[MUSIQUE] Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons étudier le comportement d'une particule dans un puits de potentiel infini. Nous allons voir que le fait de confiner la particule dans un volume limité va aboutir à une quantification des niveaux d'énergie, c'est-à-dire une discrétisation des valeurs possibles d'énergie. De la même façon, les états propres seront, bien qu'en nombre infini, dénombrables et bien séparés les uns des autres. À travers une décomposition d'un paquet d'onde sur une base d'états propres, nous serons ensuite en mesure de mettre en évidence le mouvement quantique d'une particule dans un puits, mouvement qui apparaît dès lors que l'on place la particule dans un état différent d'un état stationnaire, et correspondant à la superposition de plusieurs états d'énergies différentes. Les puits quantiques ont de nombreuses applications, notamment en optoélectronique. On construit en général des structures à deux dimensions que l'on appelle alors boîtes quantiques. Ces dernières sont notamment utilisées dans des tablettes tactiles de dernière génération, pour fabriquer des pixels du dit QD-LED, c'est-à-dire quantum dot LED, qui peuvent fournir une lumière dans une grande gamme de couleurs, bien plus que les LED classiques. Un semi-conducteur est caractérisé par la présence d'au moins deux bandes de niveaux d'énergie, séparées par une énergie que l'on appelle bande interdite, ou gap en anglais, et qui est en général de l'ordre d'une fraction d'électronvolt. Dans son état normal, un semi-conducteur a les propriétés d'un isolant. Les électrons sont dans la bande de valence, totalement remplis, où ils assurent la cohésion du cristal. Ils ne peuvent alors pas circuler d'un noyau à l'autre. Lorsqu'un électron est excité, par exemple à l'application d'un champ électrique, il peut passer dans la bande de conduction, et circuler dans tout le solide. La propagation du courant se fait par deux effets simultanés : déplacement des porteurs de charge dans la bande de conduction, et déplacement des trous qu'ils laissent dans la bande de valence. Les boîtes quantiques sont en général construites à partir de semi-conducteurs dans lesquels on insère des cubes d'un autre semi-conducteur, avec une bande interdite plus petite que celle du substrat. Les électrons et les trous peuvent alors être prisonniers de ces boîtes quantiques dont la taille correspond à des niveaux d'énergie définis. Les paires électrons-trous dans ces boîtes peuvent être amenés dans un état excité. Lorsqu'elles se désexcitent ensuite, elles émettent un photon dont la longueur d'onde correspond à l'écart entre les deux premiers niveaux d'énergie, lequel est, comme nous allons le voir, directement fonction de la taille de la boîte. Il est ainsi possible de contrôler précisément la couleur émise par le pixel. De telles boîtes quantiques peuvent aussi être produites sous forme de colloïdes, dans lesquels les boîtes quantiques sont en suspension dans une autre substance. Ces boîtes quantiques colloïdales, colloidal quantum dots ou CQD en anglais, peuvent être rendues fluorescentes dans le visible avec de la lumière ultraviolette, comme le montre l'image ci-contre. En effet, l'absorption d'un photon UV dans le semi-conducteur permet d'exciter une paire électron-trou, autrement appelée exciton, dont la désexcitation ultérieure produit la lumière de fluorescence observée. Il suffit de faire varier la taille nanométrique de ces boîtes pour obtenir des couleurs différentes. Ces boîtes quantiques peuvent aussi être utilisées en sens inverse, pour produire du courant électrique à partir de lumière. On parvient ainsi à créer des cellules photovoltaïques avec, depuis quelques années, un rendement voisin de 40 %. Revenons à notre problème. Nous allons tout d'abord rétablir rapidement les résultats du cours. Nous considérons donc une boîte de largeur petit a dans laquelle le potentiel est nul. En dehors de cette boîte, le potentiel est infini. La fonction d'onde est alors identiquement nulle en dehors de la boîte. Dans le cas contraire, l'énergie potentielle de la particule serait infinie. À l'intérieur de la boîte, l'évolution de la fonction d'onde psi(x,t) est décrite par l'équation de Schrödinger, i h barre d psi / dt =- h barre 2 / 2m (d 2 psi / d 2 x) + V(x) psi(x). Nous nous intéressons aux états propres du système, également appelés états stationnaires, qui correspondent à une valeur précise E de l'énergie. L'équation aux valeurs propres s'écrit alors E psi(x) =- (h barre 2 / 2m) (d 2 psi / d 2 x) + V(x) psi(x), dans laquelle le terme V(x) psi(x) peut être supprimé, car le potentiel est identiquement nul dans la boîte. La solution générale de cette équation différentielle du second ordre est simplement psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx) où A et B sont des constantes à déterminer. La valeur de l'énergie grand E s'écrit en fonction du vecteur d'onde petit k