Bonjour, au cours de cette séance d'exercices nous allons étudier les propriétés de continuité d'une fonction d'onde et de sa dérivée première en présence d'un potentiel V de x éventuellement discontinu. Cette étude sera nécessaire pour les exercices des prochaines séances au cours desquelles nous étudierons la transmission et la réflexion d'une particule par une marge de potentiel, puis la transmission par une barrière de potentiel et l'effet tunnel qui peut lui être associé. Nous allons utiliser pour cela les propriétés de l'équation de Schrödinger. Considérons donc un potentiel V de x variant éventuellement rapidement au voisinage du point x zéro. On encadre ensuite ce point par les points x zéro plus epsilon et x zéro moins epsilon, où epsilon est un nombre infinitésimal. On s'intéresse aux états stationnaires pour lesquels nous allons déterminer les propriétés de continuité. L'équation de Schrödinger indépendante du temps, ou équation aux valeurs propres qui décrit les états stationnaires, s'écrit : moins h barre 2 sur 2 m d de psi sur d x carré est égal V moins E fois psi de x. En intégrant cette équation entre x zéro moins epsilon et x zéro plus epsilon, on obtient la relation d psi sur d x en x zéro plus epsilon moins d psi sur d x en x zéro moins epsilon est égal à moins 2 m sur h barre carré fois l'intégrale de V de x moins E psi de x d x. Le terme de gauche correspond à la discontinuité de la dérivée première de psi. Sachant que la fonction d'onde est toujours finie, dans le cas où le potentiel est fini mais éventuellement discontinu, l'intégrale de droite tend vers zéro lorsqu'epsilon tend vers zéro. On obtient ainsi la limite quand epsilon tend vers zéro de d psi sur d x en x zéro plus epsilon moins d psi sur d x en x zéro moins epsilon est égal à zéro. Cela implique que la dérivée première de psi est continue, et par intégration, la fonction d'onde elle-même est continue. Dans le cas où le potentiel est infini d'un côté, la relation obtenue précédemment reste vraie. Le terme V de x moins E est alors infini d'un côté de x zéro. Afin d'éviter que l'intégrale ne diverge, il est impératif que la fonction d'onde psi de x soit identiquement nulle partout là où le potentiel est infini. Une autre façon de justifier ce dernier point est de revenir à l'expression de l'énergie cinétique. La densité d'énergie cinétique s'écrit comme le produit de E moins V par la norme de psi au carré. Dans la mesure où l'énergie totale est finie ainsi que l'énergie cinétique, la norme de psi au carré est identiquement nulle là où le potentiel est infini. Nous avons donc montré qu'en présence d'un potentiel fini éventuellement discontinu, la fonction d'onde et sa dérivée première sont continues. Cela nous permettra de traiter de nombreux problèmes en remplaçant un potentiel quelconque par une approximation constante par morceaux qui sera nettement plus facile à traiter. Cette dernière pourra être traitée de façon analytique ou numérique dans chacun des segments. La solution complète sera obtenue en raccordant les différents morceaux à l'aide des relations de continuité que nous avons démontrées. Cette séance est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie et à bientôt. [AUDIO_VIDE]