Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons étudier un puits de potentiel fini. Nous allons mettre en place une méthode graphique pour déterminer les différents états stationnaires. Et nous allons montrer qu'il existe toujours au moins un état lié. Reprenons l'expression de l'équation aux valeurs propres en présence d'un potentiel grand V que nous avons déjà vu à de nombreuses reprises. Moins h barre 2 sur 2 m d2 psi sur d x carré est égal à E moins V fois psi. De façon plus générale, cette équation peut se mettre sous la forme d2 psi sur d x carré est égal à plus ou moins k 2 fois psi, où le vecteur d'onde k dépend du potentiel au point considéré. Le signe devant k au carré dépend des valeurs relatives de l'énergie et du potentiel. Il est négatif là où l'énergie est supérieure au potentiel. Ainsi, dans le puits, on a k0 est égal à racine de 2 m E sur h barre. Et en dehors, kv est égal à racine de 2 m fois V moins E sur h barre. Nous sommes en présence d'un potentiel symétrique par rapport au point x égal 0. Ainsi que cela a été montré dans le cours, cela implique qu'il existe une base d'états propres constituée exclusivement de fonctions d'ondes soit paires, soit impaires. Nous allons rechercher de telles solutions. Construisons la base d'états propres. Dans le puits, on a d de psi sur d x carré est égal à moins k0 au carré fois psi. Les solutions paires se mettent sous la forme psi de x est égal à A cosinus k0 x. Les solutions impaires se mettent quant à elles sous la forme psi de x est égal à B sinus fois k0 x. Où grand A et grand B sont des constantes à déterminer. En dehors du puits, pour des états liés donnés par une énergie E inférieure à grand V, on a d de psi sur d x carré est égal à plus kv au carré fois psi. Ce qui donne des solutions en exponentielles réelles. Les solutions paires se mettent sous la forme psi de x est égal à C fois exponentielle de moins kv fois la valeur absolue de x. Et celles impaires se mettent sous la forme D fois le signe de x fois exponentielle de moins kv fois la valeur absolue de x. Où C et D sont deux nouvelles constantes à déterminer. Regardons tout d'abord les solutions paires. Le potentiel étant fini, les fonctions d'onde et leurs dérivées premières sont toutes les deux continues en x égal à a. Les relations de continuité s'écrivent A cosinus k0 a est égal à C fois exponentielle moins kv a. Et moins k0 A sinus k0 a est égal à moins kv fois C fois exponentielle de moins kv a. En effectuant le rapport entre ces deux relations, on obtient k0 tangente k0 a est égal à kv. Qui relie le vecteur d'onde dans le puits et en dehors. Regardons ensuite les solutions impaires. Là encore, les fonctions d'onde et leurs dérivées premières sont continues en x égal à a. Les relations de continuité s'écrivent A sinus k0 a est égal à C exponentielle de moins kv a. Et k0 A cosinus k0 a est égal à moins kv fois C fois exponentielle de moins kv a. En effectuant de la même façon le rapport entre ces deux relations, on obtient k0 cotangente de k0 a est égal à moins kv, qui relit le vecteur d'onde dans le puits et en dehors d'une façon différente à celle obtenue pour les solutions paires. On a ainsi plusieurs relations reliant le vecteur d'onde k0 dans le puits à celui kv en dehors du puits. La première relation valable pour les solutions paires s'écrit kv est égal à k0 tangente de k0 a. Cette fonction passe par le point origine et s'annule pour tous les multiples demi-entiers de pi sur a. Elle tend vers l'infini et change de signe aux multiples entiers de pi sur a. Elle est représentée en bleu sur le graphique de droite. La seconde relation valable pour les solutions impaires s'écrit sous la forme kv est égal à moins k0 fois cotangente de k0 a. Cette fonction est assez similaire à la précédente. Tracée en rouge sur le graphique, elle forme des branches qui s'intercalent entre les branches en bleu de la première fonction. Enfin, les vecteurs k0 et kv dépendent tous les deux de l'énergie. Plus précisément, on a k0 au carré plus kv au carré est égal à 2 m V sur h barre carré. Cette dernière équation est celle d'un cercle dont le rayon croit avec le potentiel V. Les solutions correspondant aux états stationaires correspondent aux intersections entre les fonctions bleues et rouges avec le cercle tracé en vert. Ces intersections sont en nombre variable, en fonction notamment de la valeur du potentiel et de la largeur du puits. Dans la mesure où la fonction k0 tangente k0 a passe par le point origine, quelle que soit la valeur du potentiel, il y a toujours au moins une solution. La vidéo ci-contre vous montre l'évolution du nombre d'états stationnaires lorsque le potentiel augmente. Au fur et à mesure que le rayon du cercle reliant k0 à kv augmente, le nombre d'intersections avec les courbes bleues et rouges augmente également. Les états stationnaires paires et impaires apparaissent ainsi successivement. On observe également que l'état fondamental ne s'annule pas donc. Le premier état excité s'annule une fois, le second deux fois, et ainsi de suite comme le veut le théorème de Sturm–Liouville. Regardons maintenant ce qui se passe lorsque l'on fait varier la largeur du puits. Les fonctions rouges et bleues dépendant de k0 fois a, elles se dilatent à mesure que petit a diminue. Et leurs points d'annulation se décalent vers la droite. Le nombre de solutions diminue alors progressivement, à mesure que les courbes croisent le cercle. A la limite où la taille du puits tend vers 0, il reste un état lié et un seul. Nous l'avons déjà vu au cours de la séance d'exercices 5.3, les boîtes quantiques ont de nombreuses applications. Elles sont en général construites à partir de semi-conducteurs dans lesquels on insère des cubes d'un autre semi-conducteur avec une bande interdite plus petite que celle du substrat. Au cours de la séance 5.3, nous avons étudié le cas peu réaliste d'un puits de potentiel infini. Nous avons vu aujourd'hui qu'en contrôlant précisément la taille de la boîte, on peut non seulement ajuster les niveaux d'énergie, mais également le nombre d'états stationnaires. On peut ainsi construire des boîtes avec aucun, un ou plusieurs états excités permettant d'émettre ou d'absorber des photons de différentes longueurs d'onde. Cette séance est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie et à bientôt.
