Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
5.3 L’oscillateur harmonique amorti
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
85 notes
À partir de la leçon
Objectifs de la dynamique. Oscillateur harmonique.
Comme tout système que l'on perturbe au voisinage d'un équilibre stable se comporte comme un oscillateur harmonique ce sujet est extrêmement important dans toutes sortes de domaines des sciences et de la technique. Ici vous allez apprendre à analyser les propriétés de ce modèle.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour. Bienvenue au cours de physique
générale de l'EPFL. Nous venons d'analyser
le problème dit de l'oscillateur harmonique, et nous avons trouvé
comme solution, un mouvement périodique,
donc une oscillation d'amplitude, qui reste
tout le temps la même au cours du temps.
Or, nous savons autour de nous, que les oscillateurs, à moins qu'ils
soient sollicités par une force, finissent tous par s'arrêter.
Nous aimerions donc, améliorer notre modèle pour rendre
compte du fait que, il y a un amortissement.
Je vais, par conséquent, proposer un modèle de frottement.
On prendra le même que pour la balistique.
Avec ce modèle de frottement, et la force
de rappel, on va écrire des équations du mouvement.
On aura là, un problème, clairement plus difficile
que tout ce qu'on a eu jusqu'à maintenant.
Et je vais,
pour, int, on va pouvoir intégrer les
équations du mouvement, mais ce n'est pas facile.
Euh, on doit utiliser les nombres complexes,
que tout le monde ne connait pas.
Donc, dans un premier temps, je vais donner la
solution, et on va vérifier que la solution est correcte.
Et dans un deuxième temps, pour ceux qui sont déjà familiers avec
les nombres complexes, on verra la méthode qui permet de trouver cette solution.
Je considère
donc, un système mécanique, tel que celui-ci.
Un ressort, une masse plongés dans de l'eau.
Dans ce cas-là, on a clairement un amortissement.
Je vais décider d'une, un modèle de force de frottement.
Comme en balistique, je vais supposer une
force qui s'oppose à la vitesse.
Donc, ici, mon b est un coefficient positif.
Et je mets le signe moins, pour indiquer que la force s'oppose au mouvement.
La cinématique, si j'utilise une coordonnée x,
pour repérer la position de mon point
matériel, j'ai simplement que la vitesse, qui
intervient dans la force, ici, vaut x point.
Et mon équation du mouvement, en appliquant f
= ma, on a m fois l'accélération, ici.
La première force, qui est ma force de rappel.
Et voilà ma force de frottement visqueux.
Certains peuvent se demander, mais qu'est ce qu'il se passe dans l'auditoire?
On a un système qui est soumis à la pesanteur.
Je vais maintenant vous montrer, que sous
l'effet de la pesanteur, on a, le même, la même équation du mouvement, avec
une translation des coordonnées. Pour se faire, je
vais définir un axe auxiliaire, d'ac, de coordonnées z.
Quelque part, par ici, j'ai la position au repos.
Et si je veux écrire
l'équation du mouvement pour cette coordonnée z, en présence de la
pesanteur, je vais avoir m z point point,
qui vaut, la force de rappel, moins k z.
La pesanteur, alors la pesanteur est dirigée vers le bas.
Donc, j'ai une force m g, comme ceci, qui est donc,
donne un terme m g positif, puisque j'ai, pour décider de prendre z, vers le bas.
Il me reste la force de frottement, moins b, fois z point.
Maintenant, on voit ici que je peux écrire z.
Je mets le k en évidence. J'ai le k qui apparaît ici,
je dois changer de signe, là. J'ai simplement ici, ce que je peux
appeler x. Alors, j'ai moins k x.
La dérivée, par rapport au temps, de x, va nous donner la
même, que la dérivée de cette variable là. Donc, x
point, est égal à z point. Donc ici, je peux
écrire m, pardon, je vais écrire m x point
point, pour la dérivée de x. Et ici, j'ai
moins b, x point. x point est égal à z point.
Voilà.
Donc, je peux très bien admettre, que mon équation
du mouvement est celle-ci, même en présence de pesanteurs.
Maintenant, avant d'avancer dans l'analyse de cette solution,
je propose un changement de variable. Et voilà, comment je procède.
C'est assez caractéristique, la démarche du physicien.
