Bonjour. Nous avons vu dans le cours qu'une particule quantique peut être représentée par une fonction d'onde psi de x et t, qui correspond à l'amplitude de probabilité de présence de cette particule. L'équation de Schrödinger permet de décrire l'évolution de la fonction d'onde au cours du temps, en couplant la dérivée temporelle de cette dernière aux dérivées d'espace. Cette équation relativement analogue aux équations de Maxwell, bien que du premier ordre entrant, est une équation différentielle linéaire, qui ne peut pas être résolue analytiquement dans le cas général. On retrouve des équations différentielles linéaires décrivant la propagation d'onde dans de nombreux domaines de la physique. Ondes électromagnétiques, ondes sonores, mais aussi diffusion de particules ou diffusion de la chaleur. C'est d'ailleurs l'étude des phénomènes de propagation de la chaleur qui a amené Joseph Fourier, mathématicien français du XVIIIe siècle, à s'intéresser à la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques, décomposition qui porte maintenant son nom. La transformation de Fourier est une généralisation des séries de Fourier aux fonctions non périodiques, dans laquelle la somme discrète de fonctions trigonométriques est remplacée par une intégrale continue. L'intérêt principal de la transformée de Fourier est d'associer aux variables naturelles, telles que la position et le temps, des variables dites conjuguées, vecteurs d'onde et pulsations, pour lesquelles les équations de propagation revêtent une forme beaucoup plus simple passant d'équations différentielles à des équations algébriques. On peut alors rapidement déterminer une classe particulière de solutions qui correspondent le plus souvent à des ondes planes. Dans un très grand nombre de problèmes de physique, la connaissance de cette classe de solutions, ainsi que celle des conditions initiales, permettront alors de déterminer l'évolution ultérieure du système. En mécanique quantique, la transformation de Fourier permettra d'associer à la fonction d'onde psi de x une représentation en vecteur d'onde k, ou en impulsion p, sous la forme d'une fonction d'onde phi de p. Nous verrons dans la suite du cours que cette définition de l'impulsion comme variable conjuguée de la position permet effectivement de retrouver les relations fondamentales de la dynamique, établissant ainsi le lien entre description ondulatoire et description particulière de la matière. Au cours de cette séance d'exercices, nous allons étudier quelques propriétés de la transformée de Fourier et aborder certaines de ses applications. En mathématique, la transformée de Fourier s'applique de façon générale aux fonctions intégrables. En mécanique quantique, nous nous restreignons aux fonctions de carré sommable, espace L2 de Schwartz, qui permettent de décrire des fonctions d'onde normalisées. En outre, nous nous intéressons en général à des particules décrites par un paquet d'ondes localisées dans l'espace. On peut alors supposer que la fonction d'onde décroît plus rapidement que toute puissance de x à l'infini. Plusieurs définitions sont possibles pour la transformée de Fourier, qui ne diffèrent les unes des autres que par les facteurs multiplicatifs dans l'exponentielle ou dans la normalisation. Dans ce cours, nous adoptons une notation dite symétrique. La transformée de Fourier est alors définie comme une opération F qui transforme une fonction de carré sommable f(x) en une autre fonction de carré sommable f chapeau (k), définie comme f chapeau (k) = (1 / racine de (2 pi)) intégrale de f(x) e (- ikx) dx. Dans l'espace L2 de Schwartz, la transformée de Fourier est une bijection. La transformée inverse notée F puissance (- 1) est l'opération qui à f chapeau (k) associe la fonction f(x), obtenue selon l'équation f(x) = 1 / racine (2 pi) intégrale de f chapeau (k) e (+ ikx) dk. Les deux opérations sont donc parfaitement symétriques l'une de l'autre, et ne diffèrent que par le signe appliqué dans l'exponentielle complexe. La transformée de Fourier est enfin une isométrie de l'espace L2, ce qui signifie qu'elle conserve le produit scalaire. Le théorème de Parseval–Plancherel, non démontré ici, s'écrit ainsi, l'intégrale