Guten Tag, willkommen zur Vorlesung der allgemeinen Physik an der EPFL. In dieser Lektion möchte ich den Formalismus der relativen Bewegung anwenden. Ich möchte die Formeln anwenden, um die Dynamik in einem Beschleunigten Bezugssystem zu beschreiben. In diesem Fall ist es die Oberfläche der Erde. Ich schlage euch vor, zwei Experimente zu betrachten: Zuerst eine vertikale Bewegung, von welcher wir sehen werden, dass diese durch die Erdrotation nicht mehr ganz vertikal ist, und eine horizontale Bewegung, welche es uns ermöglicht, eine neue Analysetechnik von Differentialgleichungen einzuführen. Diese nennt man Berechnung der Störungen. Diese Berechnung für die horizontale Bewegung ermöglicht es uns, das Experiment des foucaultschen Pendels zu verstehen. Ich beginne mit der Bewegungsgleichung, welche wir für die terrestrische Dynamik erhalten haben. Ich werde mit den Projektionen auf ein Achsensystem weiterfahren. Um die Schreibweise zu erleichtern, wähle ich die Koordinaten <i>x, y</i> und <i>z</i>. Ich werde nun die Latitude phi verwenden. Diese Seite hier ist senkrecht zu dieser und dieser hier zu dieser. Der Winkel phi ist also hier. Meine Projektionen sind also die Folgenden: In der <i>x</i>-Richtung habe ich omega cos phi, jedoch mit einem Minuszeichen. In der <i>z</i>-Richtung habe ich omega sin phi. Ohne die Allgemeinheit zu verlieren, wähle ich <i>z</i> entlang von <i>g</i>. Ich habe also <i>g</i> in der dritten Komponente. Ich muss den Coriolis-Term, 2 omega kreuzt Vr, berechnen. Ich verwende meine Notation mit der Determinanten, <i>x, y, z</i>, die Projektionen von omega und die relative Geschwindigkeit. Es ist v relativ, welches hier interveniert. Wenn ihr möchtet, könnt ihr eine Pause machen und diese Terme selbst berechnen. Ich schlage euch nun vor, diese vertikale Bewegung hier zu betrachten. Hier die Bewegungsgleichungen, welche wir durch das Zusammenfassen der Coriolis-Terme erhalten haben. Hier haben sie die relative Beschleunigung mit den Koeffizienten zwei. Dies sind alle Coriolis-Terme, welche ich erhalten habe.2 Ich nehme an, dass die Gravitationskraft die einzige vorhandene Kraft ist. Die Anfangsbedingungen sind wie folgt. Zur Zeit <i>t</i> gleich null ist der Massepunkt 0 auf der <i>z</i>-Achse auf einer Höhe von z0. Seine horizontale Geschwindigkeit ist null. In der <i>z</i>-Richtung besitzt dieser eine Geschwindigkeit V0. Ich beginne also meine Integration, indem ich diese Gleichung betrachte. Ich integriere nach der Zeit. Formell ergibt die Integration von <i>x</i> Punkt Punkt <i>x</i> Punkt minus <i>x</i> Punkt zur Zeit null, die Geschwindigkeit zur Zeit null, welche wir null setzten. Die Integration von <i>y</i> Punkt wird mir <i>y</i> ergeben, da wir <i>y</i> zur Zeit null als null gewählt haben. Nun werde ich die formelle Integration der z-Gleichung berechnen. Also <i>z</i> Punkt Punkt ergibt mir <i>y</i> Punkt t minus <i>y</i> Punkt von null. Dies ist V0. Hier habe ich y Punkt, welches ich integriere. Dies ergibt mir <i>y</i> minus <i>y</i> zur Zeit null, welches wir null gewählt haben. Dieser Term hier ergibt mir minus <i>gt</i>. Ich habe also diese Formel hier. Ich werde jetzt also diese zwei Resultate für <i>x</i> Punkt und <i>z</i> Punkt nehmen und diese in die Gleichung von <i>y</i> einsetzen. Ich schreibe diese Terme noch mal. Voilà, mein Integral für <i>x</i> Punkt und für <i>z</i> Punkt. Hier ist die Gleichung für <i>y</i> Punkt Punkt und nun mache ich die Substitution. Hier für <i>z</i> Punkt Punkt setze ich diesen Term ein, was mir dies ergibt. Für x Punkt habe ich diesen Term. Er ist hier. Nun werde ich davon Gebrauch machen, dass omega klein ist. Hier habe ich Terme mit omega im Quadrat. Ich werde diese vernachlässigen. Hier habe ich auch einen Term omega im Quadrat. Ich vernachlässige auch diesen. Ich werde nur diese Terme der nullten oder ersten Ordnung in omega behalten. Annäherungsweise ist dies also <i>y</i> Punkt Punkt von t. Es hat den Term V0 minus <i>gt</i>, welchen ich behalte. Dieser ist hier. Nun kann ich nach der Zeit integrieren. Nun werden wir eine unübliche Formel