Je remarque, ici, que si je divise par m, j'ai le coefficient k sur
m qui apparaît. k sur m, c'est exactement
le même coefficient qu'on avait, en absence de frottement.
Donc, je veux me souvenir, de la solution
que j'avais, quand je pouvais négliger les frottements.
Je vais noter le coefficient k sur m, non plus oméga, mais oméga 0, au carré,
pour signaler que, il s'agit, ici, d'une constante
qui est déterminée par les paramètres du modèle.
Et maintenant, que vaut le coefficient b sur m?
Si je divise par m, ici, j'ai un coefficient.
Si je divise par m, j'ai ici, le coefficient b sur m.
Quelles sont les unités du coefficient b sur m?
Alors, on a b sur m, fois x point, qui doit avoir les mêmes unités
que x point point.
Donc b sur m, a les unités de un sur un temps.
Ou bien, b sur m a les unités d'une pulsation.
Alors, je choisis d'écrire, b sur deux m = gamma.
Pourquoi j'ajoute un facteur 2?
C'est parce que ça rend les expressions plus commodes, par la suite.
Ça, il faut avancer dans les calculs, pour voir que, c'est une bonne
idée, d'introduire au facteur 2.
Ce qui est important pour moi, c'est que vous voyiez, ici, comment je procède pour
changer de notation, et exprimer des paramètres expérimentaux,
avec des symboles qui sont suggestifs de, des grandeurs impliquées.
Voici donc, notre équation du mouvement.
Je cherche la fonction x de t, qui satisfasse cette équation.
Avant de passer à la solution, je dois
préciser dans quel régime physique, je me situe.
Vous avez vu, les vidéos d'expérience.
On est en train d'analyser le mouvement, d'un objet qui aussi, plusieurs fois,
avant qu'on puisse observer une atténuation notoire de son oscillation.
Il faut maintenant rendre compte de cette situation.
Cela se fait en disant que, on
a, donc, beaucoup d'oscillations sur une petite décroissance.
On a donc, une situation avec des frottements faibles.
Comme, qu'est-ce que ça veut dire, quand
on a des frottements faibles dans cette équation-là?
Ça veut dire que gamma est petit.
Mais gamma est petit par rapport à quoi?
Alors, dans cette équation là, il n'y a que deux paramètres.
Il y a gamma, et oméga 0.
Et on se souvient, que gamma et oméga 0 ont les mêmes unités.
Donc, il s'agit de comparer gamma carré, à oméga 0.
Et donc, avoir des frottements faibles, c'est supposer que gamma carré,
est petit, par rapport à oméga 0 carré. Comme ceci.
Dans l'expérience, on a un plot oscillant, dans de l'eau.
On pourrait remplacer l'eau, par de l'huile épaisse.
On n'aurait plus du tout d'oscillation. On serait dans un autre régime.
De nombreux livres traitent ces différents régimes.
Ici, j'ai choisi, de me concentrer sur le
régime faiblement amorti. Maintenant,
pour cette équation-là, dans un premier temps, je vous donne la solution.
La voici.
Et je me propose de vérifier, que, ce x de t, satisfait l'équation différencielle.
Pour ce faire, je calcule, x point. Alors,
les expressions vont devenir assez lourdes.
Je remarque, ici, que j'ai une exponentielle, et ici, un cosinus.
J'ai le produit de deux fonctions.
Lorsque je dérive, je vais obtenir la somme de deux termes.
En effet, quand je dérive l'exponentielle, j'ai
un moins gamma, fois cette fonction qui apparaît.
Quand je dérive le cosinus, j'ai moins sinus qui va apparaître.
C'est ce que
j'ai écrit ici. Maintenant, j'ai besoin, de x point point.
Donc, je dois dériver cette fonction, encore une fois, par rapport au temps.
Ici, j'ai un produit de deux termes. Ça va me donner, la somme de deux termes.
Et ici, deux termes.
Donc, au total, je dois avoir, quatre termes.
Les voici. Si je dérive l'exponentielle,
j'ai un moins gamma qui vient. Donc j'ai un gamma carré.
C'est ce terme-là.
Si je dérive, maintenant, ce cosinus, j'ai un moins oméga 1, fois le sinus.
Avec le moins qu'il y a là, ça devient
plus oméga 1, gamma, fois la fonction en sinus.
