Не, не понятно?
Кому непонятно?
Поясню.
Не, если кому-то непонятно — поясню.
Но вроде понятно.
J не вложено в J′.
Наоборот — тоже неверно, они вообще не пересекаются.
То есть ни о каком таком отношении говорить не приходится.
Однако множество, как множество, они вложены друг в друга.
Ну и, кроме того, можно взять вот такой пример.
Скажем, вот одна сосиска, вот другая сосиска, это S₁, это S₂.
А вот этот вот кусочек их общий — это S₃.
Может и такое теоретически случиться.
Тогда у нас S₁, пересеченное с S₃ — это в точности то же самое,
что S₁, пересеченное с S₂, пересеченное с S₃, то есть как множества они совпадают.
Вот это то, о чем я вам говорил.
Как множество, два пересечения совпадают.
Но здесь набор индексов J — это набор, состоящий из элементов 1,
3, а здесь набор индексов J — он состоит из элементов 1, 2, 3.
Ну J′ давайте.
То есть вот этот J строго вложен в J′, и поэтому вот это множество
строго предшествует вот этому, в смысле нашего отношения порядка.
Ну мы так его задали просто.
Понятно?