de f1 étoile f2(x) dx = l'intégrale de f1 chapeau étoile (k) f2 chapeau (k) dk. La conséquence principale de cette propriété est la conservation de la norme ou de la probabilité de présence. La transformée de Fourier d'une fonction d'onde normalisée est également une fonction d'onde normalisée. Selon les propriétés de parité de la fonction f, on obtient des propriétés intéressantes sur cette transformée de Fourier. En particulier, si f est paire, f(- x) = f(x), sa transformée de Fourier vérifie alors f chapeau (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx) dx. On effectue le changement de variables x donne -x pour changer le signe de l'exponentielle. L'inversion des bornes d'intégration compensant le changement de signe de x. On obtient pour finir f chapeau (- k) = f chapeau (k). Ainsi, la transformée de Fourier d'une fonction paire est une fonction réelle. De même, si f est impaire, f(- x) =- f(x), sa transformée de Fourier vérifie alors f chapeau de (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx) dx. En utilisant le même changement de variables que précédemment, on obtient alors pour finir f chapeau (- k) =- f chapeau (k). Selon les propriétés de parité de la fonction f, on obtient des propriétés intéressantes sur sa transformée de Fourier. En particulier, si f est paire, f(- x) = f(x). Sa transformée de Fourier vérifie alors l'équation f chapeau (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx) dx. On effectue le changement de variable x donne -x pour changer le signe de l'exponentielle. L'inversion des bornes d'intégration compense le changement de signe de dx et on obtient pour finir f chapeau (- k) = f chapeau (k). Ainsi, la transformée de Fourier d'une fonction paire est une fonction paire. De même, si f est impaire, f(- x) =- f(x) et sa transformée de Fourier vérifie f chapeau (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx) dx, en utilisant le même changement de variables que précédemment, on obtient pour finir f chapeau (- k) =- f chapeau (k). Ainsi, la transformée de Fourier d'une fonction impaire est une fonction impaire. De même, si f est une fonction réelle, ou au contraire, imaginaire pure, sa transformée de Fourier va vérifier des relations intéressantes. Si f est réelle, f(x) = f étoile (x). Sa transformée de Fourier vérifie alors la relation f chapeau (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx). On inverse le signe de l'argument de l'exponentielle en passant au conjugué, et on obtient finalement l'équation f chapeau (- k) = f chapeau étoile (k). Et si f est imaginaire pure, f(x) =- f étoile (x), sa transformée de Fourier vérifie alors l'équation f chapeau (- k) = l'intégrale de f(x) e (+ ikx) dx. On effectue la même transformation que précédemment pour obtenir f chapeau (-k) =- f chapeau étoile (k). Le tableau ci-contre résume les propriétés de parité et de réalité de la fonction f et de sa transformée de Fourier. En particulier, si f est réelle et paire, sa transformée de Fourier l'est aussi. A contrario, si f est réelle et impaire, sa transformée de Fourier est imaginaire pure et impaire. Ces propriétés sont très utilisées en informatique pour accélérer le traitement d'un signal réel en économisant 50 % de la mémoire nécessaire au calcul et au stockage de la transformée de Fourier. Regardons maintenant quelques autres propriétés de la transformée de Fourier. Considérons en particulier une opération de translation d'une distance a. Cela revient à considérer la fonction g(x) = f(x- a), qui est bien la translatée de f d'une distance a. Sa transformée de Fourier s'écrit g chapeau (k) = l'intégrale de f(x- a) e (- ikx) dx. On effectue le changement de variable y = (x- a), et on fait sortir de l'intégrale le terme de phase e (- ika). On obtient finalement g chapeau (k) = e (- ika) f chapeau (k). Cela correspond à un déphasage proportionnel à la distance a et au vecteur d'onde k. La vidéo ci-contre vous montre l'effet de la translation sur la transformée de Fourier. La fonction de départ est montrée en haut, la norme de la transformée de Fourier au milieu et sa phase en bas. On observe bien que la norme de la transformée de Fourier est invariante dans la translation et que