sous la forme E = h barre 2 k 2 / 2m, ce qui donne k = racine de (2 m E) / h barre. Afin de déterminer les constantes grand A et grand B, il faut imposer une condition de continuité de la fonction d'onde en 0 et en petit a. La fonction d'onde étant identiquement nulle en dehors de la boîte, elle doit également l'être sur les bords de la boîte. Ainsi, la continuité en 0 impose simplement grand B = 0. De même, la continuité en petit a s'écrit sin(k a) = 0, ce qui donne k = n pi / a, où n est un entier naturel non nul. On le voit, le fait de confiner la particule dans un volume réduit se traduit par des conditions de nullité de la fonction d'onde au point 0 et a, ce qui in fine aboutit à une quantification de l'énergie. Une onde stationnaire ne peut être présente dans la boîte que si la taille de cette dernière est un multiple entier de la longueur d'onde. Ce phénomène est relativement similaire à la vibration d'une corde dont on maintient les deux extrémités fixées. Seules certaines fréquences ou notes sont alors possibles, et ces notes dépendent directement de la longueur de la corde, ce que tout bon guitariste ou pianiste maîtrise parfaitement. Il reste à calculer la norme de la fonction d'onde. On écrit la solution générale sous la forme psi n(x) = A n fois sin(n pi x / a) où A(n) est l'amplitude à calculer. La condition de normalisation s'écrit simplement norme de A(n) au carré fois l'intégrale de sinus carré (n pi x / a) dx = 1. Ce calcul se fait simplement en utilisant le changement de variable u = n pi x /a. La condition de normalisation devient alors simplement norme de An au carré fois a / (n pi) fois l'intégrale de sinus carré (u) d u = 1. Cela permet d'obtenir l'amplitude A de l'onde à une phase arbitraire quelconque, que l'on peut choisir nulle, sous la forme A n = racine de (2 / a). La forme générale des solutions stationnaires est alors psi n(x) = racine de (2 / a) sin (n pi x / a), où n est un entier naturel non nul. Il y a une infinité dénombrable d'états propres dans le puits. Les états stationnaires sont décrits par les fonction d'onde psi n(x) = racine de (2 / a) sin (n pi x / a), où n est un entier naturel non nul. Ces fonctions d'onde s'annulent en x = 0 et en x = a, mais leur dérivée ne s'annule pas en ces points. Ainsi, la dérivée de la fonction d'onde est discontinue en ces deux points. Par ailleurs, outre les valeurs x = 0 et x = a, la fonction d'onde possède n- 1 nœuds, c'est-à-dire points de nullité, sur l'intervalle compris en 0 et 1. Ce point sera très général et constituera ce qui s'appelle le théorème de Sturm-Liouville. Les énergies correspondant aux différents états valent E n = h barre 2 k 2 / 2m = (h barre 2 n carré pi carré) / (2 m a carré), et elles sont toutes multiples entiers d'une énergie fondamentale, E 1 = (h barre 2 pi carré) / (2 m a carré). Les énergies ne sont donc pas équidistantes. Au contraire, les niveaux s'éloignent les uns des autres à mesure que l'énergie augmente. Enfin, les niveaux d'énergie sont inversement proportionnels à la largeur de la boîte au carré, ce qui permet en pratique de contrôler précisément ces niveaux. La vidéo ci-contre vous montre les fonctions d'onde correspondant aux quatre premiers niveaux d'énergie. On observe bien que la fonction d'onde s'annule n- 1 fois entre x = 0 et x = petit a, et que sa dérivée est non continue sur les bords du puits. Pour la suite de l'exercice, il sera plus pratique de placer l'origine au centre du puits. Nous effectuons ainsi le changement de variable y = petit x- a / 2. Les états propres s'écrivent alors psi ~ n(y) = A sin((n pi y / a) + (n pi / 2)). On le voit, le terme n pi / 2 introduit une rotation de pi / 2 entre deux états consécutifs, ce qui a pour effet de transformer le sinus (n pi y / a) successivement en cosinus,- sinus,- cosinus, puis de nouveau sinus. Ainsi, les premiers états s'écrivent psi 1(y) = A cos(pi y / a), psi 2(y) =- A sin(2 pi y / a), psi 3(y) =- A cos(3 pi y / a), et ainsi de suite. On remarque qu'une fonction propre sur deux est paire par rapport au centre du puits, et une sur deux est impaire. Dans tous les cas, la valeur moyenne de y est nulle, car la densité de probabilité de présence, qui s'écrit comme la norme de la fonction d'onde au carré est symétrique par rapport au centre du puits. Toujours en plaçant l'origine des coordonnées au centre du puits, nous allons maintenant étudier une superposition des deux premiers états propres, sous la forme psi(x) = alpha (psi 1(x) + i psi 2(x)). On peut aisément montrer que les deux premiers états propres sont orthogonaux entre eux. En effet, le premier est pair, le second impair, et le produit des deux est alors impair, son intégrale était nécessairement nulle. On verra dans la suite du cours que cette propriété est absolument générale et provient de l'algèbre linéaire. On obtient ainsi le facteur de normalisation alpha = 1 / racine de 2, à une phase arbitraire près. La fonction