Nous continuons le cours "Comprendre les microcontrôleurs" Lorsque nous avons parlé de système logique, nous avons vu qu'on utilisait des 1 et des 0, et on sentait bien qu'on utilisait le fameux système binaire. Il est temps qu'on en parle un petit peu plus sérieusement. Nous allons regarder un peu comment fonctionne le système de numération binaire. Nous allons voir aussi comment on peut représenter des nombres binaires dans des registres, dans des, objets de taille limitée, d'un nombre de bits limités, nous allons voir également comment représenter des nombres positifs et négatifs, donc des nombres signés, finalement on parlera encore un peu d'hexadécimal, qui est beaucoup utilisé dans le monde des microcontrôleurs, de BCD, et également de codage de caractères. Tout le monde connaît le système de numération binaire, je ne vais pas en parler avec beaucoup de détails, on se souvient qu'on a deux chiffres à disposition, lorsqu'on les a mis les deux on est obligé d'introduire un rang supplémentaire pour le nombre 10 qui correspond au 2 du monde décimal, on passe ensuite à 11, on a ensuite besoin d'un troisième rang ici, pour exprimer 100, c'est-à-dire le nombre 4, et cetera. On peut remarquer que chaque colonne représente un poids, ici le poids 1, exprimé en décimal, le poids 2, le poids 4, le poids 8, qui correspondent d'ailleurs à 2 à la puissance 0, 2 à la puissance 1, 2 à la puissance 2, et cetera. Lorsqu'on souhaite passer du binaire au décimal, c'est relativement simple, il suffit d'additionner les poids, donc ici on va dire qu'on a zéro fois le poids 1, qu'on a une fois le poids 2, qu'on a zéro fois le poids 4, on a une fois le poids 8, le résultat nous donne 8 plus 2, c'est-à-dire 10 en décimal. Le système binaire c'est très facile. Le problème qui se pose, c'est que dans le système binaire des nombres, on peut avoir des nombres aussi grands qu'on le souhaite. Or, dans la réalité, on va avoir des objets binaires de taille limitée, et c'est là que les problèmes commencent à se présenter. On a vu qu'une bascule peut mémoriser une valeur binaire, un bit, on parle de registre lorsqu'on est en face d'un ensemble de plusieurs bascules, un registre contient un mot binaire, remarquez que je n'ai pas écrit un nombre binaire, ce mot binaire peut avoir une signification a priori quelconque, et dans certaines situations, ce mot binaire va représenter un nombre. Essayons d'y voir un petit peu plus clair. On donne souvent un numéro à chacun des bits, ici j'ai présenté un octet, un mot de 8 bits, on va donner des numéros qui commencent par zéro, les informaticiens ont toujours l'habitude de commencer par zéro, on termine ici au bit 7, prenons un exemple concret: on a une valeur binaire placée dans un registre. La seule chose qu'on peut affirmer, c'est que ce bit est à 1, ce bit est à 1, et que les autres bits sont à zéro. Il n'est pour le moment pas question de nombres. D'ailleurs, nous aurons l'occasion de voir dans un dispositif que nous allons utiliser très souvent dans ce cours "Comprendre les microcontrôleurs" que, à cet endroit-là, d'un certain registre, se trouvera une led rouge connectée, qu'à cet endroit se connectera une led verte, donc on peut dire qu'avec ce mot binaire dans le registre en question, on va allumer la lampe rouge et on va éteindre la lampe verte, on ne peut rien dire d'autre. Par contre, si ce mot est considéré comme un nombre binaire, alors on peut faire ce qu'on a fait tout à l'heure, calculer sa valeur en décimal, ici une fois 1, zéro fois 2, fois 4, fois 8, fois 16, une fois 32, ça nous donne donc le résultat 33. La question c'est que ce mot binaire qui représente un nombre binaire, est-ce que c'est possible de travailler avec lui? Et en fait c'est tout le problème de l'arithmétique modulaire qu'on va essayer d'effleurer maintenant. Prenons pour simplifier un exemple, qui n'est pas très utilisé, mais les mots de 3 bits. Chaque mots de 3 bits peut représenter 8 nombres différents. C'est en effet la valeur de 2 à la puissance 3. On peut par exemple décider de représenter les nombres positifs allant de zéro à 7, c'est-à-dire de zéro à 2 à la puissance 3 moins 1. Est-ce que l'addition, dont on a l'habitude en arithmétique, peut fonctionner? Prenons un exemple: 10 plus 1. Comme il s'agit de nombres de 3 bits, je devrais écrire ici clairement les valeurs des deux autres bits. je vais faire le calcul, zéro plus 1 me donne 1, 1 plus zéro, me donne 1, zéro plus zéro me donne zéro, le nombre écrit en binaire, ici c'était la valeur 2, ici c'était la veleur 1, le résultat c'est 3, tout semble parfaitement correct. Prenons un second exemple. On va additionner la valeur 3 à la valeur 3. Le total sera: 1 plus 1, ça me donne zéro, j'ai une retenue de 1. 