seule la phase varie. Considérons maintenant une opération de compression d'un facteur a positif. Cela revient à considérer la fonction g(x) = f(x fois a). Sa transformée de Fourier s'écrit g chapeau (k) = l'intégrale de f(x fois a) e (- ikx) dx. On effectue alors le changement de variable y = (x fois a), qui fait sortir un terme (1 / a) de l'intégrale. On obtient pour finir g chapeau (k) = (1 / a) f chapeau (k / a). Cela correspond à une opération de dilatation. Ainsi, plus une fonction est large et plus sa transformée de Fourier est étroite et réciproquement. La vidéo ci-contre vous montre l'effet de la compression sur la transformée de Fourier, avec les mêmes conventions que pour la vidéo précédente. On observe bien que la norme de la transformée de Fourier s'élargit au fur et à mesure que la fonction s se comprime. Pardon, je vais le redire, je ne suis pas à l'écran. On observe bien que la norme de la transformée de Fourier s'élargit au fur et à mesure que la fonction f se comprime. Regardons maintenant une opération de dérivation. Nous nous intéressons à la transformée de Fourier de (df / dx). Il y a deux façons de déterminer cette transformée de Fourier. La première consiste à utiliser la transformée de Fourier directe et à effectuer une intégration par parties. La seconde méthode, plus rapide, utilise la propriété d'inversion de la transformée de Fourier. On utilise l'expression de la transformée de Fourier inverse, f(x) = (1 / (racine de (2 pi))) intégrale de f chapeau (k) e (+ ikx) dx, que l'on dérive alors sous le signe somme, ce qui fait sortir un terme ik de l'exponentielle. On reconnaît dans l'argument de l'intégrale la transformée de Fourier inverse de ik fois f(k). Ainsi, par inversion, la transformée de Fourier de la dérivée de f est égale à la transformée de Fourier de f multipliée par ik. Par récurrence, on obtient aussi la transformée de Fourier de la dérivée n-ième de f, (dnf chapeau) / (dx puissance n) = ((ik) puissance n) f chapeau (k). La transformée de Fourier permet ainsi de simplifier les équations différentielles en les remplaçant dans l'espace conjugué par des équations algébriques. Reprenons l'équation de Schrödinger, (i h barre) (d psi / dt) = ((- h barre 2) / (2m)) laplacien de psi. Cette équation aux dérivées partielles est formellement identique aux termes complexes i près à une équation de diffusion de la chaleur. Lorsqu'on effectue une transformée de Fourier par rapport à la variable d'espace x, le laplacien se transforme en une multiplication par le vecteur d'onde au carré k 2. De même, en prenant ensuite une transformée de Fourier par rapport au temps t, avec une convention de signe inverse, on insère la variable conjuguée du temps, qui n'est autre que la pulsation oméga, et on obtient une équation algébrique h barre oméga phi = (((h barre 2) (k 2)) / (2m)) phi, ce qui n'est rien d'autre que la relation de dispersion d'une onde plane. On dispose ainsi d'une base de solutions. Connaissant l'état initial du système en représentation position, psi (x, t = 0), on obtient par transformée de Fourier sa valeur en représentation impulsion, phi (k, t = 0). Un instant ultérieur, la fonction d'onde s'écrit phi(k, t) = phi(k, t = 0) fois exp (- i (h barre k 2) / (2m)). Et par transformée de Fourier inverse, on connaît la fonction d'onde à tout instant. Ce procédé fonctionne pour toute équation différentielle linéaire. On a ainsi une méthode générique de résolution des problèmes de diffusion et de propagation par décomposition en une superposition d'ondes planes. Une autre opération très utilisée en traitement du signal est le produit de convolution. Ce dernier, noté h(x) = (f rond g)(x), est égal à l'intégrale sur y de f(y) g(x- y) dy. Ce produit peut être compris relativement simplement en considérant qu'en tout point x, on centre la fonction g sur x et on effectue le produit des deux fonctions. Cette technique est à la base du traitement du signal. Selon la forme de la fonction g, de nombreuses opérations telles que du floutage ou lissage, de l'extraction de contours peuvent être réalisées. La figure de gauche vous montre une opération de lissage. La fonction g en rouge est choisie avec une intégrale égale à 