7.3 Accélération en coord. cylindriques et sphériques

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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne

Mécanique de Newton

77 notes

École Polytechnique Fédérale de Lausanne

Mécanique de Newton

77 notes

Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne

À partir de la leçon

Coordonnées cylindriques et sphériques. Vitesse et accélération.

Vous allez apprendre l'art d'exprimer une vitesse et une accélération vectorielles avec des coordonnées généralisées; ça permettra de modéliser plus facilement des systèmes avec des contraintes géométriques complexes

7.1 Coordonnées cylindriques et sphériques22:21

7.2 Vitesse en coord. cylindriques et sphériques15:44

7.3 Accélération en coord. cylindriques et sphériques5:34

Expériences leçon 77:05

Pendule de torsion et frottement interne par Daniele Mari5:48

Rencontrer les enseignants

Jean-Philippe Ansermet
Professeur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse

Bonjour, bienvenue au cours de physique générale de l'ÉPFL.

Dans cette leçon, j'ai introduit

les coordonnées cylindriques et sphériques,

et j'ai voulu montrer comment on va utiliser ces systèmes de coordonnées

pour exprimer la cinématique du point matériel.

Nous avons vu dans le précédent module

comment exprimer la vitesse vectorielle

projetée sur les repères associés à ces 2 systèmes de coordonnées.

Il nous reste maintenant à projeter l'accélération du point matériel,

l'accélération vectorielle projetée sur ces repères.

On va considérer l'accélération comme la dérivée de la vitesse,

exprimée en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques.

Je commence avec les coordonnées cylindriques.

Voici le dessin qui résume

la définition des coordonnées cylindriques,

<i>ρ</i>, <i>ϕ</i>, <i>z</i>,

et les vecteurs unités associés, <i><b>e</b>ρ</i>, <i><b>e</b>ϕ</i>, <i><b>e</b>z</i>.

On a obtenu ceci pour la vitesse.

Quand on va dériver la vitesse par rapport au temps,

pour obtenir l'accélération,

on aura, bien sûr, les composantes qu'on va dériver par rapport au temps ;

mais il faudra aussi dériver <i><b>e</b>ρ</i> et <i><b>e</b>ϕ</i> par rapport au temps.

<i><b>e</b>z</i>, il n'y a pas de soucis,

<i><b>e</b>z</i> reste toujours vertical,

donc il a une dérivée nulle par rapport au temps.

Alors, on a déjà obtenu <i>d</i> de <i><b>e</b>ρ</i> sur <i>dt</i>,

et <i>d</i> de <i><b>e</b>ϕ</i> sur <i>dt</i>.

Par conséquent, quand je veux calculer l'accélération,

je calcule la dérivée de la vitesse,

j'ai un <i>ρ point point</i>,

ces 2 termes vont me donner <i>ρ point</i>, <i>ϕ point</i> et <i>ρϕ point point</i>,

les voilà.

Ce terme en <i>z point</i> va me donner <i>z point point</i>.

Et maintenant, il y a la dérivée des vecteurs unités,

comme ceci,

avec <i>d</i> de <i><b>e</b>ρ</i> sur <i>dt</i>,

qui est donné ici,

et <i>d</i> de <i><b>e</b>ϕ</i> sur <i>dt</i>, là.

J'ai donc un terme en moins <i>ρϕ point carré</i>,

dans la direction <i><b>e</b>ρ</i>,

j'ai un <i>ρ point ϕ point</i>, ici,

et j'ai aussi un <i>ρ point ϕ point</i>, là.

Je rassemble les termes, les voici.

Dans la direction <i><b>e</b>ρ</i>, dans cette direction là,

j'ai un <i>ρ point point</i> et un moins <i>ρ ϕ point carré</i>.

Dans la direction tangente au cercle,

j'ai <i>ρ ϕ point point</i>, mais j'ai aussi <i>2 ρ point ϕ point</i>.

Et simplement <i>z point point</i> dans la direction <i>z</i>.

Je passe maintenant à l'accélération

projetée sur le repère des coordonnées sphériques,

les coordonnées <i>r</i>, <i>θ</i>, <i>ϕ</i>.

Je vais projeter l'accélération vectorielle

sur <i><b>e</b>r</i>, <i><b>e</b>θ</i>, <i><b>e</b>ϕ</i>.

Je pars de l'expression de la vitesse

projetée sur le repère des coordonnées sphériques,

<i><b>e</b>r</i>, <i><b>e</b>θ</i>, <i><b>e</b>ϕ</i>.

Encore une fois, quand je vais calculer la dérivée de la vitesse,

j'aurai la dérivée des composantes,

mais j'aurai aussi la dérivée des vecteurs unités.

On l'a calculé, je répète nos résultats :

voilà <i>d</i> de <i><b>e</b>r</i> sur <i>dt</i>,

voilà <i>d</i> de <i><b>e</b>ϕ</i> sur <i>dt</i>,

avec <i><b>u</b></i>, ici, qui a ces composantes là,

<i>d</i> de <i><b>e</b>θ</i> sur <i>dt</i>, on l'avait obtenu aussi.

Et maintenant, si je veux calculer l'accélération,

je prend la vitesse, je dérive par rapport au temps.

On reprend notre souffle, parce qu'il y a beaucoup de termes.

Voilà.

On doit avoir un <i>r point point</i>, il est là.

Ici on a 2 termes, on doit obtenir 2 termes,

ils sont là.

Ici on a 3 termes, on va donc obtenir la somme de 3 termes :

un, deux, trois, ils sont là.

<i>t</i> de <i><b>e</b>r</i> sur <i>2 θ</i>, on l'a ici.

<i>d</i> de <i><b>e</b>θ</i> sur <i>dt</i>, il est là.

et le <i>d</i> de <i><b>e</b>ϕ</i> sur <i>dt</i>, on l'a obtenu comme ceci.

Je vous invite à faire une pause,

et essayez de rassembler les termes par vous-mêmes.

Le résumé, le voici :

c'est une page qui va vous donner un formulaire important pour la suite.

En coordonnées cylindriques,

on avait la vitesse et l'accélération

projetées sur le repère des coordonnées cylindriques,

ici.

Pour les coordonnées sphériques,

La vitesse, on l'avait obtenue,

et maintenant, pour l'accélération il y a beaucoup de termes,

je les note ainsi :

<i><b>a</b>r</i> pour la composante, l'accélération dans la direction <i>r</i>,

<i><b>a</b>θ</i> dans la direction <i>θ</i>,

et <i><b>a</b>ϕ</i> dans la direction <i>ϕ</i>.

Avec ceci, nous sommes prêts à faire de la mécanique

en utilisant les coordonnées cylindriques ou sphériques.

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