[MUSIQUE] Bonjour. Au cours de cette dernière séance d'exercices, nous allons nous intéresser au comportement d'une particule dans un potentiel périodique tel que par exemple un électron dans un solide cristallin. Un tel réseau est caractérisé par un potentiel attractif, puits de potentiel, au voisinnage de chaque noyau, séparé par des intervalles où le potentiel est voisin de 0. Nous allons ainsi étudier les états propres d'énergie ou solutions stationnaires de l'équation de Schrödinger en exploitant la périodicité du réseau. Nous montrerons que la structure périodique conduit à l'apparition de bandes d'énergie permises, bandes séparées par des régions d'énergie interdites. Cette caractéristique des réseaux périodiques est le fondement même de la théorie des solides conducteurs, isolants et semi-conducteurs, et a de très nombreuses applications. De façon à pouvoir mener facilement les calculs, nous allons appliquer des simplifications supplémentaires au modèle précédent. Nous allons tout d'abord considérer un réseau unidimensionnel. Ensuite, nous allons remplacer le potentiel électrostatique par un puits de potentiel rectangulaire avec un potentiel constant et égal à V0 dans une région de largeur petit b au voisinnage des centres attracteurs, et un potentiel nul en dehors de ces régions. Enfin, comme dans le cas de la barrière de potentiel infiniment fine étudiée précédemment, nous allons simplifier encore plus le problème en faisant tendre la largeur de la barrière vers 0 tout en maintenant sa force, à savoir le produit de sa largeur par sa hauteur, petit b fois V0, constant. Le potentiel étant périodique par morceaux, nous pouvons, comme nous l'avons fait à plusieurs reprises, résoudre l'équation de Schrödinger à l'intérieur de chaque région de potentiel constant, et raccorder les différentes solutions en utilisant les propriétés de la continuité de la fonction d'onde. Dans l'intervalle n moins un demi de a, n plus un demi de a, la solution générale de l'équation de Schrödinger s'écrit comme la superposition de deux ondes de De Broglie sous la forme psi n de x est égal à alpha n fois exponentielle de i lambda fois x moins na plus bêta n fois exponentielle de moins i lambda fois x moins na. L'équation de Schrödinger se réduit alors à une relation de dispersion reliant le vecteur d'onde lambda à l'énergie sous la forme lambda est égal à racine de 2 m E sur h barre dans le cas où l'énergie E est positive. La continuité de la fonction d'onde au point x0 est égal à n plus 1 demi fois a s'écrit psi de x0 plus est égal à psi de x0 moins, ce qui se traduit par une relation entre les coefficients alpha et bêta dans les régions n plus 1 avec les coefficients alpha n et bêta n sous la forme alpha n plus 1 exponentielle de moins i lambda a sur 2 plus bêta n plus 1 exponentielle de plus i lambda a sur 2 est égal à alpha n exponentielle de plus i lambda a sur 2 plus bêta n exponentielle de moins i lambda a sur 2. En présence d'un potentiel infini, la dérivée de la fonction d'onde n'est pas continue. Mais comme nous l'avons fait à plusieurs reprises, nous pouvons déterminer la discontinuité de cette fonction d'onde en intégrant directement l'équation de Schrödinger de part et d'autre de la barrière. Cette dernière s'écrit h barre au carré sur 2 m fois d 2 psi sur dx carré est égal à V de x moins E fois psi. L'intégration directe donne la discontinuité de dpsi sur dx sous la forme dpsi sur dx en x0 plus moins dpsi sur dx en x0 moins est égal à 2 m sur h barre au carré fois psi de x0 fois l'intégrale sur la barrière de V de x moins E. Pour une barrière infiniment fine, en maintenant le produit d fois V0 constant, cette discontinuité s'écrit sous la forme moins 2 m d fois V0 plus E sur h barre au carré fois psi de x0. Notons Q égal 2 m d V0 plus E sur h barre au carré, ce qui peut aussi s'écrire comme le produit de la largeur d de la barrière fois le carré du vecteur d'onde k dans cette dernière. On obtient une seconde relation de récurrence sous la forme i lambda fois alpha n plus 1 exponentielle de moins i lambda a sur 2 moins bêta n plus 1 exponentielle de plus i lambda a sur 2 est égal à i lambda fois alpha n exponentielle de plus i lambda a sur 2 moins bêta n exponentielle de moins i lambda a sur 2 moins Q fois alpha n exponentielle de plus i lambda a sur 2 plus bêta n exponentielle de moins i lambda a sur 2. En utilisant les deux relations obtenues précédemment, à savoir tout d'abord la continuité de la fonction d'onde, et ensuite la discontinuité de la dérivée obtenue par intégration directe de l'équation de Schrödinger de part et d'autre du potentiel, on obtient une relation matricielle entre les alpha n plus 1 et bêta n plus 1 d'une part, et alpha n et bêta n d'autre part. Le potentiel étant périodique, on admet que les solutions physiques doivent présenter la même périodicité. La variable physique mesurable est la densité de probabilité de présence, à savoir la norme au carré de la fonction d'onde. La condition de périodicité s'écrit alors, pour tout x, norme au carré de psi de x plus a est égale à la norme au carré de psi de x. Cela peut aussi s'écrire sous la forme, pour tout x, psi de x plus a est égal à dzêta fois psi de x où dzêta est un nombre complexe de norme 1. Cette solution respecte la condition de périodicité tout en respectant également l'équation de Schrödinger. Du fait de la présence d'un laplacien dans l'équation de Schrödinger, on peut relativement aisément montrer que dzêta ne doit pas dépendre de la position