[MUSIQUE] Bonjour. Au cours de cette séance, nous étudierons le cas idéal d'une barrière de potentiel. Nous réutiliserons tout d'abord les résultats obtenus dans le devoir, et nous utiliserons ensuite une méthode d'intégration directe de l'équation de Schrödinger pour retrouver plus rapidement le résultat. Ce calcul s'inspirera très largement de celui effectué lors de la séance d'exercices 6.1. Considérons donc une barrière de potentiel de largeur d et de hauteur V₀. Faisons maintenant tendre la largeur d vers 0, tout en maintenant le produit d fois V₀ constant, et donc en faisant tendre le potentiel vers l'infini. Nous allons étudier comment se comportent les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude dans ce cas limite. Rappelons rapidement les résultats du devoir. Le potentiel étant continu par morceaux, les états stationnaires sont construits à partir d'ondes planes, progressives et régressives, dans chaque région où le potentiel est constant, avec un vecteur d'onde différent dans chaque région. Hors de la barrière, où le potentiel est nul, le vecteur d'onde k zéro vaut racine de 2mE sur h barre. À l'intérieur de la barrière, où le potentiel vaut V₀, on doit distinguer deux cas : si l'énergie E est supérieure au potentiel V₀, le vecteur d'onde noté kV est réel et vaut racine de 2m E moins V₀ sur h barre ; les longueurs d'onde sont donc plus élevées à l'intérieur de la barrière qu'en dehors. Dans le cas où l'énergie E est inférieure au potentiel V₀, on a dans la barrière des ondes évanescentes correspondant à des vecteurs d'onde imaginaires purs conduisant à l'apparition de l'effet tunnel. On note alors kappa le paramètre de l'exponentielle réelle, correspondant à ikV et valant racine de 2m (V₀- E) sur h barre. Dans le cas étudié ici, le potentiel V₀ tend vers l'infini, et nous sommes donc toujours dans ce second cas. Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée sont utilisées à chaque frontière. On obtient ainsi quatre équations, deux relatives à la continuité de la fonction d'onde psi de x en x est égal à 0 et x est égal à d, et deux relatives à la continuité de la dérivée de la fonction d'onde en ces mêmes points, reliant les paramètres alpha, bêta, gamma, delta, epsilon et êta. Il reste deux familles de solutions, l'une correspondant à des ondes venant de la gauche, et l'autre à des ondes venant de la droite. Pour des ondes venant de la gauche, on peut annuler le paramètre êta qui correspond à une onde régressive dans le côté droit. Ces équations permettent alors de déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. En résolvant le système d'équations, on obtient alpha et bêta en fonction d'epsilon sous la forme indiquée ici. Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude s'écrivent simplement : R est égal à bêta sur alpha, et T est égal à epsilon sur alpha. Dans le cas qui nous intéresse ici, l'énergie E peut être négligée devant le potentiel V₀ dans la barrière. On a alors kappa très grand devant k₀. Par ailleurs, le terme kappa d peut s'écrire sous la forme d sur h barre racine de 2m (V₀- E). On peut faire sortir le terme V₀ de la racine pour retrouver la constante dV₀. Le terme sous la racine devient 2m (V₀- E) sur V₀ carré qui tend vers 0 lorsque V₀ tend vers l'infini. On effectue alors un développement limité à l'ordre de 1 en kappa d, en négligeant k₀ devant kappa des expressions précédentes, pour obtenir les relations de passage : alpha est égal à epsilon fois 1 plus i kappa au carré d sur 2k₀, et bêta est égal à epsilon fois moins i kappa au carré d sur 2k₀. La fonction d'onde juste à gauche de la barrière en x égal 0 moins vaut alpha plus bêta qui est égal à epsilon. La fonction d'onde est ainsi continue au passage de la barrière. Le calcul de la dérivée de la fonction d'onde se fait exactement de la même façon. S'agissant d'ondes planes, l'opération de dérivation consiste juste en la