4.2 Distribution en impulsion d'une particule quantique

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En provenance du cours de École Polytechnique

Mécanique quantique

13 notes

École Polytechnique

Mécanique quantique

13 notes

Comme l'ont montré de plus en plus d'expériences effectuées dès le début du vingtième siècle, les lois de la mécanique newtonienne cessent d'être valables dès qu'on tente de les appliquer à très petite échelle, celle des atomes, des molécules ou des noyaux. On entre alors dans le domaine de la mécanique quantique, où les lois physiques prennent une tout autre nature qui a pu être formalisée de manière rigoureuse à la fin des années 1920. Cette véritable révolution intellectuelle est non seulement indispensable pour comprendre la véritable nature du monde physique, des particules élémentaires au big bang, mais elle est également à l'origine de la plupart des technologies modernes comme la micro-électronique, les lasers ou les télécommunications optiques. Ce cours constitue une première introduction à la mécanique quantique. En employant une approche historique et en s'appuyant sur une confrontation entre expériences et théorie, il vous permettra de comprendre les principes de base de la mécanique quantique et d'entrevoir quelques-unes de ses applications. Le cours se composera des huit séances ci-dessous. 1. Dualité onde-corpuscule 2. La fonction d'onde 3. Transformée de Fourier 4. De l'impulsion à l'hamiltonien 5. La particule quantique confinée 6. Mesures quantiques individuelles 7. Puis de potentiel à une dimension 8. Effet Tunnel

À partir de la leçon

De l'impulsion à l'hamiltonien

Ce chapitre nous permettra de manipuler les opérateurs position et impulsion, ce qui nous conduira à introduire l'équation de Schrödinger dans le cas général où l'énergie potentielle de la particule sera prise en compte. Lors des travaux dirigés, vous pourrez découvrir comment se propage un paquet d'ondes en l'absence d'énergie potentielle. Nous aborderons également le problème de la stabilité de la matière, qui est incompréhensible dans le cadre de la physique classique.

4.1 Résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre4:26

4.2 Distribution en impulsion d'une particule quantique7:42

4.3 Equation de Schrödinger dans le cas général7:01

Rencontrer les enseignants

Jean Dalibard
Professeur
Collège de France
Philippe Grangier
Professeur à l'Ecole polytechnique, Directeur de recherche au CNRS
Physique
Manuel Joffre
DR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Mathieu de Naurois
DR CNRS et Professeur associé
Département de Physique

[MUSIQUE]

Dans cette leçon, nous allons nous poser la question de la mesure de la quantité de mouvement

p d'une particule en mécanique quantique.

La quantité p est aussi appelée impulsion de la particule,

et il y a diverses façons d'aborder ce problème.

La démarche que je vais suivre est de vous proposer une solution,

et de la justifier ensuite par une série d'arguments

dont certains sont revus en détail en exercices.

Cette proposition, c'est simplement que si une particule est dans l'état psi de x,

et qu'on mesure son impulsion, alors on va trouver un résultat aléatoire

avec une densité de probabilité qui est le module carré de la fonction phi de p,

que nous avons définie comme la transformée de Fourier de psi de x.

Mais cette proposition est-elle bien raisonnable?

Je vais maintenant avancer une série d'arguments pour vous en convaincre.

Tout d'abord, l'intégrale du module carré de phi de p est,

d'après la propriété d'isométrie de la transformée de Fourier,

égale à l'intégrale du module carré de psi de x, qui est elle-même égale à 1.

Donc, l'intégrale de la densité de probabilité pour l'impulsion est bien

égale à 1, ce qui est satisfaisant pour une distribution de probabilité continue.

Ensuite, nous avons déjà établi que le module carré de phi de p

ne variait pas au cours du temps.

Cela veut donc dire que la distribution de probabilité en p est constante,

ce qui est bien le résultat attendu pour une particule libre.

En effet, vous savez qu'en mécanique classique, l'impulsion se conserve

en l'absence de forces, et ceci se traduit en mécanique quantique par une invariance

au cours du temps de la distribution de probabilité de l'impulsion.

Un argument encore plus convaincant vient d'un résultat que nous allons établir

maintenant, qui est que la valeur moyenne de l'impulsion est égale au produit de la

masse par la dérivée par rapport au temps de la position moyenne de la particule.

Ceci est bien conforme à notre intuition classique qui nous dit que la quantité de

mouvement est égale au produit de la masse par la vitesse de la particule.

C'est la formule habituelle p égal m V.

Et en fait, l'argument le plus convaincant consiste à se poser la

question d'une véritable mesure de la vitesse de la particule.

On utilise pour cela une expérience dite de temps de vol qui revient simplement à

mesurer la distance parcourue par la particule pendant un temps donné.

Ce calcul est un peu délicat, mais vous le ferez en exercice,

et vous pourrez vérifier directement qu'on trouve alors une distribution de vitesse,

et donc d'impulsion, qui est conforme à notre postulat.