1, de façon à conserver la normalisation totale de la fonction f en noir. La courbe du bas donne le résultat de l'opération de convolution. On observe bien une forme similaire à la courbe du haut, mais avec des marches moins bien définies. La fonction est floutée. La même opération est réalisée sur la vidéo présentée maintenant à droite, mais avec une fonction de lissage plus étroite d'un facteur 5. Les contours sont moins flous. Voici maintenant une opération d'extraction de contours, toujours réalisée au moyen de produit de convolution. La fonction g, toujours en rouge, est ici choisie avec une intégrale nulle sous la forme d'un chapeau mexicain. Ainsi, partout où la fonction f est constante ou faiblement variable, le produit de convolution est nul. A contrario, le produit de convolution prend des valeurs importantes uniquement dans les régions où la fonction f varie rapidement, permettant ainsi de détecter ces discontinuités et variations rapides. L'échelle spatiale de variations peut être contrôlée au moyen de la largeur de la fonction g, comme le montre la différence entre la vidéo de gauche et celle de droite. Nous allons maintenant étudier en quoi le produit de convolution et la transformée de Fourier sont reliés. La transformée de Fourier d'une convolution s'écrit simplement sous la forme d'une intégrale double sur x et y, intégrale de f(y) g(x -y) e (- ikx) dx dy. On effectue ensuite le changement de variables, u = x- y et v = y. Le jacobien de cette transformation vaut simplement 1, et donc dx dy = du dv. En remplaçant dans l'équation précédente et en notant que x = u + v, on peut séparer les deux intégrales sur u et sur v. On reconnaît dans cette dernière, à un facteur de normalisation près, les transformées de Fourier respectives de f et de g. Ainsi, la transformée de Fourier de h s'écrit, à un facteur de normalisation près, comme le produit des transformées de Fourier de f et de g. Le calcul de la transformée de Fourier impose en principe de connaître l'intégralité de la fonction entre moins l'infini et plus l'infini. En pratique, on ne connaît qu'une partie de la fonction. Par ailleurs, on s'intéresse souvent à l'obtention d'une formation spectrale en continu pendant l'acquisition du signal. L'oreille humaine fonctionne de cette façon. Nous sommes capables de détecter en temps réel si un son est aigu ou grave, sans avoir à attendre longtemps. Pour ce faire, on définit une transformée de Fourier locale, qui n'est calculée que sur une fraction du signal. Cela revient en pratique à multiplier le signal entier par une fonction dite fenêtre, non nulle, uniquement pendant un intervalle de temps, et à effectuer la transformée de Fourier de ce produit. En vertu des résultats obtenus précédemment, la transformée de Fourier du produit est le produit de convolution de la transformée de Fourier du signal entier, par celle de la fonction de fenêtrage. Il est donc particulièrement important que cette dernière soit la plus régulière possible, afin d'éviter l'apparition de pics secondaires. De nombreuses fonctions de fenêtrage sont disponibles pour des applications diverses. Nous montrons dans les vidéos présentées ici l'effet de deux types relativement simples de fonctions de fenêtrage. Une fonction en créneaux à gauche et une fonction gaussienne nettement plus lisse à droite, toutes deux utilisées avec un signal périodique purement sinusoïdal, à la fréquence de 100 Hertz. Dans les deux cas, la transformée de Fourier exhibe bien un pic au voisinage de la fréquence de 100 Hertz, pic qui s'élargit au fur et à mesure que la taille de la fenêtre diminue. Ce coin est conforme aux propriétés de dilatation et contraction développées plus tôt, au cours de cette séance. Dans le cas d'une fenêtre en créneaux à gauche, on voit rapidement apparaître de nombreux pics secondaires relativement importants. En effet, une fonction en créneaux étant discontinue, sa transformée de Fourier présente des composantes importantes à haute fréquence. Au contraire, la transformée de Fourier d'une gaussienne est, nous allons le voir sous peu, une gaussienne. La figure de droite est nettement plus régulière. Par ailleurs, la transformée de Fourier d'une fonction en