erhalten. Hier werden wir ein Zweitel von V0 mal t im Quadrat erhalten. Hier muss ich zwei Mal integrieren. Dies ist <i>y</i> Punkt Punkt. Dies wird mir den Term <i>t</i> im Quadrat ergeben. Wenn ich hier zweimal integriere, erhalte ich einen Sechstel von <i>gt</i> hoch drei. Ich lade euch ein, diese Berechnung zu verifizieren, indem ihr diesen Term zweimal ableitet. Es hat keinen zusätzlichen konstanten Term wegen oder dank unseren Anfangsbedingungen. Nun, da wir diesen Ausdruck für <i>y</i> erhalten haben, nehme ich noch einmal <i>z</i> Punkt, welches von <i>y</i> abhängte., und dies ergibt mir diesen Term hier. Dieser ist jedoch von zweiter Ordnung in Omega. Ich vernachlässige ihn also. Es bleibt mir nur noch <i>z</i> Punkt gleich v0 minus <i>gt</i>. Dies ist die Formel, ungefähr da, welche wir normalerweise in der Ballistik in der Absenz des Rottationseffekts erhalten haben. Voilà mein <i>z</i> von <i>t</i>. Es ist interessant, einige numerische Werte zu betrachten. Wenn ich nun die Resultate für y verwende, welches also eine Abweichung in die Richtung Ost-West darstellt. Mein <i>z</i> besitzt die übliche Form. Wenn ich nun annehme, dass ich einen Massepunkt ohne Anfangsgeschwindigkeit von einer Höhe von 158 Metern und einer Latitude von 51 Grad fallen lasse, findet ihr die Fallzeit mit dieser Formel hier. Wenn ihr nun die Fallzeit in <i>y</i> von t einsetzt, erhält ihr eine Ablenkung von ungefähr 2,8 Zentimeter. Die Fallhöhe betrug 158 Meter. Wir sehen also in diesem Beispiel, dass der Einbezug der Erdrotation das Resultat nur minimal ändert. Was beim foucaultschen Pendel interessant ist, was man in den Videos mit den Experimenten beobachten kann, ist der grosse und schnell festzustellende Effekt. Schon nach einigen Minuten des Experiments ist der Effekt ersichtlich. Um das foucaultsche Pendel zu analysieren, müssen wir mit einer Analyse der horizontalen Bewegung beginnen. Ich nehme wieder die Bewegungsgleichungen. Ich habe die Existenz eines Mechanismus angenommen, welcher garantiert, dass <i>z</i> gleich null ist. Es bleiben also nur diese Coriolis-Terme übrig. Ich erinnere euch daran, dass wir diese Zeichnung hier gewählt haben, um die Projektionen des Vektor omega zu berechnen, welchen wir verwendeten. Der Winkel phi ist hier und sinus phi hier. Wenn wir uns in der nördlichen Hemisphäre befinden, ist der Term sinus phi positiv. In der südlichen Hemisphäre ist der Term sinus phi negativ. Betrachten wir die Terme <i>x</i> Punkt positiv und <i>y</i> Punkt positiv. Also in dieser Ebene hier ist <i>x</i> Punkt positiv und ebenso <i>y</f> Punkt. Wir befinden uns im ersten Quadranten. Die Geschwindigkeit <i>v</i> ist hier. In der nördlichen Hemisphäre ist ist sinus phi positiv. Also ist <i>x</i> Punkt Punkt positiv, was diese Form besitzt <i>y</i> Punkt Punkt ist negativ, was diese Form hier hat. Wir haben also eine Beschleunigung in diese Richtung hier. Wenn wir also die Marschrichtung betrachten, haben wir eine Ablenkung nach rechts. Dies ist in der nördlichen Hemisphäre. Wenn wir das Zeichen des Sinus ändern, haben wir die andere Schlussfolgerung, eine Ablenkung nach links. Ich nehme noch einmal meine Bewegungs- gleichungen und möchte diese integrieren. Wenn ich die erste formell nach der Zeit integriere, erhalte ich <i>x</i> Punkt von <i>t</i> minus <i>x</i> von null und hier habe ich zwei omega sin phi, welches Konstanten sind. Das Integral von <i>y</i> Punkt ergibt mir <i>y</i> minus <i>y</i> von null. Ich werde nun annehmen, dass dieser Term hier wegen den Anfangsbedingungen null ist. Für <i>x</i> Punkt von <i>t</i> bleibt mir nur ein <i>x</i> Punkt von null übrig, welches um diesen Term korrigiert ist und von <i>y</i> von <i>t</i> abhängt. 