1 plus 1 plus 1, ça va me donner 1, avec une retenue de 1, et ici j'ai donc un 1. Et maintenent je mets les valeurs en binaire, j'avais le nombre 3, j'avais le nombre 3, ici j'ai la valeur zéro fois 1, plus une fois 2, plus une fois 4, c'est donc bien égal à la valeur 6, c'est donc tout à fait correct. Prenons un dernier exemple, la valeur 6 auquel j'additionne la valeur 3. Et au total j'obtiens: zéro plus 1 me donne un, 1 plus 1 me donne zéro, je retiens 1, 1 plus 1 me donne zéro, et j'ai encore une retenue. Là il se pose effectivement un problème. J'avais ici le nombre 6, j'avais ici le nombre 3, et mon résultat est égal à 1. Pourquoi? Parce qu'en réalité j'ai perdu le 1 qui devrait se trouver là, puisque, je vous le rappelle, nous avons décidé de travailler des mots de 3 bits. On est arrivé à ce qu'on appelle le dépassement de capacité. Donc, comme on l'a vu, on obtient un dépassement de capacité, le résultat est en fait privé du bit de poids 8 qui n'existe pas sur une notation à trois bits, et en fait, du point de vue arithmétique, le résultat c'est vraiment 6 plus 3, modulo 8, je rappelle que le modulo, c'est le reste de la division entière, une opération arithmétique très importante. Essayons de mieux comprendre ces nombres modulaires positifs. Et il y a deux représentations qui vont nous aider à mieux les comprendre, d'une part de cercle, et d'autre part cette fonction que nous allons voir ici. Qu'est-ce qui se passe? Lorsque je pars de zéro, l'incrémentation, l'ajout de 1, va me passer à 1, à 2, à 3, à 4, à 5, à 6, à 7, avec les valeurs binaires correspondantes que vous avez pu lire ici. Lorsque je rajoute 1 à 7, je retombe sur zéro, donc cette notation en cercle semble tout à fait cohérente. Mais qu'est-ce qui s'est passé? J'ai eu en réalité un dépassement de capacité. Cette frontière qui se trouve là correspond au dépassement de capacité, correspond à ce qu'on pourrait appeler une erreur de calcul. C'est un calcul juste modulo, mais ce n'est pas un calcul juste au sens habituel du terme. dans cette représentation, on va représenter les nombres sur une droite, qui est évidemment infinie, par contre, la fonction correspondante ne peut prendre que les huit valeurs qu'on peut exprimer avec 3 bits, et de nouveau on a ce phénomène de dépassement de capacité qui va se produire lors du passage de la valeur 7 à la valeur zéro, à chaque fois qu'on franchit cette ligne-là. Il reste encore un problème important, c'est la possibilité de représenter des nombres négatifs, on est très souvent intéressé d'avoir à la fois des nombres positifs et négatifs, et de ne pas devoir les traiter séparément au niveau d'un programme, et il existe plusieurs solutions pour représenter ces nombres négatifs. je ne vais pas toutes vous les énumérer, évidemment, utilisons plutôt celle qui est la plus utilisée, qu'on appelle la notation à complément à deux. En fait j'ai repris les deux dessins de tout à l'heure, mais cette fois on a décidé d'attribuer, bon, la même chose pour le zéro, pour le 1, pour le 2, pour le 3, mais ici on a décidé de faire une frontière qui sera la frontière du dépassement de capacité, et les nombres qui suivent seront moins 4, moins 3, moins 2, moins 1, et puis ici zéro. Alors ça ce n'est pas vraiment une frontière on passe simplement des nombres négatifs aux nombres positifs, ou des nombres positifs aux nombres négatifs, je mets quand même ici une petite ligne, mais c'est une ligne en quelques sortes correcte du point de vue des calculs, par contre, la ligne qui est dangereuse, le dépassement de capacité, qui avant se trouvait dns cette région-là, se trouve maintenent dans cette région-là. Et on voit bien sur l'autre diagramme que on a le même problème lorsqu'on passe ici de 3 à moins 4, on a un dépassement de capacité. Alors, il est à noter que la plupart des microcontrôleurs sont capables de faire du calcul sur ces nombres négatifs, sans qu'on leur dise rien de spécial, le problème c'est que par exemple le langage C n'est pas capable de signaler ces dépassements de capacité. Le processeur qui est à l'intérieur du microcontrôleur sait le faire, mais le C ne donne pas, en quelques sortes, cet accès. Donc, ces nombres négatifs, très souvent, on les utilise en 8 bits, en 16 bits ou en 32 bits, avec 4 bits ils vont seulement de zéro à 15, donc de moins 8 à plus 7, heu, on va de zéro à 255 pour 8 bits, avec des