17.A1 Définition et notations des torseurs

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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne

Mécanique : Solide Indéformable

25 notes

École Polytechnique Fédérale de Lausanne

Mécanique : Solide Indéformable

25 notes

Ces quelques leçons de mécanique du solide indéformable font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable Cette partie traite la mécanique du solide indéformable. Dans certains établissements, cette matière est vue avec une application des torseurs. Aussi, nous avons inclus dans cette partie un supplément de formation sur ce sujet. Deux leçons introduisent les torseurs. Le cours de mécanique se poursuit alors avec l'option de voir comment la matière présentée par le prof. Ansermet peut aussi être appréhendée avec l'usage des torseurs. Ces compléments ont été préparés par le Prof. Paul Salmon Ngohé Ekam de l'Ecole Nationale Supérieure Polytechnique de Yaoundé, Cameroun. Les exercices peuvent être résolus sans ou avec les torseurs, suivant l'option choisie. 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne

À partir de la leçon

17 Mécanique d'un système de points matériels

Cette leçon étend les lois de Newton à un système de points matériels. On arrive à des résultats fondamentaux pour tout problème de mécanique et on les appliquera dans la suite de ce MOOC au cas particulier du solide indéformable. Ceux qui n'auraient pas suivi les deux parties précédentes peuvent rapidement prendre connaissance de nos conventions de notation en regardant les modules placés au début de cette leçon. Ceux qui souhaitent se familiariser avec l'usage des torseurs devront suivre aussi les leçons 17.A et 17.B. Nous vous recommandons de consacrer une semaine à chacune de ces deux leçons complémentaires.

17.A1 Définition et notations des torseurs13:36

17.A2 Propriétés et opérations sur les torseurs27:37

17.A3 Typologie et éléments centraux des torseurs29:49

17.A4 Torseurs associés à des champs de vecteurs12:48

Rencontrer les enseignants

Jean-Philippe Ansermet
Professeur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Paul-Salomon Ngohe-Ekam
Professeur
Département de Mathématique et de Sciences Physiques, ENSP Yaoundé

Bienvenue au cours de mécanique de l'EPFL.

Je suis l'ingénieur-docteur NGOHE-EKAM

et j'ai le privilège, à partir de la leçon 17,

de vous entretenir sur les torseurs

et quelques unes de leurs applications en mécanique.

Vous savez,

les torseurs, pour plusieurs d'entre vous, sont des grandeurs nouvelles,

mais en fait ce sont des outils

qui nous sont offerts par les mathématiques.

À partir des entiers naturels, utilisés depuis l'école primaire,

nous avons évolué, dans les outils mathématiques,

en passant par les entiers relatifs, les fractions rationnelles,

puis nous sommes arrivés aux nombres irrationnels

et même jusqu'aux nombres réels.

Après les nombres, nous sommes passés par les nombres complexes.

Maintenant, après les nombres complexes,

à l'aide de la géométrie, nous avons pu introduire

la notion de vecteur,

et le vecteur était composé de plusieurs scalaires,

qui étaient les composants des vecteurs dans une base.

Et bien, les torseurs, comme nous allons le voir,

seront des grandeurs, qu'on va appeler des grandeurs torsorielles,

mais que l'on peut caractériser par des composantes

qui sont cette fois-là vectorielles.

Dans cette première partie,

je vais vous parler de la définition et de la notation des torseurs.

À l'issue de cette première leçon,

vous serez capables de définir entièrement les torseurs.

Vous comprendrez aussi totalement la façon de noter les torseurs.

Ce sera pour nous le module 17.A1.

Dans le module 17.A2, nous allons vous parler

des propriétés et des opérations sur les torseurs.

Vous serez capables de [Coupure] propriétés des torseurs,

mais aussi faire des opérations sur les torseurs.

Pour le module 17.A3,

nous présenterons la typologie des torseurs

et des éléments centraux d'un torseur.

Le module 17.A4 parlera des torseurs associés à des champs de vecteurs.

Donc, sans plus tarder,

passons à la définition des torseurs.

Les torseurs sont des éléments de mathématiques

très utilisés dans la représentation des actions mécaniques,

mais aussi, les torseurs permettent de caractériser le mouvement d'un solide,

mais aussi de formaliser, ou de formuler de la manière la plus générale

plusieurs lois de la mécanique.

On va le voir aussi,

les torseurs permettront de déterminer les grandeurs énergétiques,

telles que l'énergie cinétique, ou la puissance.

Qu'est-ce-que c'est donc un torseur ?

Un torseur est la donnée

d'un vecteur libre noté <i>R</i>

et appelé résultante du torseur.

Ce vecteur étant libre, il a la même valeur

en tout point de l'espace.

À ce vecteur est associé un vecteur lié,

qui lui, a des valeurs qui dépendent du point de l'espace auquel on se trouve,

et en un point quelconque <i>P</i> de l'espace affine,

ce vecteur est noté <i>mP</i>,

<i>m</i> pour désigner le moment du torseur au point <i>P</i>.

Mais attention,

ces 2 vecteurs sont obligés de vérifier la propriété suivante,

avant de composer un torseur,

et la propriété est celle-ci :

en tout point <i>P</i> et <i>Q</i> de l'espace,

le moment au point <i>P</i> est égal au moment au point <i>Q</i>

plus le produit vectoriel <i>PQ</i> et <i>R</i>.

Et cette propriété est appelée la propriété fondamentale des torseurs.

On ne peut pas travailler avec des torseurs

et ignorer cette propriété.

Un torseur, donc, constitué d'un vecteur résultante <i>R</i>

et d'un moment au point <i>P</i>,

est noté <i>[T]</i>, pour signifier torseur,

et indice <i>P</i>, pour dire au point <i>P</i>,

est donc noté par la donnée,

on met une accolade pour dire

que les 2 vecteurs doivent être ici en même temps,

d'un vecteur <i>R</i> et du moment en <i>P</i>.

