[MUSIQUE] Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons étudier la propagation d'un paquet d'onde gaussien libre. Un tel paquet d'ondes est la représentation quantique d'une particule libre, c'est-à-dire sans interaction. En mécanique classique, la propagation d'une particule est décrite par les lois fondamentales de la dynamique. En l'absence de potentiel, ces lois se réduisent alors à la conservation de l'impulsion. Nous verrons dans un premier temps qu'en mécanique quantique, des lois fondamentales, relation, cinématique et principe fondamental de la dynamique, restent valides, mais à condition de les appliquer aux valeurs moyennes de la position et de l'impulsion. Ensuite, en étudiant plus en détail la propagation d'un paquet d'ondes, nous verrons apparaître un phénomène nouveau propre à la mécanique quantique. La propagation du paquet d'onde sera caractérisé par un étalement progressif de ce dernier lié au fait que la relation de dispersion est non linéaire. En mécanique classique, le mouvement d'une particule est régi par deux principes fondamentaux. La relation cinématique qui relie la position à sa variable conjuguée, à savoir l'impulsion. Le principe fondamental de la dynamique qui relie la variation de l'impulsion à la somme des forces exercées sur la particule. Pour une particule libre, ce principe s'énonce simplement comme la conservation de l'impulsion. En mécanique quantique, la position et l'impulsion ne sont pas des quantités physiques en tant que telles. Ce sont des opérateurs mathématiques qui s'appliquent sur la fonction d'onde. Par contre, les valeurs moyennes calculées sur une fonction d'onde particulière et elles seules ont un sens physique. Afin de déterminer l'équivalent en mécanique quantique des principes fondamentaux de la dynamique, on détermine l'évolution des valeurs moyennes de la position et de l'impulsion au cours du temps. Il y a deux solutions pour effectuer ce calcul. La première solution consiste à écrire simplement la valeur moyenne de la position, puis à la dériver sur l'intégrale, et enfin à utiliser l'équation de Schrödinger et son complexe conjugué de façon à remplacer les dérivées temporelles par des dérivées d'espace. Il reste alors à intégrer deux fois par partie pour obtenir le résultat final. La deuxième solution et nettement plus rapide consiste à utiliser les propriétés de la transformée de Fourier et de passer en représentation impulsion ou plus précisément en représentation vecteur d'onde k. Le terme x psi de x peut en effet s'écrire comme la dérivée de phi de k par rapport à k. La position moyenne s'écrit alors comme une intégrale sur phi de k et sa dérivée. En représentation impulsion, l'équation de Schrödinger est nettement plus simple, car elle s'écrit maintenant comme une équation algébrique au lieu d'une équation différentielle. Le calcul se déroule alors très simplement. Il suffit de dériver sous le signe intégral, d'insérer l'équation de Schrödinger en représentation impulsion, et de regrouper les différents termes. On retrouve alors en valeur moyenne la relation cinématique de la mécanique classique. De même, en écrivant l'impulsion dans sa représentation naturelle, on retrouve aisément le principe fondamental de la dynamique en l'absence de forces, c'est-à-dire la conservation de l'impulsion moyenne. On s'intéresse maintenant à un paquet d'onde gaussien centré sur 0 et d'impulsion moyenne p égal h barre k0. En représentation impulsion, la fonction d'onde s'écrit simplement, à un facteur de normalisation près, psi de k et de t égal 0 est égal à A exponentielle de moins k moins k0 au carré sigma carré. La fonction d'onde psi de x et de t égal 0 s'obtient par transformée de Fourier inverse. La valeur moyenne de l'impulsion h barre k0 introduit un terme de phase, exponentielle de plus i k0 x, et si le paquet d'onde était initialement immobile, ce terme de phase serait nul, et la fonction d'onde psi de x serait alors une gaussienne. On a utilisé ici le fait que la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne de variance inverse. Attention toutefois au facteur 4 inséré dans l'expression de psi de x au dénominateur. Il provient du fait que c'est la norme de psi de x au carré qui doit être normalisée, et non psi de x elle-même. La largeur de la densité de probabilité, norme de psi de x au carré, est bien de largeur sigma. On peut aisément se ramener à un paquet d'onde immobile en remplaçant k moins k0 par k. Ce changement de variable correspond en pratique à se placer dans le référentiel de la particule en translation rectiligne uniforme à la vitesse h barre k0 sur n par rapport au laboratoire. L'évolution temporelle de ce paquet d'onde est obtenue en résolvant l'équation de Schrödinger. Cette dernière est une équation différentielle du second ordre qui n'est pas évidente du tout à résoudre. Il est beaucoup plus efficace de partir de la représentation en impulsion, phi de k transformée de Fourier de psi de x, de déterminer son évolution temporelle, puis de revenir à la représentation position à l'aide d'une transformée de Fourier inverse. On prend donc le paquet d'onde minimal, et on se place dans le référentiel de la particule. Les fonctions d'onde en représentation position et impulsion s'écrivent respectivement psi de x et de t égal 0 est égal à B exponentielle de moins x carré sur 4 sigma 2, et phi de k et t égal 0 est égal à A exponentielle de moins k carré sigma 2. L'évolution temporelle de la fonction phi de k est déterminée par l'équation algébrique de Schrödinger. A un instant ultérieur, la fonction d'onde phi de k et de t s'écrit sous la forme phi de k et de t est égal à phi de k et t égal 0 multiplié par l'exponentielle de moins i h barre k 2 t sur 2 m. On applique ensuite la transformée de Fourrier inverse pour revenir en représentation position. On admettra ici que la transformée de Fourier d'une gaussienne en paramètres complexes se comporte de la même façon que pour des paramètres réels. On obtient ainsi l'expression psi de x et de t est égal à B exponentielle de moins x carré divisé par 4 fois sigma 2 plus i h barre t sur 2 m. On a ainsi déterminé la fonction d'onde à tout instant t. Le calcul de la norme est direct en multipliant la fonction d'onde par son complexe conjugué. Le point important est que le terme imaginaire au dénominateur introduit un accroissement de la norme. On observe ainsi un élargissement du paquet d'onde au cours du temps, quasiment proportionnel au temps. Cet élargissement peut aisément se comprendre à partir de considérations classiques. Considérons en effet une onde plane progressive monochromatique décrite par la fonction d'onde psi de x et de t est égal à psi0 exponentielle de i k x moins oméga t. La relation de dispersion obtenue à partir de l'équation de Schrödinger s'écrit h barre oméga est égal à h barre 2 k 2 sur 2 m. Cette relation est non linéaire. La vitesse de phase oméga sur k vaut h barre k sur 2 m et est proportionnelle à k. Les ondes de vecteurs d'onde élevés, c'est-à-dire de longueurs d'onde courtes se propagent plus vite que les ondes de longueurs d'onde élevées. Il en résulte naturellement une dispersion des différentes composantes de l'onde. Ce dernier point peut se comprendre aisément à la lumière de la mécanique classique. Le vecteur d'onde correspond, à un facteur h barre près, à l'impulsion et donc à la vitesse de la particule. Contrairement au cas de l'électromagnétisme, différentes impulsions correspondent ici à des vitesses de propagation différentes. Vous voyez sur la vidéo ci-contre l'évolution temporelle d'un paquet d'onde minimal d'impulsion non nulle. Après quelques temps, on observe que les longueurs d'onde les plus courtes sont situées à l'avant du paquet d'onde, tandis que les plus longues sont à l'arrière. L'élargissement progressif du paquet d'onde est clairement visible sur la vidéo.