x, car dans chaque intervalle, les solutions doivent être des superpositions d'ondes planes progressives et régressives. Le problème se réduit alors à la relation de transfert, alpha n plus 1 bêta n plus 1 est égal à dzêta alpha bêta. Ainsi, la relation de transfert entre une cellule et la suivante se résume à un problème de diagonalisation de la matrice de transfert. Cette dernière est de déterminant 1, et admet donc des valeurs propres de la forme dzêta est égal à exponentielle de i phi. Nous sommes donc ramenés à un problème de diagonalisation de la matrice de transfert, et les états propres du Hamiltonien sont aussi états propres de cette matrice. L'équation caractéristique s'écrit 1 plus i Q sur 2 lambda fois e puissance i lambda a moins e puissance i phi fois 1 moins i Q sur 2 lambda fois e puissance moins i lambda a moins e puissance i phi moins Q au carré sur 2 lambda au carré est égal à 0, qui après quelques calculs se simplifie sous la forme cosinus de lambda a moins grand F sur lambda a fois sinus de lambda a est égal à cosinus phi avec grand F est égal à a Q sur 2. L'équation cosinus de lambda a moins F sur lambda a fois sinus de lambda a est égal à sinus phi admet des solutions si et seulement si la norme du terme de gauche est inférieure à 1, ce qui dépend de la valeur de F. Pour grand F est égal à 0, cette condition est trivialement vérifiée pour toute valeur de lambda a. À mesure que F augmente, il existe des valeurs de lambda a pour lesquelles cette condition est vérifiée, et d'autres pour laquelle elle ne l'est pas. La vidéo présentée ici montre sous la forme d'une courbe rouge la fonction cosinus de lambda a moins F sur lambda a fois sinus de lambda a. La bande horizontale en rouge clair indique la région de normes inférieures ou égales à 1 où il existe une valeur de phi acceptable. Commençons par une valeur de F est égal à 0, et faisons-la croître. À mesure que F augmente, on voit apparaître en bleu sur la vidéo des domaines dans lambda a où le terme de gauche a une norme inférieure à 1 et où il existe donc une solution. Les régions en blanc sont celles où il n'y a pas de valeurs acceptables. Il apparaît ainsi une structure en bandes. À mesure que F augmente, les bandes deviennent de plus en plus fines, et la bande centrale au voisinnage de lambda a égal à 0 disparaît. Regardons maintenant la forme des fonctions d'onde. La vidéo présentée ici reprend en haut la structure en bandes commentée précédemment. En bas, nous montrons la densité de probabilité de présence, c'est-à-dire la norme au carré de la fonction d'onde pour le ou les états correspondant au milieu de chacune des bandes autorisées. On observe deux choses importantes. Tout d'abord, la densité de probabilité de présence est bien périodique comme cela avait été imposé au début du calcul. Ensuite, la densité de probabilité de présence est continue en tout point, mais exhibe des points anguleux, c'est-à-dire des discontinuités de sa dérivée à la position des atomes. Cette discontinuité, on l'a vue au cours de cette séance, est due au fait que l'on a approché la forme du potentiel par des barrières infiniment fines et infiniment hautes. Pour des barrières plus réalistes, la dérivée de la fonction d'onde serait également continue. Comme dans le cas des barrières de potentiel notamment, les solutions d'énergie négative peuvent êtres décrites par la somme d'exponentielles réelles croissantes et décroissantes dans chaque région sous la forme psi n de x est égal à alpha n exponentielle de lambda x moins na plus bêta n exponentielle de moins lambda x moins na, avec lambda est égal à racine de moins 2 m E sur h barre. Comme pour les solutions d'énergie positive, on écrit les conditions de continuité de la fonction d'onde et de discontinuité de la dérivée de la fonction d'onde, et on écrit la condition de périodicité de la fonction d'onde. Le calcul se fait formellement de la même façon que pour les solutions d'énergie positive, en remplaçant i lambda par lambda. Se faisant, les exponentielles complexes se transforment en exponentielles réelles, et sinus et cosinus deviennent des sinus et cosinus hyperboliques. La condition d'existence d'un niveau d'énergie s'écrit ainsi comme dans le cas d'une solution d'énergie positive en remplaçant cosinus et sinus de lambda a par cosinus et sinus hyperbolique de lambda a. Pour F est égal à 0, il existe une solution unique correspondant à lambda a égal 0. Dès que F est non nul, cette solution unique se transforme en une bande permise qui s'élargit progressivement. Enfin, lorsque F atteint la valeur 2, cette bande permise se scinde en deux bandes symétriques, et la région au voisinnage de lambda a égal à 0 devient interdite. Selon la valeur de F, il n'existe ainsi qu'une ou deux bandes permises, et non une infinité comme dans le cas des solutions d'énergie positive. Au cours de cette séance d'exercices, nous avons ainsi vu que dans une structure périodique apparaissent des bandes d'énergie permises et interdites. Le modèle de Kronig-Penney, développé dès 1931, et étudier ici permet ainsi une première description du comportement d'une particule dans un réseau cristallin périodique qui peut être soit un métal conducteur, soit un semi-conducteur, soit un isolant selon les positions des différentes bandes et leur remplissage respectif par des électrons. Cette dernière séance d'exercices est maintenant terminée. Nous espérons que vous avons apprécié ce cours, et souhaitons vous revoir prochainement. Au revoir. [MUSIQUE]