La même notation peut donc être faite soit avec une accolade ouverte,

ou alors une accolade ouverte et une accolade fermée,

mais mieux encore, entre 2 crochets ouverts et fermés.

<i>R</i> et moment en <i>P</i>

sont appelés coordonnées vectorielles

du torseur <i>[T]</i> au point <i>P</i>.

Un bon exemple de torseur,

et c'est un type de torseur que nous avons tous utilisé,

même si nous ne l'avons pas appelé ainsi, torseur,

c'est le torseur de forces appliquées à un solide.

Et voilà comment nous l'avons utilisé jusque là.

Donc, on considère un solide soumis à un ensemble de forces,

nous prenons le cas d'un solide soumis à 2 forces,

dont en <i>A</i>, la force <i>F1</i>,

au point <i>B</i>, une autre force, peu nous importe,

la force <i>F2</i>.

Donc, le solide étant soumis à ces forces,

nous allons déterminer ces éléments de réduction.

Et comme on le sait, les éléments de réduction d'un torseur,

en un point, nous choisissons le point <i>O</i>,

sont sa résultante

et son moment au point <i>O</i>.

Et bien, pour ce torseur de forces appliquées,

la résultante sera, bien sûr,

la somme des deux forces,

et le moment résultant sera la somme

des moments résultants des deux forces,

donc le moment de la force 1 en <i>O</i>

et le moment de la force 2 en <i>O</i>,

où moment de la force 1 en <i>O</i>

est égal à <i>OA</i> vectoriel <i>F1</i>,

<i>OA</i> est la position relative de la force par rapport à <i>O</i>,

et moment de 2 en <i>O</i>

est égal à <i>OB</i> vectoriel <i>F2</i>.

Ainsi, notre torseur

de forces appliquées,

et vous notez, ici, que la lettre <i>T</i> pour le torseur

est remplacée par <i>F</i> pour parler de forces appliquées,

peut donc s'écrire selon la notation vectorielle

comme <i>R</i>, une résultante qui est la somme des forces,

et comme moment résultant en un point <i>O</i>,

la somme des moments,

moment de la première force en <i>O</i> plus moment de la deuxième force en <i>O</i>.

Et nous constatons bien que

c'est un torseur auquel nous sommes habitués,

torseur de forces appliquées.

Je pense qu'à ce niveau,

nous comprenons bien que les torseurs en tant que tels

ne sont pas aussi nouveaux pour nous.

Présentons maintenant la notation des torseurs.

La façon dont nous avons noté le torseur précédemment

est appelée la notation vectorielle.

Donc le torseur est noté

comme une matrice unicolonne

qui présente sa résultante et son moment.

Une deuxième notation du torseur

nous est due au physicien Julius Plücker,

et elle porte son nom, à savoir la notation plückérienne,

ou encore notation scalaire.

Elle tient du fait que les 2 vecteurs <i>R</i> et moment en <i>P</i>

pouvant s'exprimer dans une base quelconque de l'espace vectoriel,

si <i>X</i>, <i>Y</i> et <i>Z</i>

sont les composantes de <i>R</i> dans la base vectorielle,

que <i>L</i>, <i>M</i>, <i>N</i>

sont les composantes du moment au point <i>P</i> du torseur,

alors le torseur est écrit

sous forme d'un tableau à 3 lignes, 2 colonnes,

où la première colonne est composée des composants respectifs

du vecteur résultante du torseur,

et la deuxième colonne constituée

des composantes du moment de ce torseur,

et on prend bien le soin de préciser

que ce tableau-là représente la composante scalaire, ou plückérienne,

du torseur au point <i>P</i>, et dans la base <i>xi</i>, <i>y</i> et <i>z</i>.

On peut aussi noter <i>P</i>, entre parenthèses la base,

ce qui nous donne l'occasion de préciser

la notation duale.

Elle semble plus légère,

et en fait elle est assez légère

pour nous aider à faire quantités de calculs sur les torseurs

avec la plus grande aisance.

Pour la notation sous forme duale

du torseur <i>T</i> de <i>P</i>, ou <i>T</i> en <i>P</i>,

on le note simplement <i>R</i>, qui est la résultante,

plus <i>ε</i> moment en <i>P</i>.

<i>ε</i> est un nombre dual absorbant,

caractérisé par le fait que

toutes ses puissances entières supérieures à 1 sont nulles.

On a <i>ε²</i> est égal à zéro, <i>ε³</i> égal zéro, etc.

Et cette propriété de <i>ε</i> facilite énormément les calculs,

comme nous allons le voir par la suite,

pour les torseurs.

Notons que des nombres comme cela ne sont pas nouveaux,

vous vous rappelez bien que pour les nombres complexes,

on les traitait à peu près comme des réels,

mais en tenant compte du fait que <i>i² = -1</i>.

Donc voilà les 3 formes principales de notation des torseurs.

Pour conclure,

nous dirons

que jusqu'ici, nous avons défini un torseur

par la donnée de 2 vecteurs,

un libre, qui est la résultante du torseur,

et un autre lié, dont la valeur dépend du point auquel on le calcule,

les 2 vecteurs étant reliés

par la relation fondamentale des torseurs,

mais qu'on dit aussi souvent la relation fondamentale des moments.

Ensuite, nous avons vu les 3 façons principales

de représenter un torseur,

à savoir la notation vectorielle,

la notation plückérienne, ou scalaire,

et ensuite la notation duale.

Dans la suite du cours,

nous allons parler des propriétés et des opérations

que l'on peut effectuer sur les torseurs.

Je vous remercie.

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