multiplication de la fonction d'onde par i fois le vecteur d'onde, avec un signe différent pour les ondes progressives et régressives. La dérivée d psi sur dx à gauche de la barrière en x est égal 0 moins vaut ik₀ fois alpha moins bêta, ce qui se développe en ik₀ moins kappa au carré d fois epsilon. La dérivée d psi sur dx à droite de la barrière en x est égal à 0 plus vaut simplement ik₀ fois epsilon. La variation de la dérivée d psi sur dx au passage de la barrière est la différence entre ces deux termes. On trouve alors : kappa au carré d fois epsilon, ce qui peut également s'écrire en fonction du potentiel et de la valeur de la fonction d'onde en x est égal à 0 sous la forme 2mdV₀ sur h barre au carré fois psi zéro. La dérivée de la fonction d'onde est ainsi discontinue, comme dans le cas d'une barrière de potentiel infinie étudiée dans une séance précédente. On peut retrouver ces résultats beaucoup plus rapidement par une intégration directe de l'équation de Schrödinger de part et d'autre de la barrière. Une première intégration autour du point x égal 0 donne la discontinuité de la dérivée d psi sur dx sous la forme : d psi sur dx en x est égal à 0 plus moins d psi sur dx en x est égal à 0 moins est égal à 2m sur h barre au carré fois psi de 0 fois l'intégrale sur la barrière de V moins E. Le potentiel étant constant et valant V₀ sur l'épaisseur d de la barrière, l'intégrale se simplifie en d fois (V₀- E). Lorsqu'on fait tendre d vers 0, en maintenant d fois V₀ constant, le terme d fois E tend vers 0 ; on retrouve bien le résultat précédent. Lorsque l'on fait tendre la largeur d de la barrière vers 0, on peut supprimer l'expression de la fonction d'onde à l'intérieur de la barrière. La fonction d'onde s'écrit simplement comme la superposition d'ondes planes à gauche et à droite de la barrière. En supprimant encore une fois le terme correspondant à une onde plane venant de la droite, la fonction d'onde psi de x peut s'exprimer sous la forme : psi de x est égal à alpha exponentielle de ik₀x plus bêta exponentielle de moins ik₀x à gauche de la barrière en x négatif, et psi de x est égal à epsilon exponentielle de ik₀x à droite de la barrière en x positif. Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée s'écrivent alors sous la forme : alpha plus bêta est égal à epsilon, et ik₀ alpha moins bêta est égal à ik₀ epsilon plus 2mV₀d sur h barre au carré fois epsilon. On peut alors aisément déterminer le coefficient de transmission en amplitude. En effet, epsilon s'écrit en fonction de alpha sous la forme : epsilon est égal à alpha divisé par 1 plus i mV₀d sur h barre au carré k₀. Et donc T est égal à 1 sur 1 plus m au carré V₀ au carré d au carré sur h barre au carré fois E. Et on retrouve ainsi très rapidement les résultats obtenus à la question précédente, où nous avions utilisé un développement limité des relations de passage déterminées dans le devoir. Au cours de cette séance d'exercices, nous avons étudié le cas limite d'une barrière de potentiel infiniment fine et infiniment haute mais d'intégrale constante. Nous avons pu déterminer les coefficients de réflexion et de transmission, à partir d'un développement limité des résultats obtenus dans le cas d'une barrière de potentiel finie. Dans un second temps, nous avons utilisé une approche plus rapide consistant en une intégration directe de l'équation de Schrödinger, permettant de retrouver les mêmes résultats. Le phénomène d'effet tunnel persiste dans le cas d'une barrière infiniment fine. Selon les cas, une résolution complète à partir de la détermination des états stationnaires ou une intégration directe de l'équation de Schrödinger peut s'avérer plus efficace. Il n'est pas toujours facile de déterminer a priori quelle méthode sera la plus efficace, mais il vaut toujours le coup de se poser la question. Cette séance d'exercices est maintenant terminée, merci de l'avoir suivie et à bientôt.
