Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
6.1 Accélération normale et tangentielle
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
84 notes
À partir de la leçon
Accélération normale et tangentielle. Mouvement circulaire, vitesse angulaire.
Vous allez vous familiariser avec la nature vectoriel de la vitesse et de l'accélération.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Hallo und wilkommen zur Vorlesung "Allgemeine Physik" der EPFL.
In dieser Lektion möchte ich die vektorielle Beschleunigung wieder anschauen.
Wir haben mit dem zweiten newtonschen Gesetz gesehen, dass wenn die
Geschwindigkeit eines Massepunktes verändert wird, heisst es, dass eine Kraft
auf diesen wirkt. Diese Veränderung
der Geschwindigkeit wird Beschleunigung genennt.
Es ist also wichtig, um die Dynamik zu verstehen, wirklich zu wissen was
eine vektorielle Beschleunigung ist. Um dies zu erreichen, werde ich
die Bogenlänge benutzen. Damit werde ich merken, dass
die vektorielle Geschwindigkeit immer tengential zur Trajektorie ist,
aber, dass die Beschleunigung, nicht nur tangential
ist, sondern, dass sie auch eine Normalkomponente besitzt.
Ich beginne mit der Definition der Bogenlänge.
Stellen Sie sich vor, dass man die Trajektorie eines Massepunktes
kennt. Dieser Massepunkt ist hier,
und ich definiere einen Ursprung auf der Trajektorie.
Dazu wähle ich eine Richtung für die Trajektorie. Jetzt kann ich
also beschreiben wo sich der Massepunkt auf der Trajektorie befindet
mit Hilfe der Weglänge die ich s nenne.
S ist die Bogenlänge.
Nun definiere ich noch die
skalare Geschwindigkeit. Diese skalare Geschwindigkeit ist
die Distanz über die Zeit, wenn man die Limes für
delta t gegen 0. Die Distanz wird durch
s ausgedrückt und damit ist es klar, dass die skalare Geschwindigkeit die
zeitliche Ableitung von s sein wird. Sowie
hier. Ich komme nun zur
skalaren Geschwindigkeit. Ich behaupte nochmals,
dass ich eine orientierte Trajktorie habe, ich definiere
einen Ursprungspunkt der Bogenlänge, mein P
Punkt, der hier ist, kann ich mit Hilfe der Bogenlänge
s beschreiben, und ich schlage vor, die vektorielle
Geschwindigkeit zu berechnen. Diese wird als
dr über dt bezeichnet, wo r den Vektor ist. Jetzt will ich
diese Geschwindigkeit mit Hilfe der Bogenlänge audrücken. Ich
mache Folgendes: zuerst betrachte ich r,
als wäre es eine Funktion von s, welches eine Funktion von der Zeit ist.
Also muss ich eine Funktion von einer Funktion
ableiten: r Funktion von s, s Funvtion der Zeit.
Die Berechnung führt zu dieser Lösung wenn
man die Regel der Ableitung einer Funktion von einer Funktion anwendet.
Hier ist mein dr über ds und hier habe ich ds über dt. Diese Grösse
ist, wie schon gesagt, die skalare Geschwindigkeit v. Die vektorielle
Geschwindigkeit gleicht also der skalaren Geschwindigkeit mal diesen Vektor.
Wir müssen zunächst die physikalische Bedeutung dieser Ableitung
dr über ds begreifen. Um diese zu berechnen,
stelle ich mir einen Teil der Trajektorie vor. Hier ist
meinen Massepunkt p zur Zeit t und hier
ist er einen Moment dt später. Hier ist die Vektorielle Verschiebung
dr und wenn dies die Trajektorie ist, hat mein Massepunkt
eine Distanz von ds hinter sich gelegt. Nun,
wenn ich die Limes
für dt gegen
0 nehme, wird dieser Punkt
irgendwo hier sein und ich merke,
dass ich mich auf dieser Gerade befinde. Diese ist tangential
zur Trajektorie. Ich verstehe also, dass der Vektor dr über ds
tangential zur Trajektorie ist.
Zeichnen wir ihn so.
Welcher Wert hat nun dieser Vektor?
Dieser dr, hier, hat eine
Norm die nach ds läuft wenn ds
und dt nach 0 laufen. Also ist dr, die Norm
von dr, circa gleich wie den Absoluten Wert von ds
und dieser Vektor dr über ds hat also
eine Länge von 1. Es ist einen Einheitsvektor. Wir wissen
also, dass dieser Vektor dr über ds tangential zur Trajektorie ist, und
dass seine Norm 1 ist. Zurück zur vektoriellen Geschwindigkeit.
Diese, wie gesagt, gleicht v mal diesen Vektor. Also kann man sie schreiben
mit der skalaren Geschwindigkeit mal den tangentialen Einheitsvektor.
Ich konne nun
zur vektoriellen Beschleunigung.
Wenn ich mit dieser Notation der Geschwindigkeit arbeite,
muss ich um zur Beschleunigung zu kommen die Geschwindigkeit zeitlich ableiten.
Ich habe ein Produkt von zwei Grössen, also
werde ich am Ende eine Summe von zwei Termen kriegen.
Hier ist die Beschleunigung die ich mithilfe der Ableitung von diesem Ausdruck finde.
Einerseits habe ich dv über dt die die zeitliche Ableitung
der skalaren Geschwindigkeit ist, und dies ist die Richtung von tau, der
Parallelvektor und dann habe ich noch diesen Term, welcher,
wir werden es bald erfahren, normal zur Trajektorie ist.