créneaux peut s'exprimer sous la forme d'un sinus cardinal, c'est-à-dire sinus x divisé par x. Cette dernière fonction présente des maxima secondaires, espacés régulièrement, qui s'éloignent les uns des autres à mesure que la taille du créneau diminue. On voit apparaître ces fréquences dites fantômes à la fin de la vidéo, lorsque la taille de la fenêtre devient comparable à la longueur d'onde du signal analysé. Cela illustre un point important du traitement du signal. Pour étudier un signal de longueur d'onde lambda, il faut que le signal mesuré soit suffisamment long pour comporter plusieurs de ces longueurs d'onde. De nombreux logiciels permettant de se familiariser avec la transformée de Fourier et ses applications en traitement du signal sont disponibles gratuitement sur Internet. Nous allons regarder ici une d'entre elles, Sonic Visualiser, développée sous licence GPL et donc librement téléchargeable. Voici un échantillon sonore du chant d'un oiseau, le chardonneret. La figure du bas montre l'évolution temporelle du signal sonore, que l'on peut comparer à une fonction d'onde. Il est extrêmement difficile d'identifier les structures sonores à partir de ce signal oscillant très rapidement. L'enveloppe du signal quant à elle est une indication du volume sonore. Voici maintenant le même signal mais en représentation fréquentielle. Le diagramme du bas correspond à la transformée de Fourier instantanée ou encore locale du signal, calculée à partir du signal original, multipliée par une fonction de fenêtrage. Pendant le chant de l'oiseau, on voit clairement apparaître dans le spectre des pics correspondant à des fréquences caractéristiques de son chant. Cette représentation est déjà nettement plus parlante, car elle correspond à notre perception naturelle des sons. L'oreille humaine identifie les sons par leur fréquence, c'est-à-dire par leurs caractéristiques aiguës ou graves. En vertu du théorème de Parseval–Plancherel, le volume sonore est également donné par la norme quadratique du spectre. Voici maintenant une nouvelle représentation du même signal que l'on appelle spectrogramme. L'axe horizontale correspond au temps et l'axe verticale au spectre en fréquences, c'est-à-dire à la transformée de Fourier locale. Regardons se dérouler le chant de l'oiseau. Le spectrogramme est composé de lignes relativement claires sur un fond plus uniforme. Les lignes correspondent aux lignes mélodiques du chant de l'oiseau, et permettent d'identifier beaucoup plus facilement ce dernier. Chaque ligne traduit en effet une phrase commençant sur une note ou une fréquence, et évoluant progressivement vers une autre note. On obtient ainsi une représentation graphique de la mélodie, un peu comme une partition de musique. Le spectrogramme est l'outil le plus performant pour caractériser une ligne mélodique et donc un chant d'oiseau. Voici un spectrogramme complètement différent du dernier, qui correspond au chant de la chouette. On identifie sur ce spectrogramme des lignes mélodiques plus longues, et composées de nombreuses fréquences. Ces dernières fréquences sont multiples les unes des autres, et sont appelées harmoniques de la fréquence la plus basse, également appelée fondamentale. On le voit aisément sur le spectrogramme, les lignes correspondant aux différents harmoniques évoluent parallèlement entre elles, pendant que l'oiseau module son chant. Voici les spectrogrammes correspondant au chant de trois oiseaux communs, l'alouette, le chardonneret et la chouette. Ils sont extrêmement différents les uns des autres. Avec un peu d'entraînement, il n'est pas très difficile d'identifier un oiseau à travers sa signature spectrale, c'est-à-dire son spectrogramme. Au cours de cette séance d'exercices, nous avons abordé quelques propriétés de la transformée de Fourier et montré l'étendue de ses applications. En mécanique quantique, elle sera indispensable dans bien des cas pour résoudre l'équation de Schrödinger. Elle sera également au cœur de propriétés absolument fondamentales telles que la relation d'incertitude de Heisenberg, que nous aborderons prochainement. Cette séance d'exercices est maintenant terminée. Merci de l'avoir suivie et à bientôt. [AUDIO_VIDE]