La densité de probabilité de l'impulsion est bien le module carré de phi de p.

Pour faire le calcul annoncé sur la dérivée de la position moyenne

par rapport au temps, considérons un paquet d'onde défini à l'instant initial

par une fonction d'onde psi de x et de 0.

Ce paquet d'onde est initialement centré sur x0,

et la valeur moyenne de la position peut se calculer à partir du module carré

de l'amplitude de probabilité initiale psi de x et de 0.

À un instant t ultérieur, le paquet d'onde se sera déformé et déplacé,

si bien qu'il sera maintenant centré en x indice t, défini comme la valeur moyenne

de la position calculée avec la fonction d'onde psi de x et de t à l'instant t.

Nous allons maintenant montrer que la valeur moyenne de l'impulsion

est bien égale au produit de la masse

par la dérivée de la position moyenne par rapport au temps.

Il y a en fait deux méthodes pour parvenir à ce résultat que vous verrez toutes deux

en exercices.

Nous allons utiliser ici la première de ces deux méthodes qui nous permettra

d'établir un résultat intermédiaire important et très utile pour la suite.

Ce résultat intermédiaire consiste à exprimer la valeur moyenne de p, non

pas à l'aide de phi de p, mais directement à l'aide de la fonction d'onde psi de x.

Pour cela, commençons par écrire cette valeur moyenne en faisant apparaître phi

de p et son complexe conjugué phi * de p,

que j'ai écrit ici sous forme d'un produit scalaire.

Nous allons ainsi pouvoir utiliser la propriété d'isométrie que nous avons vue

au chapitre précédent, qui nous permet d'écrire l'égalité entre les

produits scalaires exprimés dans l'espace de Fourier et dans l'espace direct.

On prendra bien sûr pour phi1 de p la fonction phi de p,

ce qui revient à remplacer psi1 de x par psi de x.

La fonction phi2 de p va alors correspondre à p phi de p,

mais vous savez maintenant que multiplier par p revient à dériver par

rapport à x dans l'espace direct, au facteur (h barre) / i près.

La fonction psi2 de x s'écrit donc (h barre / i) (d psi / dx).

En remplaçant psi1 et psi2 par leurs valeurs dans l'intégrale,

on obtient la valeur moyenne de p à l'aide d'une intégrale faisant intervenir

uniquement la fonction d'onde psi de x et sa dérivée.

Cette formule est très importante pour la suite du cours,

et nous en reparlerons dans la prochaine leçon.

Nous allons tout de suite l'utiliser pour démontrer le résultat recherché.

Revenons donc à la question posée portant sur la dérivée par rapport au temps de la

position moyenne.

Commençons par partager le module carré apparaissant dans l'intégrale

en un produit (psi *) psi.

En dérivant ce produit sous l'intégrale, on obtient deux termes dont on remarque

qu'ils sont complexes conjugués l'un de l'autre.

La grandeur recherchée s'exprime donc comme le double de la partie réelle de la

première de ces deux intégrales.

Et en utilisant l'équation de Schrödinger,

nous allons exprimer d psi / dt en fonction d'une dérivée spatiale de psi.

La dérivée de la position moyenne s'écrit donc à l'aide d'une intégrale

faisant apparaître la dérivée seconde de psi par rapport à x.

Pour diminuer l'ordre de la dérivation,

effectuons une intégration par parties faisant intervenir la dérivée du produit x

(psi *) comme le terme que nous allons dériver par rapport à x.

On obtient alors une expression à première vue assez compliquée.

Mais le terme tout intégré est en fait égal à 0 pour une fonction d'onde assez

régulière appartenant par exemple à l'espace de Schwartz,

ce qui lui permet de tendre très vite vers 0 lorsque x tend vers l'infini.

Le second terme, où l'on a dérivé psi * par rapport à x,

fait apparaître le module carré de d psi / dx, ce qui est évidemment réel.

Compte tenu du préfacteur, ce terme sera donc imaginaire pur

et disparaîtra après l'application de la partie réelle.

Il ne reste donc que le dernier terme, et je vous laisse vérifier,

à l'aide d'une seconde intégration par parties,

que ce terme est bien réel si bien que la partie réelle le laissera inchangé.

Le résultat obtenu est donc écrit ici, et d'après le

calcul du transparent précédent, il correspond bien à l'expression de la

valeur moyenne de l'impulsion divisée par la masse m de la particule.

En résumé, nous avons vu dans cette leçon que le module carré de phi de p est

la distribution de probabilité de l'impulsion p.

Cette distribution permet de calculer la valeur moyenne de l'impulsion,

que l'on peut aussi exprimer directement à l'aide de la fonction d'onde.

Enfin, nous avons vérifié que la dérivée par rapport au temps de la position

moyenne est égale à l'impulsion moyenne divisée par la masse.

Ce résultat est bien conforme à notre intuition, et vous pourrez le redémontrer

en exercice en utilisant l'isométrie de la transformation de Fourier.

[MUSIQUE]

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