0 Nun mache ich dieselbe Operation für <i>y</i>. Ich integriere einmal. Ich habe mein <i>y</i> Punkt von null. Ich habe es auf die andere Seite gesetzt. Aufgepasst, hier habe ich zwei omega mal <i>x</i> Punkt. Wenn ich diesen Term hier nehme, erhalte ich ein omega im Quadrat in der Gleichung. Ich vernachlässige ihn also. Es interveniert also nur dieser Term hier und die Integration ist trivial. Dies macht <i>x</i> von null mal die Zeit. Einverstanden? Den anderen Term vernachlässige ich, da dieser hauptsächlich von zweiter oder höherer Ordnung ist. Ich mache nun dieselbe Arbeit für diesen Term hier. In <i>y</i> möchte ich nur Terme der Ordnung null in Omega behalten, da ih hier ein omega habe. Von diesem <i>y</i> muss ich also nur den Term <i>y</i> Punkt von null behalten. Dies habe ich hier gemacht. Hier habe ich Lösungen, welche von erster Ordnung in omega sind. Ich schreibe diese hier noch einmal, um die horizontale Ablenkung zu analysieren. Was passiert, ist das Folgende: Wenn ich diese Gleichung hier integriere, vielleicht ist es so klarer, starte ich ab einem gewissen Punkt, welcher sich auf der Oberfläche der Erde befindet. Ich habe eine horizontale Bewegung. Wenn die Erdrotation nicht vorhanden und eine Anfangsgeschwindigkeit V gegeben wäre, würde ich mich auf einer Geraden fortbewegen. Was wir feststellten ist eine Ablenkung der Trajektorie nach rechts. Diese Ablenkung werde ich <i>s</i>. Diese kann ich berechnen, indem ich diese Formel hier verwende. Ich nehme die Differenz zwischen <i>x</i> von t und diesem Wert hier, welchen ich hätte, wenn omega null wäre. Einverstanden? Ich wende eigentlich nur Pythagoras an. <i>x</i> Punkt von null im Quadrat plus <i>y</i> Punkt von null im Quadrat ersetze ich durch V. Ich habe also hier omega sin phi, dises omeg asin phi mal V <i>t</i> im Quadrat. Mit diesem Resultat kann ich das Verhalten des foucaultschen Pendels verstehen. Ich schreibe dies Ablenkung in <i>t</i> Quadrat noch einmal auf. Wir stellen uns jetzt vor, was wir bei einem im Sand reibenden foucaultschen Pendel beobachten würden. Wir sähen unser Pendel von der einten Extremalposition hier, welche sich auf einem Kreis befindet, der ein Limit darstellt. Nun werde ich zeichnen was passieren würde. Wenn keine Erdrotation vorhanden wäre, würden wir uns in einer geraden Linie fortbewegen. Wir würden so zurückkommen. Einverstanden. Durch die Erdrotation werden wir so abgelenkt. Wir haben diese Ablenkung <i>s</i> für eine gegebene Zeit berechnet. Also heuristisch, das heisst annäherungsweise kann ich die folgende Schlussfolgerung machen, um zu schätzen, wie viel die Oszillationsebene des foucaultschen Pendels dreht pro Zeiteinheit. Mit diesem Ausdruck hier kann ich berechnen, ob die Geschwindigkeit konstant ist. Ich werde also ein sehr kleines Zeitintervall wählen. Nennen wir dieses <i>t</i>. Ich werde berechnen wie viel der Orbit in diesem Zeitintervall abgelenkt wir. Ich hatte eine bestimme Richtung und habe nun eine Ablenkung. Ich berechne die Ablenkung. Hier ein delta phi, welches ich als räumliche Ausdehnung berechne, dividiert durch Vt. Dies habe ich hier aufgeschrieben. <i>s</i> ist hier gegeben. Dadurch erhalte ich diesen Term hier für delta phi. Ich habe also die Winkelgeschwindigkeit der Oszillationsebene der foucaultschen Pendels, welche durch diese Formel beschrieben ist. Nehmt also das delta phi, dividiert es durch die Zeit und ihr erhaltet also eine Winkelgeschwindigkeit phi Punkt, welche dem Term omega sin phi entspricht, welcher konstant ist. Wir sehen also, dass die Oszillationsgeschwindigkeit der Ebene des foucaultschen Pendels nicht genau der Rotationsgeschwindigkeit der Erde entspricht; sie ist durch den sinus der Latitude modifiziert. Betrachten wir nun die Grössenordnung. Angenommen das foucaultsche Pendel sei während 10 Minuten in Bewegung. Wir berechnen als diese Winkelgeschwindigkeit mal 10 Minuten, um die Ablenkung delta Phi zu erhalten. Wir haben also den sin phi, die Winkelgeschwindigkeit der Erde mal die 10 minuten. 10 Minuten sind 600 Sekunden. Wir haben also sinus phi mal 2,4 Grad. Wenn wir also eine sehr exakte Messung haben und das foucaultsche Pendel in seiner Ebene bleibt, kann man bereits nach 10 Minuten eine Abweichung von 2.4 Grad feststellen. Dies hängt offensichtlich von der Latitude ab. Und logischerweise wenn phi gleich null ist, am Equator, gibt es überhaupt keinen Effekt. Im Pol ist der Effekt am stärksten, da sinus phi gleich eins ist.
