Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
6.1 Accélération normale et tangentielle
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
75 notes
À partir de la leçon
Accélération normale et tangentielle. Mouvement circulaire, vitesse angulaire.
Vous allez vous familiariser avec la nature vectoriel de la vitesse et de l'accélération.
Rencontrer les enseignants
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour, bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans cette leçon, j'aimerais revenir sur la notion d'accélération vectorielle.
On a vu avec la deuxième loi de Newton que si un point
matériel change de vitesse, c'est qu'une force a agit sur ce point matériel.
Ce changement
de vitesse s'exprime en terme de l'accélération,
il est donc important pour comprendre la dynamique de comprendre ce qu'est une
accélération vectorielle. Pour ce faire, je vais introduire la
notion d'abscisse curviligne, cela me permettra de réaliser
que la vitesse vectorielle est toujours tangente à la trajectoire,
mais que l'accélération, elle, n'a pas simplement une
composante tangente à la trajectoire, mais aussi une composante normale.
Je commence avec la définition de l'abscisse curviligne.
Imaginez qu'on connaisse la trajectoire du point
matériel. Le point matériel est ici,
je vais me donner une origine sur la trajectoire,
et je vais donner une orientation à la trajectoire; et je me propose
de repérer la position du point matériel sur la trajectoire,
par le chemin parcouru, que j'appelle s.
S c'est ce qu'on appelle l'abscisse curviligne.
Avec l'abscisse curviligne, je vais maintenant définir la
vitesse scalaire. Alors la vitesse scalaire, c'est
le déplacement divisé par le temps, quand on prend la limite avec
un delta t tend vers 0; donc le déplacement étant
donné par s, il est clair que la vitesse scalaire sera la
dérivée de s par rapport au temps. Comme
ceci. Je passe maintenant à la
vitesse vectorielle. J'imagine encore une
fois, que j'ai ma trajectoire orientée, je me
donne un 0 de l'abscisse curviligne, j'ai mon point
P qui est ici, que je peux repérer par l'abscisse
curviligne s, et je me propose de calculer la vitesse
vectorielle La vitesse vectorielle elle est donnée
par dr sur dt, avec r le vecteur, et maintenant, je veux
exprimer cette vitesse en terme de l'abscisse curviligne, je le
fais de la manière suivante: je me propose de considérer r
comme une fonction de s, qui évidemment est une fonction du temps.
Alors je dois faire la dérivée d'une fonction
de fonction, r fonction s, s fonction du temps.
Le calcul donne donc le résultat suivant en
appliquant la règle de dérivation de fonction de fonction,
voilà mon dr sur ds, et ici, j'ai ds sur dt, on vient de voir
que ds sur dt c'est la vitesse scalaire v. Donc, ma vitesse
vectorielle vaut la vitesse scalaire, fois ce vecteur-là.
Nous devons encore comprendre le sens physique de cette dérivée
dr sur ds. Alors, pour calculer dr sur
ds, j'imagine un morceau de trajectoire, voilà mon
point matériel p en t, je considère aussi
le point matériel un temps dt plus tard, voilà le déplacement
vectoriel dr et si ça c'est la trajectoire mon point
matériel parcourt ds. Maintenant,
si je vais prendre la
limite lorsque
dt tend vers 0, ce point-là
va être par ici, et je vois bien que je
vais me situer sur cette droite-là, elle est tangente à
la trajectoire. Donc mon vecteur dr sur ds, je comprends
une chose maintenant, dr sur ds est tangent à la trajectoire.
Dessinons-le ainsi.
Maintenant, que vaut la norme de ce vecteur ?
Et bien ce dr-là, a une
norme qui tend vers ds lorsque ds
et dt tendent vers 0. Donc on a dr, le module de
dr qui est à peu près égal à la valeur absolue de ds
et ce vecteur dr sur ds a donc une
longueur 1. C'est un vecteur unité, alors on vient de
trouver que ce vecteur dr sur ds, est tangent à la trajectoire, et
sa norme vaut 1. Quant à la vitesse vectorielle, on avait
dit qu'elle valait v fois ce vecteur-là, donc on peut écrire la vitesse vectorielle
comme étant la vitesse scalaire fois le vecteur unité tangent.
Je passe maintenant
à l'accélération vectorielle.
Si je commence avec cette expression-là de la vitesse, pour
trouver l'accélération, je dois dériver la vitesse par rapport au temps.
J'ai un produit de deux termes, donc je
vais me retrouver avec la somme de deux termes.
Voilà, l'accélération, dérivée par rapport au temps, de cette expression-là,
d'une part on a dv sur dt qui est donc la dérivée par rapport
au temps de la vitesse scalaire, et ça c'est donc la direction de tau le
vecteur tangent et on a cet autre terme, on va tout bientôt
voir, que ce terme-là est perpendiculaire à la trajectoire,
donc on va appeler accélération tangente cette composante-là,
c'est la composante la plus intuitive celle qui consiste
à dire que la vitesse scalaire change par unité
de temps; ça ça donne une accélération, et ça
c'est un terme qui est le long de la trajectoire.
