Bonjour. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons montrer que la transformée de Fourier d'une gaussienne de largeur sigma est aussi une gaussienne de largeur inverse (1 / sigma). Ce résultat sera également vrai pour une valeur complexe du paramètre sigma, et sera obtenu par un moyen détourné, en résolvant une équation différentielle vérifiée par la transformée de Fourier. Il s'agit d'un résultat très important pour la mécanique quantique. En effet, une particule est souvent représentée par un paquet d'onde gaussien. La transformée de Fourier de la fonction d'onde psi de x correspondant à l'amplitude de probabilité en impulsion phi de p sera alors également gaussienne. On montrera ainsi, au cours des séances suivantes, qu'un paquet d'onde gaussien, représentant une particule, est affecté par un élargissement progressif dû à la non linéarité de la relation de dispersion. Reprenons l'expression de notre gaussienne de largeur sigma, f(x) = (1 / racine de (2 pi sigma)) e (- (x 2) / (2 sigma 2)). Nous calculons ensuite sa transformée de Fourier, g chapeau (k) = (1 / (racine de (2 pi))) intégrale de f(x) e (- ikx) dx. En regroupant les termes dans l'exponentielle, nous obtenons e (- ikx- ((x 2) / (2 sigma 2))). Nous calculons ensuite la dérivée de g chapeau par rapport à k en dérivant sur l'intégrale. Nous obtenons (d g chapeau) / dk = l'intégrale de- ix e (- ikx- ((x 2) / (2 sigma 2))). Il reste à regrouper les termes pour faire apparaître la dérivée de l'argument de l'exponentielle, à savoir ik- (x / (sigma 2)). Il faut alors rajouter un terme en (k sigma 2) à la fin de l'équation. Le premier terme correspond à la dérivée de l'exponentielle et s'intègre donc facilement. En dépit de la présence d'un terme imaginaire dans l'argument de l'exponentielle, la présence du terme (x 2) / (sigma 2) assure que l'intégrale est bien nulle, y compris si sigma a une composante imaginaire. Il faut cependant que la partie réelle de sigma carré soit bien positive. Le deuxième terme nous donne directement- k (sigma 2) (g chapeau (k)). Nous avons donc obtenu une équation différentielle simple vérifiée par la transformée de Fourier g de f, à savoir (d g chapeau) / dk =- k (sigma 2) (g chapeau (k)). Cette équation bien connue du premier ordre admet une solution exponentielle, sous la forme (g chapeau) = A exp ((- (k 2) (sigma 2)) / 2). Il reste à vérifier la normalisation de la fonction. Pour cela, on utilise le théorème de Parseval-Plancherel, qui nous indique que | f(x) | au carré = | g chapeau (k) | au carré. En insérant les expressions respectives de f et de g, il vient (1 / (2 pi sigma)) l'intégrale de l'exp (- (x 2) / (sigma 2)) = (A au carré) exp (- (sigma 2) (k 2)). Dans le membre de droite, on effectue le changement de variable x = k (sigma 2), qui permet de retrouver le membre de gauche, et donc de simplifier les intégrales. On obtient ainsi la condition de normalisation de g, sous la forme A = racine de (sigma / (2 pi)). Nous avons donc montré que la transformée de Fourier d'une gaussienne de largeur sigma est une gaussienne de largeur inverse (1 / sigma) et réciproquement. Cette relation reste vraie pour sigma complexe, à condition bien sûr que la partie réelle de sigma au carré soit positive, de façon à ce que la fonction tende vers zéro à l'infini. Dans le cas contraire, la norme de la fonction est en effet infinie. On retrouve également ici une propriété importante de la transformée de Fourier. La transformée d'une fonction étroite est une fonction large et réciproquement. Ce résultat sur la transformée de Fourier d'une gaussienne nous servira à de nombreuses reprises dans la suite du cours, et en particulier lorsque nous étudierons la propagation d'un paquet d'onde. Cette séance est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie et à bientôt.