Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
5.2 L’oscillateur harmonique
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
84 notes
À partir de la leçon
Objectifs de la dynamique. Oscillateur harmonique.
Comme tout système que l'on perturbe au voisinage d'un équilibre stable se comporte comme un oscillateur harmonique ce sujet est extrêmement important dans toutes sortes de domaines des sciences et de la technique. Ici vous allez apprendre à analyser les propriétés de ce modèle.
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Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Guten Tag.
Willkommen zur Vorlesung der allgemeinen Physik an der EPFL.
In dieser Lektion möchte ich die Lösungsstrategie einführen
um ein Problem der Mechanik zu lösen
und wir werden jetzt diese Strategie auf ein Problem
anwenden, welches der harmonische Oszillator genannt wird.
Dies ist eines der wichtigsten Probleme
für Wissenschaftler und Ingenieure.
In der Tat kann gezeigt werden, dass jedes mechanische System mit
stabilem Gleichgewicht, wenn es um dieses Gleichgewicht herum geschüttelt
wird, die Bewegung eines harmonischen Oszillators annimmt.
Ich werde nun ein neues Modell einer Kraft einführen, welches
ich Rückstellkraft nenne werde.
Ich werde die Bewegungsgleichungen für diese Kraft
schreiben. Dies sind Differential- gleichungen eines neuen Typus'.
Wir werden eine analytische Lösung
für diese Bewegung finden, die sogenannte harmonische Bewegung.
Dies wird uns erlauben folgende, häufig benutzten, Begriffe einzuführen:
die Kreisfrequenz, die Periode
und die Frequenz. Ich beginne mit der Beschreibung
der Rückstellkraft. Ich möchte folgende Situation beschreiben:
Ich habe eine Feder, die an einer Mauer befestigt ist,
welche zum Bezugssystem gehört. Und ich habe eine Masse m, die an die
Feder gehängt wurde. Diese Feder hat eine Ruhelänge,
die ich l nennen werde. Diese Distanz hier
werde ich l nennen. Bis zu einem gewissen
Punkt, ist dies der Punkt der von der Masse besetzt würde, wenn
die Feder in der Ruheposition ist. Und jetzt werde ich ein
Achsensystem definieren, um dies Bewegung meines Massenpunktes
zu beschreiben. Hier habe ich eine
Koordinatenachse Ox. Ich werde den Punkt O
genau nach der Distanz l wählen, welche ja die Ruhelänge
der Feder ist und ich behaupte, dass
die Rückstellkraft folgendermassen Modellierbar ist:
Ich sage, dass die Kraft proportional zu der Dehnung zunimmt.
x wird von der Ruheposition ausgehend gemessen, entspricht also der Dehnung.
Ich schriebe hier nun: minus kx, da, wenn die
Feder ausgezogen wird, wie hier, so
ist die Kraft in Richtung der negativen x gerichtet und
die Projektion der Kraft auf die Achse
ist negativ. In anderen Worten: ich hätte einen
Einheitsvektor entlang der x-Achse
einführen können und die Projektion, die uns interessiert,
ist die Projektion der Kraft auf die Achse, also das Skalarprodukt
und da der Winkel zwischen x und F gleich pi ist, erhalten wir
ein Minus. Man kann auch
schauen was passieren würde, wenn der Massenpunkt hier wäre.
Die Feder wäre also zusammen- gedrückt.
Wir wissen es: die Kraft wäre in dem Moment in dieser Richtung.
x ist hier negativ
und meine Formel gibt mir eine positive Kraft, was korrekt ist.
Wenn die Feder zusammengedrückt ist, zeigt die Kraft in Richtung der positiven
x. Die Kinematik ist jetzt trivial. Ich habe
einfach die Beschleunigung, die zweite Ableitung der
Position nach der Zeit
und die Bewegungsgleichung, hier ist sie. Wir wenden F=ma an.
Hier die Kraft, minus kx.
Hier m mal die Beschleunigung. Ich habe also hier die
Differentialgleichung und ich kann sie explizit in dieser Form schreiben.
Ich suche eine Funktion, x von t, deren zweite Ableitung, auf einen konstante
Faktor genau, diese Funktion x von t ist.
Ihr könntet nun eine Reihe
von Funktionen und ihren Ableitungen im Kopf haben, oder aber
ihr schaut in einer Tabelle nach und ihr werdet sehen, dass
der Cosinus die richtige Eigenschaft hat. Ich schreibe hier Cosinus Omega
t, wo Omega als Konstante angeschaut wird. Wenn ich nach der Zeit ableite,
wird der Cosinus zu minus Omega Sinus. Ich habe eine Funktion einer Funktion.
