[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Мы уже говорили о том, что упругая среда
— это такая сплошная среда, для которой может быть введен упругий потенциал.
При таком определении принципиальную роль играет понятие работы деформации,
которое мы вводили как работу, совершаемую полем напряжений при деформации
элементарного объема сплошной среды.
Энергия, соответствующая работе деформации, это лишь часть энергии,
которая может существовать в среде, подвергаемой динамическому воздействию.
Существенную часть энергетического баланса могут составлять и другие виды энергии,
например, кинетическая энергия движения материала среды.
Зададимся вопросом: «А имеется ли уравнение,
которое управляет движением энергии»?
Такое уравнение есть, и в случае упругой среды оно может
быть выведено из тех соотношений, которые мы уже обсуждали.
Разберем, как оно может быть получено.
Рассмотрим простейший вариант линейно-упругой среды в отсутствие
массовых сил, когда уравнение движения выглядит следующим образом.
Это будет ρ d²
ui/dt² =
d σij/dx j.
Здесь по индексу j, повторяющемуся индексу предполагается суммирование.
Э-э-э, это три уравнения, так как i пробегает индекс 1, 2, и 3.
Сделаем следующее преобразование.
Умножим каждое из этих уравнений на dui/dt
и затем просуммируем ∑ по i,
то есть сложим все три уравнения.
У нас получится ½ ρ
d/dt [∑
по i (dui/dt
)²] = (а справа я припишу то,
что у нас должно быть) dσij/dxj
× dui /dt.
Здесь у нас справа по всем индексам производится суммирование,
то есть происходит полная свёртка.
В результате получается скалярное выражение.
Э-э-э, в левой части получившегося равенства нетрудно убедиться,
стоит ровно то, что я говорил.
Это левая часть предыдущего уравнения,
умноженная на dui/dt с последующим суммированием по i.
В этом можно непосредственно убедиться,
раскрывши вот эту операцию дифференцирования.
Преобразуем правую часть получившегося э-э-э выражения.
Я его еще раз перепишу здесь, где σij/dxj
× dui/dt = (и запишу это следующим
образом) d/dxj
(σij dui/dt)
− σij/d²
ui/dxj/dt =
(дальше я перепишу это в следующем
виде) d/dxj (σij ×
dui/dt) − ½
σij d/dt
(dui/dxj + duj/ dxi).
Вот данное преобразование вот этого слагаемого,
которое здесь записано выше, возможно за счет того,
что тензор σ ij у нас обладает симметрией.
σij = σji.
Мы работаем с тензором истинных напряжений.
В данном случае мы говорим о линейной теории упругости и малых
деформациях, когда все тензора, которые мы вводили, совпадают.
Тензор σij обладает симметрией,
в результате этой симметрии мы можем переписать (как я уже говорил) вот
это слагаемое вот в следующем виде, как это здесь сказано.
Постольку-поскольку по всем индексам, повторяющимся здесь,
предполагается полное суммирование, и мы имеем дело с полной свёрткой.
Э-э-э, теперь не трудно заметить, что то, что здесь записано,
это есть d /dxj (σij ×
dui/ dt)
− σij ×
Εij с точкой, где Εij с точкой — это просто производная
по времени от нашего тензора малых деформаций.
В данном случае я под Εij имею в виду тензор малых
деформаций и ij, который у нас вводился ранее.
Это ½ dui/dxj
+ duj/dxi.
Рассмотрим теперь функцию w
= ½ σij × Εij.
Это есть не что иное, как плотность энергии деформации,
которая может быть переписана в следующем виде: ½ Cij
× Kl × Εij × Εkl.
В данном случае, эта функция совпадает с тем самым упругим потенциалом,
который мы вводили, определяя упругую среду.
Это выражение также называют потенциальной энергией деформации.
Давайте рассмотрим производную от функции w по времени.
dw/dt = ½ σij
с точкой (в данном случае я имею в виду дифференцирование σij
по времени) Εij + ½
σij × Εij с точкой
= ½ Cijkl
× Εkl с точкой
× Εij +
½ Cijkl
× Εkl × Εij с точкой.
Это есть Cij
kl × Εkl × Εij.
Я могу это записать в силу симметрии тензора упругих констант,
так как Cijkl = Ckli j.
Таким образом, мы можем окончательно записать,
что dw/dt = σij × Εij с точкой.
Это в точности вот это слагаемое,
которое у нас было получено выше, когда мы преобразовывали
правую часть получившегося исходного соотношения.
Таким образом, я могу записать следующее
выражение для получившейся правой части в следующем
виде: dσij /dxj ×
dui/dt = d/dxj
(σij × dui/d
t) это у меня
вот это слагаемое и минус вот это,
а для этого у нас получилось dw/dt.
Окончательно мы имеем:
d/dt [½ ρ ∑
по i dui/dt)² (это
сумма скоростей)] =
d/dxj (σij
× dui/
dt) − dw/dt.
Введем теперь следующие функции.
E = ½ ρ
∑ по i (dui/dt
)² + w.
Это выражение называется внутренней энергией упругой среды.
Также рассмотрим следующий вектор вот с такими компонентами:
Sj = − σij × du i/dt.
Глядя на полученное выражение и введенное обозначение,
я могу это выражение переписать следующим образом: d E/dt
+ div S = 0
Полученное уравнение называется
уравнением неразрывности энергии.
Вот так я его буду и обозначать — уравнение неразрывности энергии.
Это уравнение является одним из фундаментальных уравнений в
механике сплошной среды.
Это уравнение впервые было получено замечательным русским ученым и философом
Николаем Алексеевичем Умовым примерно в 70-х годах XIX века,
который является основоположником учения о движении энергии.
Это уравнение и его аналоги являются одним из фундаментальных
уравнений механики и физики и встречаются в различных областях.
Десятью годами после Умова такое же уравнение на основе
идеи Умова было предложено Деном Пойтингом
для системы уравнения электродинамики.
Соответствующий вектор S, который мы ввели,
называется вектором Умова-Пойнтинга и это уравнение показывает,
что энергия в твердых телах может вести себя наподобие жидкости в гидромеханике.
Мы уже встречали похожие уравнения в различных областях физики и, в частности,
одним из аналогов этого уравнения является уравнение неразрывности в гидромеханике.
Я вот сейчас его здесь воспроизведу.
dρ/dt + div (ρv) = 0.
Нетрудно заметить, что то, что я написал,
очень похоже на уравнение неразрывности, которое мы сейчас
только что получили для энергии.