De ce terme-là, si je dérive l'exponentielle, j'aurais plus oméga 1,
gamma, fois la fonction. Et enfin, si je dérive
ce sinus, j'ai un cosinus qui apparaît, avec un oméga 1 carré.
C'est ce terme-là.
Alors maintenant, on doit prendre, ce x
point point, ajouter 2 gamma, fois x point.
C'est 2 gamma, fois ce terme là. Ce que j'ai écrit, ici.
Et encore,
oméga 0 carré, fois x, c'est-à-dire, oméga 0, fois cette
fonction-là, ce que j'ai écrit, ici. On va faire la somme
de ces trois termes. Ça veut dire qu'on va sommer tous ces
termes. Et on doit trouver, 0.
Alors, je me concentre d'abord, sur les termes en cosinus.
Il y a des termes en cosinus, et il y a des termes en sinus.
Voilà les termes en cosinus.
Il y en a encore un, là.
J'ai gamma carré, ici, et moins 2 gamma carré, là.
Donc, j'ai moins gamma carré. J'ai un oméga 0 carré, ici.
Et enfin, j'ai oméga 1, au carré, avec un signe moins.
Je résume,
quand je fais la somme, x point point, 2 gamma x
point, oméga 0 carré x. J'ai le oméga 0 carré, c'était celui-là.
Le moins gamma carré, c'est ces deux termes ensemble.
Et le oméga 1 carré, il vient ici. Qu'en est-il des termes en sinus?
Vous avez, oméga 1
gamma, ici.
Encore 1 oméga 1 gamma, donc, on est, sur cette ligne, on a 2 oméga 1 gamma.
Mais sur cette ligne, on a moins 2 oméga 1 gamma.
Donc tous les termes en sinus s'annulent. Qu'est-ce qu'il reste?
Il reste que si je prends oméga 1 au carré égal
oméga 0, au carré, moins gamma carré, alors, j'ai satisfait
mon équation différentielle. J'ai bien un 0, ici.
J'obtiens 0.
Voila, j'ai donc montré que j'ai obtenu la solution.
Oh, il y a encore une chose, que j'aimerais montrer.
Vous considerez ce tableau, vous voyez que les expressions sont
rapidement assez lourdes.
On est partis de ce, cette fonction relativement simple, et quand
on la dérive deux fois, on occupe toute une ligne, comme ceci.
Je, j'aimerais profiter de ce transparent, pour vous
signaler un point important dans votre méthode de travail.
Il est très important d'être méticuleux dans les notations.
Vous voyez que j'ai introduit oméga 1, oméga 0.
Il faut pas les confondre.
Il y a des termes en exponentielle qui apparaissent,ici.
Il ne faut pas qu'on, il faut qu'on le voit clairement.
Les signes, il faut tous les garder. Au fond, quand on fait ces calculs-là,
on est un petit peu comme un comptable. Et chaque centime compte.
Chaque notation a son importance.
Chaque notation a un sens physique particulier.
Il faut respecter les notations, pour arriver au bout
du calcul, et encore, savoir, où on en est.
Et ne pas faire de fautes, bien sûr.
Comment est-ce qu'on trouve cette solution?
Alors, il y a une méthode générale, pour traiter une équation différencielle,
à coefficient constant, du deuxième ordre.
On dit qu'elle est du deuxième ordre, parce qu'il y a des dérivés deuxièmes.
La méthode consiste à chercher une solution pour une
fonction d'essai exponentielle, lambda t.
Si je dérive une fois, cette fonction-là, je vais avoir un lambda, qui apparaît.
Hein, c'est une propriété
de l'exponentielle. Je dérive deux fois, j'aurais lambda
carré. Donc, quand je mets cette fonction-là,
dans l'équation différentielle. Ici, j'aurai
juste la fonction elle-même. Le puissance lambda t, avec la
dérivée deuxième, qui va me donner le lambda carré.
Ici, j'aurai le x point, qui va me donner un lambda.
Donc j'aurai 2 gamma, lambda. Là, le oméga 0 carré, va
juste me donner la fonction, 2 puissance lambda t.
Ça, c'est nul.
Si je mets ça au propre, ça me donne le
résultat suivant, et pour que ce, cette égalité soit vérifiée,
il faut que ce polynôme soit nul.