d'onde exprimée en fonction de y et au temps t = 0 s'exprime alors sous la forme psi(y) = (1 / racine de a) (cos (pi y / a)- i sin (2 pi y / a)). Pour déterminer l'évolution temporelle, il suffit de faire évoluer temporellement chacun des états propres, en l'affectant du facteur de phase, e(- i E t / h barre). On obtient ainsi psi(y) à tout instant t ultérieur, sous la forme psi(y,t) = (1 / racine de alpha) fois (cos(p y / a) e(- i E 1 t / h barre) - i sin(2 pi y / a) e(- i E 2 t / h barre)). La vidéo ci-contre vous montre l'évolution temporelle de cette superposition d'états. On obtient bien un comportement oscillant, la particule se déplaçant alternativement vers la gauche, puis vers la droite. Cependant, le comportement de la particule diffère d'un comportement classique. La particule n'est jamais totalement localisée d'un côté, la densité de probabilité de présence n'étant jamais nulle de l'autre côté. Enfin, le mouvement est totalement périodique. Au bout d'un certain temps, on retrouve la particule dans son état initial. Ainsi, le mouvement apparaît lorsqu'on place la particule dans une superposition d'états propres d'énergies différentes. Au contraire, une particule placée dans un état stationnaire voit sa densité de probabilité de présence invariante dans le temps. Il s'agit bien d'un état stationnaire. Déterminons maintenant la position moyenne de la particule au cours du temps, toujours en utilisant une origine au centre du puits. La valeur moyenne de x s'écrit sous la forme valeur moyenne de x = l'intégrale de psi*(x) x psi(x) dx. En remplaçant x par y on obtient a / 2 + l'intégrale entre- a / 2 et a / 2 de psi*(y) y psi(y) dy. Et pour finir, a / 2 + la valeur moyenne de y. La valeur moyenne de x = la valeur moyenne de y + a / 2, ce qui correspond bien à une translation de a / 2. La valeur moyenne de y s'écrit sous la forme de l'intégrale de y psi*(y) psi(y) dy. Son calcul est un peu compliqué. Reprenons tout d'abord l'expression de la fonction d'onde psi~(y,t) obtenue précédemment. On obtient alors l'expression suivante dans laquelle apparaissent des termes en sinus et en cosinus. Commençons par regrouper les termes en cosinus, on obtient l'intégrale de y cos carré (pi y / a) dy. Cette intégrale est celle d'une fonction impaire, puisque produit d'une fonction impaire y par une fonction paire cosinus au carré. L'intégrale est alors identiquement nulle. De même, regroupons les termes en sinus. On obtient l'intégrale de y sinus carré (2 pi y / a) dy. Pour la même raison, cette intégrale est également nulle. Il ne reste donc qu'à traiter les termes croisés. Dans ces derniers, on reconnaît le même produit du sinus par le cosinus que l'on va pouvoir factoriser. Reprenons l'expression précédente en ne gardant que les termes croisés. On peut factoriser le produit du cosinus par le sinus, des termes de phases opposées font alors apparaître un terme oscillant en fonction du temps sous la forme sin((- E2- E1) t / h barre). Il reste à calculer l'intégrale de y cos(pi y / a) sin(2 pi y / a) dy. Pour ce faire, faisons le changement de variable u = pi y / a. Il vient l'expression intégrale de 2 u cos carré(u) sin(u) du. La fin du calcul ne présente pas de difficulté majeure. On reconnaît dans le terme cosinus au carré fois sinus la dérivée de cosinus au cube et on peut alors effectuer une intégration par parties. Pour finir, on obtient- 16/9 (a / pi carré) sin ((E2- E1) t / h barre). Ainsi, la position moyenne de la particule oscille sinusoïdalement entre -0,18 a et +0,18 a, ce qui correspond au total à un peu plus du tiers de la taille totale du puits. Reprenons la vidéo précédente. La position moyenne, indiquée par une barre rouge, oscille bien d'environ 20 % de part et d'autre du centre du puits. Avant de terminer cette séance, regardons ce qui se passe lorsqu'on met un paquet d'onde gaussien à l'intérieur du puits de potentiel. Le paquet d'onde se met en mouvement, se déforme, un peu comme dans le cas d'un paquet d'onde libre et réfléchit sur les parois et commence à interférer avec les multiples réflexions. Très rapidement, la particule est totalement délocalisée dans le puits. Accélérons un peu le temps. Au bout de quelque temps, on voit apparaître des battements à l'intérieur du puits, battements qui sont produits par les interférences entre les différents allers-retours. Si l'on attend encore, le paquet d'onde finit par se dédoubler, les énergies étant alternativement multiples paires et impaires de l'énergie du fondamental. Cela correspond à l'instant où les termes de phase valent respectivement 1 ou -1. Enfin, si l'on attend encore, il vient un moment où le paquet d'onde se reforme. Cela se produit au temps t = h barre divisé par l'énergie du fondamental. À cet instant, les termes de phase sont tous égaux à 1 et la fonction d'onde retrouve son état initial. Cette séance est maintenant terminée, merci de l'avoir suivie et à bientôt. [MUSIQUE]
