4.3 Equation de Schrödinger dans le cas général

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En provenance du cours de École Polytechnique

Mécanique quantique

11 notes

École Polytechnique

Mécanique quantique

11 notes

Comme l'ont montré de plus en plus d'expériences effectuées dès le début du vingtième siècle, les lois de la mécanique newtonienne cessent d'être valables dès qu'on tente de les appliquer à très petite échelle, celle des atomes, des molécules ou des noyaux. On entre alors dans le domaine de la mécanique quantique, où les lois physiques prennent une tout autre nature qui a pu être formalisée de manière rigoureuse à la fin des années 1920. Cette véritable révolution intellectuelle est non seulement indispensable pour comprendre la véritable nature du monde physique, des particules élémentaires au big bang, mais elle est également à l'origine de la plupart des technologies modernes comme la micro-électronique, les lasers ou les télécommunications optiques. Ce cours constitue une première introduction à la mécanique quantique. En employant une approche historique et en s'appuyant sur une confrontation entre expériences et théorie, il vous permettra de comprendre les principes de base de la mécanique quantique et d'entrevoir quelques-unes de ses applications. Le cours se composera des huit séances ci-dessous. 1. Dualité onde-corpuscule 2. La fonction d'onde 3. Transformée de Fourier 4. De l'impulsion à l'hamiltonien 5. La particule quantique confinée 6. Mesures quantiques individuelles 7. Puis de potentiel à une dimension 8. Effet Tunnel

À partir de la leçon

De l'impulsion à l'hamiltonien

Ce chapitre nous permettra de manipuler les opérateurs position et impulsion, ce qui nous conduira à introduire l'équation de Schrödinger dans le cas général où l'énergie potentielle de la particule sera prise en compte. Lors des travaux dirigés, vous pourrez découvrir comment se propage un paquet d'ondes en l'absence d'énergie potentielle. Nous aborderons également le problème de la stabilité de la matière, qui est incompréhensible dans le cadre de la physique classique.

4.1 Résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre4:26

4.2 Distribution en impulsion d'une particule quantique7:42

4.3 Equation de Schrödinger dans le cas général7:01

Rencontrer les enseignants

Jean Dalibard
Professeur
Collège de France
Philippe Grangier
Professeur à l'Ecole polytechnique, Directeur de recherche au CNRS
Physique
Manuel Joffre
DR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Mathieu de Naurois
DR CNRS et Professeur associé
Département de Physique

[MUSIQUE]

Dans cette leçon, nous allons établir l'équation de Schrödinger dans le cas général d'une

particule soumise à des forces extérieures.

Pour y parvenir, commençons par revenir sur les notions de position

et d'impulsion en mécanique quantique.

Comme nous l'avons déjà vu plusieurs fois,

la valeur moyenne de la position peut s'écrire comme une intégrale faisant

intervenir le module carré de la fonction d'onde.

Mais nous pouvons reformuler cette intégrale en écrivant d'abord psi étoile

multiplié par x fois psi de x.

De même, nous avons montré que la valeur moyenne de l'impulsion

pouvait aussi s'écrire comme une intégrale faisant intervenir un produit entre

psi étoile et un second terme, qui est ici

l'action d'un opérateur différentiel du premier ordre sur la fonction psi de x.

Ces deux expressions d'une part pour la position et d'autre part pour

l'impulsion possèdent en fait une structure commune

qui sera revue en détail dans le prochain chapitre.

Nous pouvons mettre en évidence cette structure en reformulant nos intégrales à

l'aide d'opérateurs que nous appellerons respectivement x chapeau et p chapeau.

Ainsi, pour la valeur moyenne de la position,

nous pouvons considérer l'opérateur linéaire x chapeau

qui consiste simplement à multiplier psi de x par la grandeur petit x.

De même, l'opérateur linéaire p chapeau peut se définir comme h barre sur i fois

la dérivation par rapport à x.

Donc vous voyez que dans les deux cas, on peut écrire les valeurs moyennes comme

l'intégrale du produit de psi étoile par un opérateur agissant sur psi.

Dans le prochain chapitre,

vous verrez que cette structure peut se généraliser à toute grandeur physique.

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger dans le cas d'une

particule libre.

Cette équation fait intervenir une dérivée seconde par rapport à x

qui s'écrit moins p 2 psi sur h barre 2.

On peut donc réécrire notre équation de Schrödinger en remplaçant

le membre de droite par l'action sur psi de l'opérateur p 2 sur 2 m.

Finalement, l'équation s'écrit simplement i h barre d psi sur dt égal H psi,

où H est l'opérateur p 2 sur 2 m.

On l'appelle H comme Hamilton pour des raisons sur lesquelles je vais revenir

dans un instant.