Ich habe also das minus Omega das hier erscheint. Ich leite nochmals ab, die
Ableitung des Sinus gibt Cosinus, noch ein Omega, also minus Omega Quadrat.
x ist also cos Omega t.
Ich finde x hier wieder. Ich habe also genau die Struktur
meiner Differentialgleichung, solange ich sage, dass Omega gleich der Wurzel
von k über m ist. Ich hätte auch einen Sinus Omega t
nehmen könne. Die Ableitungen geben das richtige Resultat, der Sinus gibt
Cosinus. Die Ableitung des Cosinus wird uns
nochmals einen Sinus geben, x ist gleich Sinus Omega t und ich finde
es hier. Ich habe also x und auch die richtige Struktur, diese hier.
Mit, auch hier, der selben Bedingung für Omega.
Ich stelle fest, dass, wenn ich x mit einer Variabel A multipliziert hätte,
hätte ich diese Variabel A
überall wiedergefunden. Hier habe ich noch einmal x, ich
habe als die Differentialgleichung erfüllt. Auch hier hätte ich ein B hin-
setzten können. Ich hätte B überall gehabt. Ich abe hier x und ich
erfülle daher die Differential- gleichung. Jetzt, in aller Allgemeinheit,
wird die Lösung dieser Differential- gleichung eine
lineare Superposition der zwei Lösungen mit dem
Sinus und dem Cosinus sein. Omega muss immer noch gleich Wurzel k über m sein.
Schauen wir uns jetzt die Werte
der Konstanten A und B an. Die Konstanten A und B sind durch die
Anfangsbedingungen gegeben.
Ich stelle mir folgende Anfangsbedingungen vor:
zur Zeit t gleich 0 ist die Position x0 und die Geschwindigkeit v0.
t gleich 0 bedeutet in dieser Gleichung, dass dieser Ausdruck hier Null ist.
Bei t gleich 0 ist auch dieser Ausdruck null. Bei t gleich
0 ist der Cosinus gleich 1, ich
habe hier also bei t
gleich 0 x0 hier und hier
habe ich v0. Ich sehe also, dass B gleich x0 ist
und dass A Omgea gleich v0 ist. Dies kann ich so schreiben.
Jetzt möchte ich
darauf hinweisen, dass man oft, anstatt die Summe zweier
Funktionen zu benutzen, man lieber einen Ausdruck mit einem
Cosinus omega t und einer Phasenverschiebung verwendet.
Ich werde euch jetzt beweisen, dass diese zwei Ausdrücke gleichwertig sind.
Ich fange mit dem zweiten an.
Ich habe x, welches durch den Cosinus von zwei Variablen ausgedrückt wird.
Ich kann also sehr gut schreiben, dass x gleich
nun, der Cosinus der Summe ist das Produkt des
Cosinus minus das Produkt des Sinus. Ich kann also schreiben:
C cos Phi cos Omega t
minus c sin phi
sin Omega t. Es reicht also, wenn
ich C cos Phi gleich B und minus C sin Phi
gleich A nehme.
Ich habe also die Gleichwertigkeit der beiden Formulierungen gezeigt.
Ich kommen nun zu ein paar Definitionen.
Omega, welches in unserer Lösung vor- kommt, wird Kreisfrequenz
genannt. Wir haben hier eine Lösung die periodisch ist.
Tatsächlich, egal welche Zeit man betrachtet,
wenn man eine Menge, ich habe sie T genannt, dazu fügt,
kommt man wieder zur selben Position.
Sowie wenn man an unsere Cosinus- Omega-t-plus-Phi-Lösung denkt,
der Cosinus ist eine
periodische Funktion mit einer Periode von zwei Pi. Wenn Omega mal
gross T genau gleich zwei Pi ist, so nimmt die Funktion
den selben Wert an.
Folglich habe ich die Bedingung, dass Omega t gleich zwei Pi.
Ich schliesse diese Relation, die ich in Rot markiert habe, daraus. Diese Relation
ist sehr wichtig und sie sagt mir, dass Omega gleich zwei pi durch die Periode
ist. Nun, die Frequenz ist, per Definition, 1 über der Periode
und ich habe diese, auch sehr
wichtige, Formel: Omega gleich zwei Pi mal die Frequenz.
In der Umgangssprache wird manchmal Omega die Frequenz genannt, in
Wirklichkeit ist es aber die Kreis- frequenz und f ist die Frequenz.
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