Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
5.2 L’oscillateur harmonique
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
79 notes
À partir de la leçon
Objectifs de la dynamique. Oscillateur harmonique.
Comme tout système que l'on perturbe au voisinage d'un équilibre stable se comporte comme un oscillateur harmonique ce sujet est extrêmement important dans toutes sortes de domaines des sciences et de la technique. Ici vous allez apprendre à analyser les propriétés de ce modèle.
Rencontrer les enseignants
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l'ÉPFL.
Dans cette leçon, j'aimerais introduire la notion
de marche à suivre pour aborder un problème
de mécanique et nous allons maintenant appliquer cette
démarche pour le problème dit de l'oscillateur harmonique.
C'est un problème éminemment important
pour les scientifiques et pour les ingénieurs.
En effet, on peut montrer que tout système mécanique qui admet un équilibre
stable lorsque il est secoué autour de cet équilibre stable
à un mouvement qui peut être assimilé à celui de l'oscillateur harmonique.
Alors, je vais introduire un nouveau modèle de force que j'appelle
la force de rappel.
Je vais pour cette force écrire les équations du
mouvement qui sont des équations différentielles d'un nouveau type.
On va pouvoir en trouver une solution
analytique qui est un mouvement dit harmonique, ce
qui nous permettra d'introduire des notions souvent
utilisées en technique: la pulsation, la période et
la fréquence. Je commence avec la description de la
force de rappel. Je veux modéliser la situation
suivante. J'ai un ressort accroché à un mur qui
appartient au référentiel et une masse m accrochée au
ressort. Ce ressort a une longueur au repos
que je vais noter l. Je veux
noter l la distance ici. Jusqu'à un certain
point, c'est le point qu'occuperait la masse si le
ressort était au repos. Et maintenant,
je vais définir un système d'axes pour décrire le mouvement
de mon point matériel. Voici, je vais mettre,
j'ai un axe O x de coordonnées. Je vais mettre
le point O justement à cette distance l qui est la
longueur au repos du ressort et je déclare que la
force de rappel est modélisable de la manière suivante.
Je dis que la force est proportionnelle à l'élongation.
x est mesuré depuis la position au repos, c'est donc l'élongation.
J'ai écrit moins kx parce que lorsque
le ressort est étiré comme indiqué ici, la
force est dirigée dans le sens des x négatifs donc
la projection de la force sur l'axe
est négative. En d'autres termes, j'aurais pu
introduire un vecteur unité le long de
l'axe x et la projection qui m'intéresse
ici c'est la projection de la force sur l'axe donc c'est le produit
scalaire et comme on a un angle entre x et F qui vaut pi, on a un
signe moins qui apparaît. On peut aussi regarder
ce qui se passerait si le point matériel était ici.
Donc le ressort serait comprimé.
On le sait, la force à ce moment là serait dans ce sens-ci.
x est alors négatif
et ma formule me donne une force positive ce qui est correct.
Quand le ressort est comprimé, la force est dirigée dans le sens des x positifs.
La cinématique maintenant est triviale. J'ai
simplement l'accélération, la dérivée deuxième de
la position dérivée par rapport au temps
et l'équation du mouvement, la voici. On applique F=ma.
Voici la force moins kx.
Voici m fois l'accélération. J'ai donc l'équation
différentielle que je peux écrire explicitement de cette manière là.
Je cherche une fonction x du temps dont la dérivée deuxième est à
un coefficient près cette fonction x du temps.
Alors vous pourriez avoir en
tête une série de fonctions et leurs dérivées ou bien
vous le regarder dans une table et vous observez que le
cosinus a la bonne propriété. J'écris ici cosinus oméga t avec
oméga considéré comme une constante. Si je dérive par rapport au temps,
le cosinus devient moins oméga sinus. J'ai une fonction de fonction.
Donc j'ai le moins oméga qui apparaît. Si je redérive encore une fois, la dérivée
du sinus donne le cosinus avec encore un oméga donc j'ai moins oméga carré.
Alors x, c'est cos oméga t.
Je retrouve le x ici. J'ai donc bien la structure de mon
équation différentielle pour autant que je pose que le oméga vaut racine
de k sur m. J'aurais pu prendre un sinus oméga t.
Les dérivées donnent le bon résultat en effet le sinus va nous donner un cosinus.
La dérivée du cosinus va donner
un sinus et j'ai encore une fois, le x qui vaut sinus oméga t que je retrouve ici.
J'ai donc x et j'ai bien la bonne structure, celle-ci.
Avec encore une fois, la même condition pour oméga.
Maintenant je remarque que si j'avais multiplié x par un coefficient A.
Ce coefficient
A je l'aurais retrouvé partout. Là, j'ai encore une fois x donc j'ai
bien satisfait l'équation différentielle. De même, j'aurais pu mettre un B ici.
J'aurais eu B partout. Je retrouve ici x donc
je satisfais l'équation différentielle. Maintenant d'une
manière générale, la solution à cette équation différentielle,
c'est une superposition linéaire de solutions en
sinus et cosinus avec pour oméga racine de k sur m.
Maintenant j'examine la question
des valeurs des constantes A et B. Les constantes A et B sont données
par les conditions initiales.
Alors j'imagine les conditions initiales suivantes.
J'imagine que à t égal 0, la position est donnée par x 0 et la vitesse vaut v 0.
t égal 0 dans cette équation là veut dire que ce terme là est nul.
À t égal 0 ce terme là est nul aussi. À t égal
0 le cosinus vaut 1 et donc je
lis ici évidemment à t
égal 0 ici j'ai x 0 et ici j'ai
v 0. Donc je lis que B vaut x 0
et A oméga vaut v 0 ce que je peux écrire de cette manière
là. Maintenant j'aimerais
signaler que souvent au lieu d'utiliser la somme
de deux fonctions, on préfère utiliser une expression
avec un cosinus oméga t et avec un déphasage.
Je vais maintenant vous montrer que ces deux formulations sont équivalentes.
Je pars de la deuxième.
J'ai x qui est exprimé comme le cosinus de la somme de deux termes.
Donc je peux très bien écrire x égal,
alors le cosinus de la somme c'est le produit
des cosinus moins le produit des sinus. Donc je peux écrire C
cos phi, cos oméga
t, moins C sin phi,
sin oméga t. Il suffit donc de
prendre que C cos phi vaut B et moins C sin
phi vaut A.
J'ai donc établi l'équivalence entre les deux formulations.
Je passe à quelques définitions.
Le oméga qui apparaît dans notre solution est appelé de façon courante la pulsation.
Maintenant, on a une solution qui est périodique.
En effet, si on ajoute, quelle que soit la valeur
du temps considéré, si on ajoute une quantité que j'ai
noté ici grand T, je retombe sur la même position.
Comme, si on pense à notre solution en
terme de cosinus oméga t plus phi, le cosinus
est une fonction périodique de période deux pis quand
oméga fois grand T vaut deux pis la fonction
revient à la même valeur.
Par conséquent, j'ai cette condition oméga t égale deux pis.
J'en déduis cette relation que j'ai notée en rouge parce qu'elle est
très importante qui dit oméga vaut deux pis sur la période.
Maintenant, la fréquence c'est 1 sur la période par définition
et donc j'ai la formule aussi
également très importante oméga égal deux pis fois la fréquence.
Il arrive dans le langage courant qu'on appelle oméga la fréquence et vraiment ici
il faudrait appeler oméga la pulsation et f c'est la fréquence.
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