Bon, si on veut que l'égalité soit vérifiée, en tout temps.
Temps apparaissant ici. Alors les solutions, c'est bien connu.
Les solutions, c'est celles du binôme. Je les ai écrites de la manière suivante.
Voila une solution lambda 1, moins gamma plus la racine
carrée, lambda 2, égal moins gamma, moins la racine carrée.
Maintenant, vous vous souvenez que, on a convenu, de
considérer des systèmes mécaniques, où le frottement était faible.
Et le frottement faible, se traduit par le
fait que gamma est beaucoup plus petit que oméga.
Donc, ici, on a des racines carrées de nombres négatifs.
Il faut donc introduire des nombres complexes.
Alors, voilà mes solutions
écrites, avec les nombres complexes. Lambda 1, et lambda 2,
avec i fois la racine carrée d'un nombre qui est maintenant positif.
Et je vais convenir d'appeler oméga 1, cette racine carrée.
Donc, ma solution générale, est une combinaison
linéaire de ces deux solutions. La solution générale
x, je vais l'écrire comme un coefficient A,
fois e à la puissance, moins gamma t, fois e à la
puissance i, oméga 1t. Je peux avoir
aussi l'autre terme. Donc, je vais écrire un
coefficient B, e puissance moins gamma t, e puissance
moins i, oméga 1t. Dans cette
expression-là, A et B, en principe, sont des nombres imaginaires.
Maintenant, euh, des nombres complexes, pardon.
x, doit être réel.
x représente la coordonnée du point. C'est un nombre réel.
Donc, on doit assurer que cette expression soit réelle.
Alors, je peux le faire de la manière suivante: je vois que je peux
écrire e puissance moins gamma t, que je mets en évidence.
J'ai A, e puissance i, oméga 1t. Et B, e puissance moins i, oméga 1t.
Ici, j'ai un nombre complexe, et son complexe conjugué.
Et je vois que, une façon de garantir
que x, soit réel, c'est de prendre B, complexe conjugué de A.
À ce moment-là, j'ai la somme d'un nombre complexe, et son complexe conjugué.
Et ça, c'est toujours réel.
Donc, je vais prendre comme solution, une expression de cette
forme-là, le e puissance moins gamma t, vient de ces termes.
Et ici, je vais écrire A, et A*,
pour signifier le complexe conjugué de A. Et j'ai donc, un nombre plus
son complexe conjugué, qui est assurément réel.
Partant de là, pour arriver à la solution, comme annoncé
au début, je vais écrire A, comme étant le module de A.
A est un nombre complexe. Voila son module, et voila e puissance
i, voila phase.
Alors, pour représenter les choses, je peux faire
un dessin du bloc complexe, pour le nombre A.
Voila, le module de A. La phase phi, c'est le nombre qu'on a ici.
Ici, on a la partie réelle de A, et ici, la partie imaginaire.
D'accord.
Et on peut représenter A, de cette manière-là.
Quand on met cette expression de A, là-dedans, on a le
module de A, qui sort, on a e puissance i phi, ici,
et comme on avait un A*, c'est à dire le complexe
conjugué de A, on e puissance moins i phi, qui vient là.
Et on voit bien, encore une fois, qu'on
a un nombre complexe, plus son complexe conjugué.
Donc, on a deux fois la partie réelle,
donc deux fois, le cosinus.
Et donc, j'ai finalement, mon x de t, qui a la forme annoncée.
Simplement, 2, j'ai 2 A, là où j'avais annoncé un cofficient C.
Et encore une fois, le oméga 1, c'est la racine carrée,
comme je l'avais déjà donnée. Je résume la situation.
Voilà ma solution,
avec le oméga 1, qui n'est pas tout à fait le oméga 0.
Donc, oméga 0, c'est racine de k sur m.
Oméga 1 est modifié par le frottement. On a ce terme qui apparaît.
Et, euh, je peux faire une esquisse de la courbe.
Voilà, maintenant, nous avons, ce que nous avons cherché d'obtenir.
C'est-à-dire, une oscillation, mais qui est amortie.
L'amortissement, il est donné par l'exponentiel, ici.
Gamma représente le frottement.
Plus gamma est grand, plus le frottement est grand.
Et plus gamma est grand, plus l'amplitude
décroît sur des temps courts.
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