Ce nouvel opérateur correspond à l'énergie cinétique p 2 sur 2 m

qui coïncide ici avec l'énergie totale puisque

aucune énergie potentielle n'est prise en compte pour notre particule libre.

Nous voyons donc que l'équation de Schrödinger établit un lien fondamental

entre le temps et l'énergie.

Ce lien apparaît partout en mécanique quantique par le fait qu'on obtient

l'évolution de la fonction d'onde au cours du temps multipliée par i h barre,

en faisant agir l'opérateur énergie sur la fonction d'onde.

Ce lien fondamental entre temps et énergie va nous permettre de généraliser

l'équation de Schrödinger en présence d'une énergie potentielle V de x.

Il suffira tout simplement de prendre en compte l'énergie totale de la particule,

et non plus seulement l'énergie cinétique.

L'opérateur H associé à l'énergie totale sera appelé l'Hamiltonien du système.

Nous pouvons ainsi reformuler le principe 2 dans le cas général.

Comme pour la particule libre,

nous postulons que l'équation de Schrödinger d'une particule de masse m en

mouvement dans le potentiel V de x s'écrit i h barre d psi sur dt égal H psi.

Mais, l'Hamiltonien H est maintenant égal à l'énergie totale du système,

c'est-à-dire à p 2 sur 2 m plus V de x.

Cela veut dire que le membre de droite de l'équation de Schrödinger possédera

dorénavant deux termes.

D'une part un terme faisant intervenir la dérivée seconde de la fonction d'onde par

rapport à x qui correspond à l'énergie cinétique, et d'autre part un terme

correspondant au produit du potentiel V de x par la fonction d'onde psi de x et de t.

Ce principe peut être vu comme l'équivalent quantique

de la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique.

Et nous allons abondamment l'utiliser dans la suite du cours.

Pour terminer,

j'aimerais dire quelques mots à propos de Hamilton qui était un génie absolu.

Il vivait au XIXe siècle,

bien longtemps avant l'avènement de la mécanique quantique.

Il parlait 10 langues à 12 ans dont l'araméen,

le copte et encore bien d'autres.

Il a inventé les quaternions en mathématiques,

et établi de nombreux résultats en analyse vectorielle.

En physique, il a effectué la synthèse entre l'optique ondulatoire et l'optique

géométrique, et il a introduit ce qu'on appelle la mécanique analytique.

Il y a en fait deux formes de mécaniques analytiques : la formulation lagrangienne

établie par Lagrange en France,

et la formulation hamiltonienne qui est bien sûr due à Hamilton.

Hamilton a aussi prononcé une phrase étonnante en disant que

la mécanique newtonienne correspond à la même limite que l'optique géométrique

par rapport à l'optique ondulatoire.

C'est une phrase qui n'a absolument pas été comprise à son époque,

mais qu'on peut comprendre maintenant.

Il connaissait en effet ces trois théories physiques : la mécanique newtonienne,

l'optique géométrique, et l'optique ondulatoire.

Et il a montré qu'en partant de l'optique ondulatoire et en faisant une

approximation où la longueur d'onde devient extrêmement petite, on trouve en

fait l'optique géométrique qui est donc un cas limite de l'optique ondulatoire.

Et en considérant la mécanique newtonienne,

il réalise qu'elle ressemble beaucoup à l'optique géométrique, et donc qu'elle

doit être la limite de quelque chose, d'un quelque chose qui devrait être ici.

Il n'avait aucune idée de la nature de ce quelque chose,

mais il pressentait qu'il devait manquer un élément dans cette construction.

Nous savons aujourd'hui que cet élément qui manquait à Hamilton, c'est une

mécanique ondulatoire, c'est-à-dire une description ondulatoire des particules.

Rétrospectivement, c'était une intuition stupéfiante

que personne n'a compris au XIXe siècle.

On peut dire, par esthétisme mathématique, Hamilton avait en quelque sorte deviné

qu'il manquait quelque chose de fondamental en physique :

cette mécanique ondulatoire qui serait élaborée seulement au siècle suivant.

Il mérite donc très largement d'avoir donné son nom à

l'opérateur énergie qu'on appelle maintenant Hamiltonien.

En résumé, nous avons introduit dans cette leçon l'opérateur position x

chapeau correspondant à une simple multiplication par x, l'opérateur

impulsion p chapeau faisant intervenir une dérivée première par rapport à x.

Nous avons également introduit l'Hamiltonien H qui correspond à l'énergie

totale du système et qui permet d'écrire une version généralisée de l'équation de

Schrödinger reliant l'évolution temporelle de la fonction d'onde

à l'énergie totale du système.

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