Also werden wir diese Komponente die parallele Beschleunigung nennen.
Es ist den intuitivsten Teil, bzw den Teil
der bedeutet, dass die skalare Geschwindigkeit sich mit der Zeit
verändert. Dies gibt uns eine Beschleunigung und dies
ist einen Term, der entlang der Trajektorie liegt.
Wir müssen zunächst den zweiten Term anschauen.
Was bedeutet dieser eigentlich? Erstens
ist tau einen Einheitsvektor. Das Skalarprodukt von tau
mit sich selbst gibt das Quadrat de Norm, also 1. Die zeitliche
Ableitung des Quadrats der Norm gibt also
0. Ich hätte hier berechnen können, diese Ableitung
ist tau, skalarprodukt mit dtau über
dt, plus dtau über dt skalarprodukt mit tau.
Das Skalarprodukt ist kommutativ und diese beide Termen sind gleichwertig.
Das habe ich hier geschrieben. Ich habe also das Skalarprodukt
von tau und von der zeitlichen Ableitung von tau
gibt 0. Dies bedeutet, dass die beiden Vektoren
orthogonal sind. Ich erhalte also dieses Resultat.
Um unsere Analyse zu verbessern werde
ich Tau als eine Funktion von s bertachten und s als eine Funktion
der Zeit. Diese Ableitung dtau über dt schreibt man
nun als dtau über ds
mal ds über dt. ds über dt haben wir schon als die Skalargeschwindigkeit identifiziert.
Ich habe also das Quadrat einer Skalargeschwindigkeit mal den Vektor
dtau über ds, dessen wir die Bedeutung
noch suchen. Für was steht dieses dtau über ds?
Stellen wir uns vor einen Teil der
Trajektorie der so aussieht. Wir betrachten einen Massepunkt
hier zur Zeit t, der einen Moment dt später da wäre.
Man könnte eine Approximation anwenden, für die man sagt,
dass man ungefähr eine Gerade kriegt wenn dt gegen 0 läuft.
Wenn man dies macht erhält man hier und hier
einen Vektor tau der dieselbe Richtung besitzt. Weil beide
dieselbe Norm haben, sind sie gleichwertig.
So könnte man nie beschreiben, dass die Trajektorie eine Krümmung
besitzt. Im Mathematikkurs lernt man,
dass eine bessere Approximation die eine Krümmung
an diesem Ort beschreiben kann wäre
einen Kreis. Dessen Radius heisst ein Krümmungsradius. Die Lage
sieht nun so aus : wenn mein p-Punkt hier liegt
zur Zeit t und zur Zeit t plus dt da
ist, habe ich einen Parallelvektor Tau
der Zur Trajektorie tangential ist. Dann gehen wir davon aus, dass die Trajektorie
ungefähr ein Kreis ist und damit, dass tau zum Kreis tangential ist. Er ist also
orthogonal zum Radius. Diesem Radius hier.
Zur Zeit t plus
dt ist der Vektor Tau
tangential zur Trajektorie und also auch tangential zum Kreis
und also orthogonal zu
diesem Radius. Wenn sich der Radisuvektor
um einen Winkel von dtheta gedreht hat, muss sich Tau
auch um diesen Winkel gedreht haben. Um dies zu
zeichnen werde ich disesen Tau hier
nehmen und ihn hier plazieren. Ich zeige Ihnen
wie die ganze Zeichnung aussieht. Hier habe ich erneut
diesen Vektor tau zur Zeit t plus dt und hier tau von t.
Wir haben gerade erst festgestellt,
dass sich Tau um einen WInkel von dtheta
gedreht hat. Jetzt kann ich dazu noch zeigen welche Norm
dieser Vektor Tau besitzt. Zuerst merke
ich, dass dtau in die normale Richtung zeigt.
Wir haben gesehen, dass der Vektor n orthogonal ist.
Dies heisst, orthogonal zu unserem Tau. Damit haben wir die Richtung
von dtau und seine Norm wird mit dieser Zeichnung klar.
Hier haben wir 1, hier den dtheta Winkel, hier erneut 1.
Wir nehmen die Limes wenn dt gegen
0 läuft. Man kann davon aus gehehen, dass die Bogenlänge
einen Wert von dtheta mal 1 hat. Dies habe ich hier geschrieben.
ds ist diese Länge hier
und man sieht, dass ds gleich r mal dtheta. Das steht
nun hier. Also gleicht die Norm von dtau über
ds, dtau über ds
Also dies über dies hier, also
1 über r. 1 über den Krümmungsradius.
Also gut, wir hatten einen Beschleunigungs- term
der das Quadrat von v mal dtau über ds glich. Wir haben gerade erfahren,
dass dies das QUadrat von v über den Krümmungsradius
der Trajektorie an diesem bestimmten Ort
mal den Vektor n, der gegen das Zentrum des Kreises
zeigt und der die Krümmung an diesem Ort circa
beschreibt. Ich fasse alles zusammen : die vektorielle
Beschleunigung besitzt zwei Teile. Der erste ist
die zeitliche Ableitung der Skalargeschwindigkeit.
Dies entspricht einer parallelen Beschleunigung.
Der zweite Term entsteht aus dem Quadrat von v über r, wo r der Krümmungsradius
der Trajektorie an diesem Ort ist, mal den Vektor n der nach innen in die
Richtung des Zentrums des Kreises gerichtet ist der hier die Krümmung approximiert.
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