nombres négatifs ici, la même chose pour 16 bits, la même chose pour 32 bits, à noter que même en nombres positifs et négatifs, vous voyez que pour 32 bits on arrive déjà à des nombres extrêmement importants, et ces nombres de 32 bits peuvent être tout à fait manipulés par des microcontrôleurs. Les noms qu'on donne à ces nombres de taille limitée, alors le byte et l'octet c'est effectivement des noms connus et bien standardisés, byte à l'anglaise, octet est bien souvent utilisé en français, pour les autres valeurs, il existe des standardisations, mais qui ne sont malheureusement pas du tout suivies, on voit souvent le terme de nibble pour des mots de 4 bits, mais pour les mots de16 bits et de 32 bits, je n'ai même pas osé mettre une valeur parce que c'est relativement incohérent, et en particulier les langages de programmation ne sont pas toujours très clairs à ce sujet, il faudra être extrêmement prudent avec le langage C à propos des types correspondants à ces valeurs arithmétiques. L'écriture de nombres en binaire est fastidieuse. C'est trop long. Si vous avez des mots de16 bits, c'est difficile de reconnaître les 1 et les zéros là, au milieu. La conversion en décimal est aussi quelque chose de relativement compliqué. C'est la raison pour laquelle on utilise très souvent une notation en hexadécimal simplement pour exprimer des nombres binaires plus faciles à écrire. Quelle va être la méthode? Et bien on va simplement ici regrouper par morceaux de 4 bits et ensuite donner un code pour chacun de ces morceaux de 4 bits. Voilà le code qui est à disposition. Zéro, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, évidemment, comme le système décimal, comme il a fallu rajouter des caractères, et bien ici on a rajouté les premières lettres de l'alphabet. Alors ces nombres hexadécimaux, on les reconnaît facilement, parce qu'ils ont souvent, non seulement des chiffres, mais également, les premières lettres de l'alphabet, et, je rappelle, il faut couper le nombre binaire en tranches de 4 bits, bien entendu depuis la droite, et ensuite bien sûr coder chaque groupe avec ces chiffres de zéro à F. Un autre système qui n'a strictement rien à voir mais que parfois les gens confondent, c'est le système BCD. Alors le système BCD il n'est plus beaucoup utilisé, mais il est encore parfois utilisé, par exemple pour les circuits horloges. Il s'agit bien dans ce cas-là de nombres décimaux, il faut s'en souvenir. Chaque chiffre décimal est codé sur 4 bits. Par exmple, un mode 16 bits peut coder des nombres BCD de zéro jusqu'à seulement 9'999. Prenons un exemple. Voilà une valeur horaire, 21h35 codée en BCD 2, 1, codés chaque fois sur 4 bits, 3, 5, de la même manière, mais il ne s'agit pas d'hexadécimal, et il faut bien comprendre que le passage du binaire au BCD nécessite de nombreuses opérations, que c'est cette fameuse conversion du binaire au décimal, et c'est encore plus compliqué pour passer du décimal au binaire. Terminons ce chapitre par parler du codage des caractères, on a certainement entendu parler du code ASCII, qui est effectivement extrêmement ancien, il date de 1963, il était codé à l'époque sur 7 bits, ce qui ne nous arrange pas du tout, et ce qui est dramatique pour nous autres, francophones, c'est qu'il ne contient pas de lettres accentuées. Voilà ce code tel qu'il est, tel qu'il a été standardisé, prenons par exemple la lettre T pour regarder comment est-ce qu'on la code, ici sur la ligne on a la valeur 4, donc ça signifie qu'on aura la valeur zéro, 1, zéro, zéro pour les bits de poids faibles, et là ici j'ai la valeur 5 qui va coder les bits de poids forts, 1, zéro, 1, donc ici la lettre T correspond bien à cette valeur binaire 1010100, donc un mot de 7 bits. Il est à noter qu'il existe beaucoup d'extensions du code ASCII qui malheureusement ne sont pas compatibles les unes avec les autres, et c'est une jungle relativement compliquée, même sur internet plusieurs codes cohabitent, on utilise assez souvent un code qui s'appelle l'UTF et en particulier sa version 8 bits UTF-8, mais d'autres codes sont également utilisés. En ce qui concerne les microcontrôleurs, disons qu'on n'a pas très souvent besoin de lettres accentuées, et qu'on peut assez bien s'en sortir avec le système ASCII traditionnel. Donc je vous rappelle que dans ce chapitre, nous avons parlé de numération binaire, nous avons parlé de nombres binaires de taille limitée, nous avons parlé du codage des nombres négatifs, et nous avons également abordé la question de l'hexadécimal, du BCD et également du codage des caractères.