Nous devons maintenant étudier le deuxième terme.
Que vaut-il ou que représente-t-il ? Alors d'abord,
tau est un vecteur unité, le produit scalaire de tau
avec lui même donne sa norme au carré qui vaut 1, donc la dérivée par
rapport au temps de la norme au carré vaut
0, Or, j'aurais pu calculer ici, cette dérivée-là
vaut tau, produit scalaire avec dtau sur
dt plus, dtau sur dt produit scalaire avec tau.
Le produit scalaire est commutatif, ses deux termes sont égaux,
c'est ce que j'ai écrit ici; et j'ai donc le produit
scalaire de tau avec la dérivée de tau par rapport au
temps qui donne 0, ça veut dire que les deux vecteurs
sont perpendiculaires. Ça me donne ce résultat-là.
Pour pousser l'analyse plus loin, je vais
exprimer tau comme une fonction de s et s comme une fonction
du t, temps. A ce moment-là cette dérivée dtau sur dt,
s'exprime comme dtau sur ds
fois ds sur dt, mais ds sur dt on l'a déjà identifié comme étant la vitesse scalaire,
donc j'ai une vitesse scalaire au carré fois ce vecteur dtau sur ds et il nous
reste à déterminer le sens de ce
vecteur-là. Que vaut dtau sur ds?
Imaginons qu'on ait un morceau de
trajectoire qui a cette allure-là, on peut considérer le point matériel
ici au temps t et un temps dt plus tard il serait là, on
pourrait faire l'approximation qui consiste à dire
que on a à peu près une ligne droite quand dt tend vers 0.
Si on fait ça, on aura à cet endroit-là et à cet endroit-là,
un vecteur tau qui a la même direction et comme les deux
vecteurs tau ont la norme unité, ils sont égaux.
On ne va jamais rendre compte du fait qu'on a une courbure de la
trajectoire. Alors en mathématiques, on peut apprendre
que l'approximation d'ordre supérieur qui rend compte de
la courbure de la trajectoire à cet endroit-là c'est
un cercle, le rayon du cercle c'est un rayon de courbure, on a donc la situation
maintenant qui est la suivante : si j'ai mon point p qui est ici
au temps t et qui est là au temps t plus
dt, j'ai le vecteur tangent tau qui
est tangent à la trajectoire, mais on suppose que la trajectoire est à peu
près un cercle, donc le vecteur tau est tangent au cercle, il est donc
perpendiculaire au rayon; ce rayon-là;
de même à t plus
dt, le vecteur tau
est tangent à la trajectoire donc il est tangent au cercle et
donc il est normal à ce
rayon vecteur-là; si les rayons vecteurs, le rayon
vecteur a tourné d'un angle dthêta, alors tau doit aussi
avoir tourné d'un angle dthêta. Pour en faire
le dessin, je vais prendre ce tau qui est
ici et le reporter à cet endroit-là, je vous
montre de quoi a l'air le dessin, voilà, j'ai reporté
à la fois ce vecteur tau de t plus dt ici, tau de t je
l'ai reporté là, on vient de se convaincre
que le vecteur tau avait tourné d'un angle
dthêta, et je vais maintenant pouvoir argumenter quelle est
la longueur, la norme du vecteur tau. D'abord
le vecteur dtau est dans la direction normale,
on l'a vu, le vecteur n est perpendiculaire,
ce vecteur n est perpendiculaire à tau, ça, ça donne la direction de
dtau, et la norme de dtau elle est donnée par cette construction-là,
ici, on a 1, on a l'angle dthêta, on a 1 ici
aussi, donc on va à la limite dt tend
vers 0, on peut dire que la longueur de l'arc
ça vaut dthêta fois 1, c'est ce que j'ai écrit ici.
Maintenant ds, c'est cette longueur-là et
on voit que ds ça vaut r fois le dthêta, c'est ce que
j'ai écrit ici, et donc la norme de dtau sur
ds, vaut le rapport
dtau sur ds, ça vaut ça divisé par ça donc
1 sur r. 1 sur le rayon de courbure.
Alors voilà, maintenant on avait un terme de l'accélération
qui allait comme v carré fois dtau sur ds, on vient de voir
que ceci vaut v carré sur le rayon de courbure à
l'endroit, le rayon de courbure de la trajectoire à
l'endroit considéré, fois le vecteur n dirigé vers le centre
du cercle, qui approxime la courbure à cet
endroit-là. Je résume: l'accélération
vectorielle comporte deux termes, le premier c'est la
dérivée par rapport au temps de la vitesse scalaire.
C'est une accélération dans la direction de la marche.
Le deuxième terme s'écrit comme v carré sur r, avec r le rayon de courbure de la
trajectoire à cet endroit-là fois le vecteur n dirigé vers l'intérieur,
dirigé vers le centre du cercle qui approxime la courbure à cet endroit-là.
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